7A文导数与不等式证明绝对精华

1、【MeiWei81- 优质实用版文档】二轮专题（十一）导数与不等式证明【学习目标】1. 会利用导数证明不等式 .2. 掌握常用的证明方法 .【知识回顾】一级排查：应知应会1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明 问题比如要证明对任意 x a,b都有 f（x） g（x），可设 h（x） f（x） g（ x） ，只要利用导数 说明 h（x） 在 a,b 上的最小值为 0 即可二级排查：知识积累 利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：（1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来） ，如函数的单调性、最值等，服 务于第二问要证明的不等式 .（2）多用分

2、析法思考 .（3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证 明.例如采用两边取对数 （指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质， 力求变形后不等式一边需要出现函数关系式 .（4）常用方法还有隔离函数法， f（x）min g（x）max ，放缩法（常与数列和基本不等式一起考 查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅 助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题 .（5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式， 有许多题都是利用泰勒展开式 放缩得来 .三极排查：易错易混用导数

3、证明数列时注意定义域 .【课堂探究】一、作差（商）法例 1 、证明下列不等式：1ex x 1lnx x 1lnx 1- 1xMeiWei81- 优质实用版文档】MeiWei81- 优质实用版文档】lnx 2(xx -11) (x 1) sin x 2x,x (0,2)二、利用 f (x)min g(x)max 证明不等式12e例 2、已知函数 f (x) ax b (a 1)ln x,(a,b R),g(x) x .xe2(1) 若函数 f (x)在x 2处取得极小值 0，求 a,b的值；(2) 在( 1)的条件下，求证：对任意的 x1,x2 e,e2 ，总有 f (x1) g(x2).12

4、变式：证明：对一切 x (0, ) ，都有 ln x 1x 2 成立 .ex ex三、构造辅助函数或利用主元法例 3、已知 m,n 为正整数，且 1 m n,求证： (1 m)n (1 n)m .变式：设函数 f (x) ln x ， g(x) 2x 2( x 1).(1) 试判断 F(x) (x2 1) f(x) g(x) 在定义域上的单调性；(2) 当0 a b时，求证 f (b) f (a) 2a2(b a2) .a2 b2四、分析法证明不等式例4、设a 1，函数 f(x) (1 x2)ex a.若曲线 y=f(x)在点 P处的切线与 x轴平行， 且在点 M (m, n)处的切线与直线

5、OP平行( O是坐标原点) ,证明： m 3 a 2 1.变式：已知函数 f (x) x2 ln x ()求函数 f (x) 的单调区间；()证明：对任意的 t 0 ，存在唯一的 s，使 t f (s) ()设()中所确定的 s关于 t的函数为 s g(t ) ，证明：当 t e2时，有 2 ln g(t) 15 ln t 2MeiWei81- 优质实用版文档】MeiWei81- 优质实用版文档】五、隔离函数例 5、已知函数 f (x) ex ln(x m) .()设 x 0是 f ( x)的极值点，求 m并讨论 f (x)的单调性； ()当 m 2时，证明 : f(x) 0.变式：已知函数

6、f(x) nx xn,x R,其中n N ，且 n 2.(1)讨论 f (x) 的单调性；(2)设曲线 y f (x)与 x轴正半轴的交点为 P ，曲线在点 P处的切线方程为 y g(x) ，求证： 对于任意的正实数 x，都有 f(x) g(x)；(3) 若关于 x的方程 f (x) a(a为实数 )有两个正实数根 x1,x2，求证： x2 x1a 2.1 2 2 1 1 n六、与数列结合例 6、已知函数 f (x) aln x ax 3(a R) .(1)求函数 f (x) 的单调区间；ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1(2)求证：. . (n N ， n 2)2 3 4 n n1

7、x 1 1变式：(1)已知 x (0, ) ，求证： ln ；x 1 x x1 1 1 1 1 1 1(2)求证：ln n 1 (n N ，n 2).2 3 4 n 2 3 n 1巩固训练 】MeiWei81- 优质实用版文档】MeiWei81- 优质实用版文档】1.已知函数 f(x) 1x2 ln x,求证：在区间 (1, )上，函数 f (x)的图像在函数 g(x) 2x3的23图像的下方 .2. 已知函数 f x ln1x1x)求曲线 y f x 在点 0， f 0 处的切线方程；3)求证：当 x 0，1 时， f x 2 x x ； 3x3)设实数 k使得 f x k x x 对 x

8、0，1 恒成立，求 k的最大值33. 已知 0 x1 x2 ，求证：x1nx2n4. 设函数 f (x) ln(1 x) (x 0). x(1)判断 f (x) 的单调性；2)证明： (1 1)n e( e为自然对数， n N* ). n5. 已知函数 f(x) ex x.(1)求函数 f (x) 的最小值；(2)设不等式 f(x) ax的解集为 P，且0,2 P，求实数 a 的取值范围；(3) 设 n N ，证明： 1 2 3 n e .n n n n e 1MeiWei81- 优质实用版文档】MeiWei81- 优质实用版文档】6. 已知 f (x) ln(1 x2) ax(a 0) .(

9、1) 讨论 f (x) 的单调性；1 1 12）证明：（1 214）（1 314 ） （1 n14） e（ e为自然对数， n N*，n 2）.7. 已知函数 f(x) ln(1 x) x,g(x) xln x(1) 求函数 f (x) 的最大值； ab(2) 设 0 a b, 证明： 0 g(a) g(b) 2g(a b) (b a)ln 2.28.设函数 f (x)aex lnx bexx1曲线 y f（x）在点（ 1，f (1)处的切线为 y e(x 1) 2.（）求 a, b ；（）证明： f（x） 1.9.已知函数 f x ex ax（ a为常数）的图像与 y轴交于点 A，曲线y f x 在点A处的切线 斜率为 -1.（）求 a 的值及函数 f x 的极值； （）证明：当 x 0时， x2 ex ；（）证明：对任意给定的正数 c，总存在 x0 ，使得当 x x0，恒有 x2 cex.1