2导数及其应用小结与复习

1、仅供个人参考复习课:导数及其应用综合（1）教学目标重点：通过例题讲解复习导数及其应用的知识点，总结各种题型的解法难点：导数在解决 问题中的应用；学生自己对综合题的分析和解决 能力点：数形结合、计算能力、归纳、转化与划归能力、分析问题与解决问题的能力教育点：提高学生的认知水平，培养学生自己解决问题的能力，为学生塑造良好的数学认识结构 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻易错点：对于含参问题分类讨论的标准选择及讨论的完备性。学法与教具不得用于商业用途1学法：讲授法、讨论法一、【知识结构】导数导数及其应用函数的单调性研究定积分微积分基本定理的含义微积分基本定理微积分基本定理的应用、【知识梳理】仅供

2、个人参考1. 利用导数求曲线的切线方程(1 )切点处的导数等于切线的斜率(2)切点既在曲线上又在切线上2. 利用导数研究函数的单调性与极值、最值(1) (单调性的充分条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f &0,则f(x)为增函数；如果f /(x) 0(或 f /(x) w 0)3. 利用导数解决恒成立问题(1) 分离变量，然后转化为函数最值问题；(2) 禾U用图像，特别是二次函数问题。4. 利用导数证明不等式首先要构造函数，然后研究函数的单调性，进而转换为函数的最值。5. 利用微积分基本定理求图形面积6. 利用微积分基本定理求变速运动的位移与路程7. 利用微积分基本定理求变力做功三

3、、【范例导航】例1已知函数f (x) =x3 -ax-1.(1) 若f (x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2) 是否存在实数a，使f (x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.【分析】本题主要考察函数的单调性与分类讨论的思想，(1)要求a的取值范围，由条件转化为f(x) _ 0在R上恒成立问题；(2)是存在性问题，假设存在，利用) 1)的方法解决.【解答】(1)由题意知f(x) =3x2-a _0 ,所以a乞3x2，只要a空(3x2)min , a乞0。(2)假设存在实数a，使f(x)在(-1,1)上单调递减。则f(x) = 3x2-a _ 0在

4、(-1,1)上恒成立。因此a _3x2，又因为0 ：3x2乞3,所以，a 一3.【点评】含参数不等式在给定区间上恒成立问题的一般方法是分离参数法，然后转化为函数的最值.【变式】：已知函数f(x) =xlnx.(I)求f(x)的最小值；(n)若对所有x_1都有f(x)_ax-1，求实数a的取值范围.1答案：(1) -(2) a的取值范围是(-：,1e【点评】(1)如果是开区.间一(a,b)，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。(2)分离参数法是处理参数问题常用的方法，注意灵活运用。【例2】(2012山东高考理22)已知函数f (x)xx k ( k为常数，2.71828.是自然

5、对数 e的底数)，曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线与x轴平行.(I)求k的值；(n)求f(x)的单调区间；(川)设g(x) = (x2 x) f (x)，其中f (x)是f (x)的导函数证明：对任意x 0 ,g(x) ：1 e2 【分析】本题主要考察利用导数研究曲线的斜率，求单调区间，求最值及利用导数证明不等式等内容(1)(2)难度不大，但(3)证明不等式需要对复杂的函数进行分开研究，以便降低难度。1 -1 n x _k【解答】(1) f(x)二 x,f(1)J k=0= k=1ee1 -I nx-1(2) f(x)山x (x 0)e记 h(x)=丄-1n x -1, h(x)

6、-召-1 ： 0，所以 h(x)在(0，:：)单减，又 h(1) =0 ,xx x所以，当 0：x时，h(x) 0 ,f(x)0 , f(x)单增；当 x 1 时，h(x) 0 , f(x) ：0 , f(x)单减.所以，增区间为(0, 1)；减区间为(1, 畑).2 1 + x1 + x(3) g(x) =(x x) f (x) x (1 -xlnx-x)，先研究 1 -xlnxx，再研究。eei(x) =1 -xlnx -x,x 0,i (x) - -1nx - 2,令 i (x) = 0,得 x = e ,当 x (0,e),i(x)0,i(x)单调递增；当 x (e= ),i(x) ：

7、0,i(x)单调递减；所以，imax(x) =i(e) =1 e，即 1xln xx 岂 1。1+xx记 j(x) x ,x 0, j (x) x,0,所以 j(x)在(0,7)单调递减。ee所以，j(x) ： j(0) =1,即：1ex综上，g(x) = (1 xlnxx)空(1 e)： 1 eee【点评】本题将函数、导数、方程和不等式的知识融为一体。重点对函数导数中曲线的斜率，求单调区间，求最值及利用导数证明不等式进行了全面考察，要求学生从从整体上把握，从细节处着手，较好的考察了 学生的综合素质。1 +a【变式】：(2011年海淀一模理)已知函数f(x)=x al nx , g(x)=-,

8、(aR).x(I)若a =1，求函数f (x)的极值；(n)设函数h(x) =f(x) -g(x)，求函数h(x)的单调区间；仅供个人参考(川)若在1,e ( e =2.718.)上存在一点xo，使得f(xo) ： g(x)成立，求a的取值范围【分析】本题主要考察了了函数极值的求法，含参数的函数单调区间的求解，对于含字母参数的不等式进 行了必要的分类讨论，特别强调重视定义域在解题中的重要作用。【解答】(I) f(x)的定义域为(0,;),1 x _ 1 当 a =1 时，f(x)=x_lnx , f(x)=1_-x xx(0,1)1(1,咼)f (x)一0+f(x)极小所以f (x)在x =1

9、处取得极小值1.1 +a(n) h(x)二 xa In x ,x2h(x) _ _1 a a x -ax-(1a) (x 1)x -(1 a) x2x当 a 10 时，即 a -1 时，在(0,1 a)上 h (x) :0，在(1a,：)上 h (x) 0 ,所以h(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a, V)上单调递增;当1 a乞0，即a乞-1时，在(0, ：)上h(x) 0 , 所以，函数h(x)在(0,：)上单调递增(III )在1,e 1上存在一点 怡，使得f(厂:：g(x0)成立，即在1,e .上存在一点x0，使得h(x0)：0，即函数h(x) =x - alnx在1,e】上的最小

10、值小于零.x由(n)可知即1 a e , 即卩a e -1时，h(x)在1,el上单调递减,所以h(x)的最小值为h(e)，由h(ee-a ：0可得e21ae1因为e-1，所以ae1e21；e1当1 a _1，即a _0时,h(x)在1,e 1上单调递增,所以h(x)最小值为h(1),由 h(1) =1 1 a : 0 可得 a ：: -2 ;仅供个人参考因为 0 : ln(1 a) : 1，所以,当 1 ：:1 a :：: e，即 0 :：: a :：: e _1 时，可得 h(x)最小值为 h(1 a),0 a I n(1 +a) 2此时，h(1 a) ：0不成立.综上讨论可得所求 a的范

11、围是：a -1或a ：二.e _1四、【解法小结】1函数解析式中求参变量的取值范围问题，常常转化为恒成立问题，解决方法主要有两种:(1) 分离变量，然后转化为函数最值问题；(2) 禾U用图像，特别是二次函数问题。2. 利用导数证明不等式首先要构造函数，然后研究函数的单调性，进而转换为函数的最值3. 对于比较复杂的函数，可以进行必要的分解，逐一研究，各个击破。4 求解含参数的要进行分类讨论，一要把握讨论的标准二要对分类讨论题最后要给出一个完整的答案五、【布置作业】必做题：1. ( 2012年高考山东卷理科15)设a 0若曲线y 与直线x = a, y=0所围成封闭图形的面积为a,贝U a=9 【

12、答案】94【解析】a厂2-S xdx x2 039=a，解得a .432. (2012年高考重庆卷文科 17)(本小题满分13分)已知函数f(x)二ax bx c在x=2处取得极值为c -16(1)求a、b的值；(2 )若f (x)有极大值28，求f(x)在-3,3上的最大值.134【答案】(I)13 (H)27273. (2010年高考天津卷文科 20)已知函数f (x) =ax3x2 T(xR)，其中a0.2(I)若a=1，求曲线y=f (x)在点(2, f (2)处的切线方程；、_ 1门(H)若在区间，一上，f (x) 0恒成立，求a的取值范围.IL 2 2选做题：1【2012高考真题安

13、徽理19】设f (x) =aexx b(a 0) oaex(I)求f (x)在0,上的最小值；不得用于商业用途【解析】1(1 )设 t =ex(t 亠1);则 y = atb=ata at2a2t2 -1at2求a,b的值。(II )设曲线y = f (x)在点(2, f)的切线方程为1 当a _1时，y .0= y=atb在t _1上是增函数，at1 得：当t=1(x=：0)时，f (x)的最小值为a b。a1 当 0 ： a ： 1 时，y = at b _ 2 b，at当且仅当at =1(t =ex ,x =-In a)时，f (x)的最小值为b 2。 ax 1 x 1(II) f(x)

14、 =ae - - b= f (x) = ae x， aeae由题意得:f(2)f (2)ae22 ae12ae12 ae六、【教后反思】1本教案的亮点是：首先对本章的知识归纳提纲挈领；其次，例题的选择非常典型，对知识点的覆盖面 广再次，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，选择高考中和各地市摸底考试中的部分难度适中 的题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用2本教案的弱项是：由于课时与时间的关系，对定积分没有涉及太多，留给下一课时，另外，部分高考 题有一定难度，教师应给予必要的解题引导。仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu