高中数学最值、范围、证明问题

1、课时作业A 组 基础对点练y2x21已知椭圆 C1： a2b21(ab0)的右顶点为 A(1,0)，过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)设点 P 在抛物线 C2：yx2h(hR)上， C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M，N.当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值b1，a2，解析： (1)由题意，得2从而b2 1.b1.ay22因此，所求的椭圆C1 的方程为 4 x 1.(2)如图，设 M(x1，y1)，N(x2， y2)，P(t，t2h)，则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为y|xt 2t.直线 MN 的方程为：y

2、2txt2 h.将上式代入椭圆C1 的方程中，得4x2 (2tx t2 h)2 4 0，即 4(1t2)x2 4t(t2h)x(t2 h)240.因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点，所以式中的1 16 t4 2(h2)t 2 h240.设线段 MN 的中点的横坐标是x3，2x1 x2t t ht1设线段 PA 的中点的横坐标是x4，则 x42 .由题意，得 x3 x4，即 t2(1h)t10.由式中的2 (1h)240，得 h 1，或 h3.当 h3 时， h20,4h2b0)的离心率为2 ，F 是椭圆 E的右焦点，直线 AF 的斜率为23，O 为坐标原点3(1)求 E 的方程；(

3、2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求 l 的方程解析： (1)设 F(c,0)，由条件知，2 23c3，得 c3.c3又 a 2 ，所以 a2，b2 a2c21.x22故 E 的方程为 4 y 1.(2)当 l x 轴时不合题意，故设 l ：y kx2，P(x1，y1)， Q(x2，y2)，2x 2将 ykx2 代入 4 y 1 得(1 4k2)x216kx12 0.当16(4k2 3)0，2 38k2 4k23即 k 4时， x1,24k21.从而 |PQ|4k21 4k2 3k21|x1x2|.4k21又点 O 到直线 PQ 的距离 d2

4、，k2 11 4 4k23所以OPQ 的面积 SOPQ2d|PQ| 4k21 . 设 4k23t，则 t0，4t4S OPQ.t2 4t4t47因为 t t4，当且仅当 t2，即 k 2时等号成立，且满足0，77所以，当OPQ 的面积最大时， l 的方程为 y2 x2或 y2 x2.3.如图，在矩形 ABCD 中， |AB|4，|AD|2，O 为 AB 的中点， P，Q 分别是 AD 和 CD 上的点，且满足 |AP|DQ|，直线 AQ 与|AD| |DC|x2y2BP 的交点在椭圆 E： a2 b21(ab0)上(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 R 为椭圆 E 的右顶点， M 为椭圆 E

5、第一象限部分上一点，作MN 垂直于 y轴，垂足为 N，求梯形 ORMN 面积的最大值解析： (1)设 AQ 与 BP 的交点为 G(x，y)，P( 2， y1)，1, ，由题可知，Q(x 2)yx1 2y2yy112 4，x 2x1 2， 4 ，2x从而有 4yx22y21，即为椭圆 E 的方程y，整理得 x2x412(2)由(1)知 R(2,0)，设 M(x0，y0)，则 y024x0，1122从而梯形 ORMN 的面积 S2(2x0)y044x02x0，134令 t 2 x0，则 2t0， u4t3 t4 单调递增，当 t(3,4)时， ub0)的离心率为3，且椭圆 C 上的点到一个焦点的

6、距离的最小值为3 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知过点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E，使 AEB 90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围解析： (1)设椭圆的半焦距长为c，c 6则由题设有： a 3 ，ac32，解得： a3，c2，b2 1，2y2故椭圆 C 的方程为 3 x 1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与 x 轴有公共点设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， AB 的中点为 M(x0，y0)，2y2将直线 l：ykx 2 代入 3 x 1，得 (3k2)x2 4kx10， 12k2 12，x x 2k122，y0

7、kx0 2 6x022，3k3 k|AB|1k212k2 122 3 k413k23k2，12k2 120，613k22|AB|，解得： k4 13，即 k 4 13或 k 4 13.B 组 能力提升练1(2018 武汉市模拟 ) 已知抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，直线 x4 与 x 轴的5交点为 P，与抛物线的交点为Q，且 |QF| 4|PQ|.(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过 F 的直线 l 与抛物线相交于 A， D 两点，与圆 x2(y 1)21 相交于 B，C 两点 (A，B 两点相邻 )，过 A，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点 M，求 ABM 与 CD

8、M 的面积之积的最小值解析： (1)由已知得 F(0，p88 p82)，P(4,0)， Q(4， p)，|QF|p2，|PQ|p，58p5 8因为 |QF| |PQ|，所以，4p24 p解得 p2 或 p 2(舍去 )，所以抛物线的方程为x2 4y.(2)设 l ：ykx 1，A(x1，y1)， B(x2，y2)，y kx1，联立方程，得x24y，消去y，得x2 4kx40，所以 x1 x24k，x1x2 4.x2x由 y 4 ，得 y 2.x2xx2111x1所以直线 MA：y4 2(x x1)，即 y2 x4 .2x2x2同理可求得直线MD ：y 2 x 4 .x xx21y124，解得

9、M(2k， 1)联立方程，得x2x2yx224，所以点 M 到 l 的距离 d2k221k2.21k212所以 S ABMS CDM 4|AB| |CD|d1212 4(|AF|1)(|DF|1)d 4y1y2d1 x21x22221，当且仅当 k0 时取等号 d1k4 16所以当 k0 时，ABM 与CDM 面积之积的最小值为1.2已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为 (3，0)(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线： ykxm(k 0， m0)与双曲线 C 交于不同的两点 M， N，且线段 MN 的垂直平分线过点 A(0， 1)，求实数 m 的取值范围x2y2解析：

10、 (1)设双曲线 C 的方程为 a2 b2 1(a0，b0)由已知得： a3， c 2，又 a2 b2c2，得 b21，x22双曲线C 的方程为 3 y 1.ykxm，整理得 (13k2)x2 6kmx 3m2 3 0.直线与双曲线有(2)联立 x223 y1，两个不同的交点，1 3k2 0， 12 m213k2 0，2221可得 m 3k1且 k 3，设 M(x1， y1)， N(x2，y2)，MN 的中点为 B(x0，y0)，则 x1x2 6km ，x0x1x23km2，1 3k213k2my0kx0 m 1 3k2.m1 3k2 11由题意， ABMN，kAB3km k(k0，m0)1

11、3k2整理得 3k2 4m1，将代入，得m24m0，m4.21又 3k 4m10(k0)，即 m4.1m 的取值范围是4，0 (4， )x2y233已知椭圆 a2b21(ab0)的左焦点为 F(c,0)，离心率为3，点 M 在椭圆22b243上且位于第一象限，直线FM 被圆 x y4 截得的线段的长为c， |FM|3 .(1)求直线 FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于2，求直线 OP(O 为原点 )的斜率的取值范围2解析： (1)由已知，有 c2 1，a3又由 a2 b2c2，可得 a2 3c2， b2 2c2.设直线 FM 的斜率为 k(k

12、0)，F( c,0)，则直线 FM 的方程为 yk(xc)kc2c 2b2由已知，有 (2) (2)(2)，k 13解得 k 3 .(2)由(1)得椭圆方程为x2y2322 1，直线 FM 的方程为 y3(xc)，两个方程联3c2c立，消去 y，整理得 3x2 2cx5c20，5解得 x 3c，或 x c.23因为点 M 在第一象限，可得 M 的坐标为(c，3 c)223243由 |FM|cc3c03 ，x2y2解得 c1，所以椭圆的方程为3 21.(3)设点 P 的坐标为 (x，y)，直线 FP 的斜率为 t，yyt x 1 ，得 tx2 y2消去 y，整，即 yt(x 1)(x1)，与椭圆

13、方程联立x13 21，理得 2x23t2(x1)26，62x2又由已知，得 t3 x1 22，3解得 2x1，或 1x0.y设直线 OP 的斜率为 m，得 mx，即 ymx(x 0)，与椭圆方程联立，222整理得 m x2 3.3当 x(2， 1)时，有 y t(x1)0，于是 m222232 ，得 m(3，3)x3当 x(1,0)时，有 y t(x1)0.因此 m1)，设 A 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点，过点 A 作圆 C 的弦 AM，并使弦 AM 的中点恰好落在 y 轴上(1)求点 M 的轨迹 E 的方程；(2)延长 MC 交曲线 E 于另一点 N，曲线 E 在点 N 处的切线与直线

14、AM 交于点 B，试判断以点 B 为圆心，线段 BC 的长为半径的圆与直线 MN 的位置关系， 并证明你的结论解析： (1)设 M(x，y)，x0，由题意可知， A(1r,0)，y记 AM 的中点为 D，则 D(0，2)，因为yyC(1,0)，DC(1， 2)，DM (x，2)在C 中，易知 CDDM ，所以 DCDM 0，2y2所以 x 4 0，即 y 4x(x0)，所以点 M 的轨迹 E 的方程为 y24x(x0)(2)B 与直线 MN 相切证明如下：设直线 MN 的方程为 xmy1，M(x1 ，y1)，N(x2，y2)，直线 BN 的方程为 yk(x2y2 4 )y2.xmy1，联立，得y24x，消去 x，得 y24my 4 0，所以 y1 y24m，y1y2 4.2y1r 1x1，则点 A(x1,0)，所以直线 AM 的方程为