二次函数与几何综合压轴题题型归纳-学生版

1、二次函数综合压轴题型归类教学目标： 1、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系2、掌握特殊图形面积的各种求法重点、难点：1、利用图形的性质找点2、分解图形求面积一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总1、两点间的距离公式 ： ABy AyB2x AxB22、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：xAxByA yB2，2直线 y k1 x b1 （ k1 0）与 yk 2 xb2 （ k20 ）的位置关系：（ 1）两直线平行k1k2 且 b1b2（ 2）两直线相交k1 k2（ 3）两直线重合k1 k2 且 b1 b2

2、（ 4）两直线垂直k1k213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： 用和参数的其他要求确定参数的取值范围； 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于 x 的一元二次方程x22 m1 xm 20 有两个整数根，m5 且 m 为整数，求 m 的值。4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线ymx23m1 x3 与 x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。15、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于 x 的方程 mx2

3、3(m1)x2m30 （ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根。解：当 m 0 时， x 1；当 m 0时，m 3 20 ， x3 m 1， x1 23 、 x2 1 ；2mm综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线 yx2mxm2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m 的方程 yx22 m 1 x ；yx 220 ，解得：y1；1x0x 1 抛物线总经过一个固定的点（1， 1）。（题目要求等价于：关于m 的方程 yx 22m 1x 不论

4、m 为何值，方程恒成立）小结 ：关于 x 的方程 axb 有无数解a0b07、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（ 1）如图，直线 l1 、 l 2 ，点 A 在 l 2 上，分别在 l1 、 l 2 上确定两点 M 、 N ，使得 AM MN 之和最小。（ 2）如图，直线l 1 、 l 2 相交，两个固定点A 、 B ，分别在 l1 、 l2 上确定两点M 、 N ，使得BMMNAN 之和最小。2（ 3）如图， A、B 是直线 l 同旁的两个定点，线段 a ，在直线 l 上确定两点 E 、 F （ E 在 F 的左侧 ），使得四边形 AEFB 的周长最小。8、在平面直角坐标系中求面

5、积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图，=1/2 PM x=1/2 AN ySPAB9、函数的交点问题：二次函数（ y ax2 bx c ）与一次函数（y kx h ）（1）解方程组yax2 c 可求出两个图象交点的坐标。bxyhkx（2）解方程组yax2 c ，即 ax 2 b k x c h0 ，通过 可判断两个图象的交点bxyhkx的个数有两个交点0仅有一个交点0没有交点010、方程法（ 1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（ 2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（ 3）列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形” 、“梯形”、“相似三角形”

6、 、“直角三角形” 、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形3跟平行有关的平移图形勾股定理逆定理跟直角有关的利用相似、全等、平图形行、对顶角、互余、互补等跟线段有关的利用几何中的全等、图形中垂线的性质等。利用相似、全等、平跟角有关的图行、对顶角、互余、形互补等y1y2l1 l 2k1 k2 、 kx1x2ABy AyB 2x AxB 2ABy AyB 2x AxB 2平行四边形矩形梯形直角三角形直角梯形矩形等腰三角形全等等腰梯形【例题精讲】y一 基础构图：y= x22x 3 （以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大在对称轴上找一点P，

7、使得 PB+PC 的和最小，求出P 点坐标B OAx在对称轴上找一点P，使得 PB-PC 的差最大，求出P 点坐标CDy求面积最大连接 AC, 在第四象限找一点P，使得ACP 面积最大，求出P 坐标BOAxCDy 讨论直角三角 连接 AC, 在对称轴上找一点P，使得ACP 为直角三角形，求出 P 坐标或者在抛物线上求点P，使 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形B OAxCD4y 讨论等腰三角连接 AC, 在对称轴上找一点P，使得ACP 为等腰三角形，求出 P坐标BOAxCD 讨论平行四边形1、点 E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以 B， A， F ，E 四点为顶点的四边形为平

8、行四边形，求点F 的坐标二 综合题型例 1(中考变式）如图，抛物线 yx 2bx c 与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0) 两点，顶点为 D。交Y轴于C(1) 求该抛物线的解析式与 ABC 的面积。(2) 在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M ，使 MBC 是以 BCM 为直角的直角三角形， 若存在，求出点 P 的坐标。若没有，请说明理由5(3) 若 E 为抛物线 B、C 两点间图象上的一个动点 (不与 A 、B 重合 )，过 E 作 EF 与 X 轴垂直 ，交 BC于 F，设 E 点横坐标为x.EF 的长度为L ，求 L 关于 X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？当 E 点运动

9、到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？(4) 在（5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。当 E 点运动到什么位置时,以点 E 、F、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？(5) 在（ 5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？例 2考点： 关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A、 C 的坐标分别为 ( 1，0) 、( 0， 3 ) ，点 B 在 x 轴上已知某二次函数的图象经过A、B、C 三点，且它的对称轴为直线x1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与 B、 C 不重合），过点 P 作 y 轴的平行线交 BC

10、于点 F（ 1）求该二次函数的解析式；y（ 2）若设点 P 的横坐标为 m，试用含 m 的代数式表示线段PF 的长；（ 3）求 PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标A OFBxCPx16例 3考点：讨论等腰如图，已知抛物线 y12 bxc 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、 B，点 A 的坐标为（ 2， 0），x2点 C 的坐标为（ 0， 1）（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE x 轴于点 D ，连结 DC，当 DCE 的面积最大时，求点 D 的坐标；（ 3）在直线BC 上是否存在一点P，使 ACP 为等腰三角形，若存在，求点P

11、 的坐标，若不存在，说明理由yyBOAxDBOAxCEC备用图例 4 考点：讨论直角三角 如图，已知点 A （一 1，0）和点 B（ 1， 2），在坐标轴上确定点 P，使得 ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）(A） 2个 （B） 4个 （C）6个（ D） 7个 已知：如图一次函数y1A，与 y 轴交于点 B；二次函数1x2x 1 的图象与 x 轴交于点y22bx c 图象与一次函数y1 x 1 图象交于 B、C 两点， 与 x 轴交于 D 、E 两点且 D 点坐标为 （1，0）2（ 1）求二次函数的解析式；（ 2）求四边形 BDEC 的面积 S；（ 3）在 x 轴上是否存在点P

12、，使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由yC2BxAODE7例 5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于 x 的抛物线 y ax 2 x c（ a 0）与 x 轴交于点 A（ 2， 0），点 B（6， 0），与 y 轴交于点 C（ 1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（ 2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（ 3）在（ 2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x 轴上有一动点 Q是否存在以 A、M、P、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q

13、的坐标；如果不存在，请说明理由yCAOBx综合练习：1、平面直角坐标系xOy 中，抛物线yax24ax4ac 与 x 轴交于点 A、点 B，与 y 轴的正半轴交于点 C，点A 的坐标为 (1, 0)，OB OC，抛物线的顶点为D 。(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足 APB ACB ，求点 P 的坐标；(3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于 AQB 的平分线的对称点为 A ，若 QA QB 2 ，求点 Q 的坐 标和此时 QAA 的面积。82、在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 yax 2 +2 ax c 的图像与 y 轴交于点 C 0，3，与

14、 x轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为3，0 。（ 1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（ 2） 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1： 2 的两部分，求出此时点 M 的坐标；（ 3） 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时 CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标。3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y2 x2 2x 与 x 轴负半轴交于点 A ，顶点为 B ，m且对称轴与x 轴交于点 C 。（ 1）求点 B 的坐标（用含 m 的代数式表示） ；（ 2） D 为 OB 中点，直线 AD 交

15、y 轴于 E ，若 E （ 0， 2），求抛物线的解析式；（ 3）在（ 2）的条件下，点M 在直线 OB 上，且使得AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以 A、 M 、 P、 Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。94、已知关于 x 的方程 (1 m) x2(4 m) x3 0 。（1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（ 2） 若正整数 m 满足 8 2m2 ，设二次函数y(1m) x2(4 m) x 3 的图象与 x 轴交于A、B 两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象； 请你结合这个新的图象回答：当直线 ykx3 与此图象恰好有三个公共点时，求出 k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）。5 如图，抛物线 y