高中数学题型全面归纳数列的综合25()改

1、第三节数列的综合数列是一种特殊的函数，解数列题时要注意运用函数与方程、分类讨论和等价转化思想等，将复杂的数列问题化繁为简.常见的数列综合题主要有数列与函数的综合及数列与不等式的综合两类形式.题型归纳及思路提示题型 87数列与不等式的综合思路提示数列与不等式的综合是高考的热点问题，内容主要包括两个方面：其一，不等式恒成立条件下，求参数的取值范围；其二，不等式的证明，常见方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法和数学归纳法等.一、不等式恒成立条件下，求参数的取值范围问题利用等价转化思想将其转化为最值问题.aF (n) 恒成立aF (n)max ；aF (n) 恒成立aF (n)min .例 6.38

2、设数列 an的前 n 项和为1n 1n10 .Sn ， a10, a9S（ 1）求证： lg an 是等差数列；（ 2）设 Tn 是数列 3 的前 n 项和，求使 Tn1(m25m) 对所有的 nN * 都成立的最大正整(lg an )(lg an1 )4数 m 的值 .1例 6.39 数列 an14n 22an 1n中， a8,a2 且满足 aa (n N*) .（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 n12|n|，求n ；S| a | | a| aS（ 3 ）设 bn1( n N*) ， Tnb1 b2bn (n N *) ，是否存在最大的整数m ，使得对任意n(12 an)n N

3、* ，均有 Tnm 成立若成立？求出m 的值；若不存在，请说明理由 .322评注 本题中的的第（ 3）问，还可以如下表述：bn110 ，故数列 bn 的前 n 项和 Tnn(12an )2n (n1)是关于 n 的单调递增函数，故Tn 的最小值为 T1b11 ，所以 T11 为 Tn 的最小值，故 1mm 8 ，故44432m 的最大整数值是7.即存在最大整数 m7 ，使对任意 nN * ，均有 Tnm .32变式 1 已知等差数列 n 满足 an 1nN *)11 ，该数列的前 3 项分别加上 1， 1， 3 后顺次成为等aa (n， a比数列 bn 的前 3项.（ 1）分别求数列 an ，

4、 bn 的通项公式 an ,bn ；（ 2）设 Tna1a2an (nN *) ，若 Tn2nn3 1c(cZ ) 恒成立，求 c 的最小值 .b1b2bn2n3例 6.40已知数列 an 的首项为 1，前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 an2Sn2(n 2,n N *) .2Sn11（ 1）求证：数列 是等差数列；Sn（ 2）求数列 an 的通项公式；（ 3）设存在正整数k ，使 (1S1 )(1S2 )(1Sn )k2n1 对于一切 nN * 都成立，求k 的最大值 .4变式 1 设函数 y f (x) 的定义域为 R，当 x0 时， f ( x)1 ，且对任意 x, yR ，都有

5、f ( x y) f ( x) f ( y)成立，数列 an 满足 a1 f (0) ，且 f (an 1 )1N*) .(nf ( 2 an )（ 1）证明： f ( x) 在 R 上为减函数；（ 2）求 a2015 的值；（ 3）若不等式 (11 )(11) (11 ) k 2n 1 对一切 nN * 都成立，求 k 的最大值 .a1a2an5变式 2 已知 an 是递增数列，其前n 项之和为 Sn ， a11 ，且 10Sn(2 an1)(an2)( nN *) .（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）是否存在 m, n, kN * ，使得 2(aman ) ak 成立？若存在，写出

6、一组符合条件的m, n, k 的值；若不存在，请说明理由；（ 3）设 bnann3 ,cn2(n3)an ，若对于任意的 nN * ，不等式25n15m10 恒成立，求正整数m 的最大值 .111cn 1n 131(1)(1)(1)b1b2bn6二、不等式的证明（构造辅助函数法与放缩法的应用）1.构造辅助函数（数列）证明不等式引理： xxl nx (1)xx 1x l nxx1 (.1 )0 ,1xx证明： 先证不等式的左边，xln( x1) ，移项得xln( x 1) 0，x1x1构造辅助函数f (x)xln( x 1)(x 0).1x易知 f (0)0，欲证明f (x)0 ，只需证明f (

7、x) 在 (0,) 上单调递减即可 .f (x)11x0，故函数 f ( x) 在 (0,) 上单调递减，f ( x) f (0)0 ，( x 1)2x 1( x 1)2故xln( x 1).x1再证明不等式的右边，ln( x1)x .移项得 ln( x1)x 0 ，构造辅助函数 g( x) ln( x1)x( x0) .易知 f (0)0 ，欲证明 g (x)0 只需证明 g (x) 在 (0,) 上单调递减，g (x)11x0 ，故函数 g (x) 在 (0,) 上为减函数 .x1x 1g ( x)g (0)0 ，故 ln( x1)x .综上所述，当x0 时xln( x1) x .x1不妨

8、令 x1(0,1, nN * ，则上述不等式变形为：n经典不等式一：1ln(111N *)n 1)(nnn下面就利用经典不等式一来证明在有关数列与不等式综合题中所涉及的不等式证明问题.例 6.41 证明不等式 ln n1112,n N *) .23(nn.7变式 1 证明：不等式 (112 )(112 )(112) (112 ) e .234n变式 2 数列 an 满足 a11,an 1(111N*) .2)ann (nnn2（ 1）求证： an2(nN*, n2) ；（ 2）已知不等式ln( x1) x 对 x0 成立，试证明：an e2.8变式 3 设函数 f (x)ln x px1 .（

9、 1）求函数 f ( x) 的极值；（ 2）当 p0 时，若对任意的x 0，恒有 f (x)0 ，求 p 的取值范围；（ 3）求证：ln 2 2ln 32ln n22n2n 1(n N*, n 2).2232n22( n1)变式 4 已知函数f (x)x2 an 满足 4Sn12x，各项都小于零的数列f ( ) 1 .2an（ 1）求证：1ln n11 (n N *) ；1annan（ 2）求证： 111ln 2015 111.232015220149变式 5 已知函数 f (x) exx ，其中 e 为自然对数的底数 .（ 1）求 f (x) 的最小值；（ 2）设 n N * ，且 n1n2

10、nn1 n1.2 ，证明： ()()()e 1nnnnk1变式 6 证明：不等式 1 (1 k2) ln n( n 1,2, ) .k1210经典不等式二 ： ln(11 )112 ( nN*) .nnn经典不等式三：ln(1111N*) .)2n3 (nnn证明：令1x(0,1，经典不等式二可变为ln(1x)xx2 ，移项得 ln(1 x)xx20 ，n构造辅助函数f (x)ln(1x)xx2 (x0,1) .f (x)112x1(2 x1)(x 1)1 2x2x1x(2x1)0 ，1x1x1x1x故函数 f ( x) 在 x0,1 上单调递增，又f (0)0 ，故 f ( x)f (0)0

11、 ，即 ln(1x)xx20 .1(0,1 ，得 ln(11)11N*) .令 xnn2 (nnn同理可将经典不等式三构造辅助函数f ( x)ln(1x)x2x3 (x0,1) .f (x)12x3x23x3x22x1 3x3( x1)20, x0,1 ，x1x1x1故函数 f ( x) 在 x0,1 上单调递增，又f (0)0 ，故 f ( x)f (0)0 ，即 ln(1x)x2x30 .1(0,1 ，得 ln(11)11( n N*) .令 xn2n3nn例 6.42 求证：对任意的 nN * ，都有 ln(n1)ni21成立 .i 1i112.放缩法证明不等式在证明不等式时，有时把不等

12、式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法 .放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母） .放缩法证不等式的理论依据是：A B, B CA C；A B,B CA C .放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.方法 1：对 an 进行放缩，然后求和 .n当ak 既不关于 n 单调，也不可直接求和，右边又是常数时，就应考虑对an 进行放缩，使目标变成可k 1求和的情形， 通常变为可裂项相消或压缩等比的数列.证明时要注意对照求证的结论，调整与控制放缩的度 .例 6.43

13、n11求证：k2.k 2评注不同的证明方法可达不同的结论，基本原则是裂项要能相消；放缩程度越小、越精确，效果越好.此外，常用n( n1)n2n(n1)来放缩有关n2 的问题 .12变式 1 正项数列 an 的前 n 项和 Sn满足： Sn2( n2n 1)Sn ( n2n)0 .（ 1）求数列 an 的通项公式 an ；（ 2）令 bnn1，数列 bn 的前 n 项和为Tn .证明：对于任意的n N * ，都有Tn5 .(n2) 2an26413例 6.44已知数列 an 满足 a111an )2an 1 0( nN*),n(an2（ 1）求 an ；（ 2）(n2)an ， n 是数列n的前

14、n项和，求证：n1 .n2 n 1T b2bT14.变式 1 已知函数 f (x)x(1 x)( x0) ，数列 cn 满足 c11 , cn 1 f (cn )(n N *) .2求证：n N* , n2111时，都有 11 c11 c212 .cn变式 2 数列 an 中， a2,an 1 a (n N * ) .1n 12nn（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 bnan2，若数列 bn 的前 n 项和为 T，求证： T1 .16n2an2nn215变式 3在数列 an ， bn 中， a12, b1 4 ，且 an ,bn , an 1 成等差数列， bn , an 1 ,bn

15、 1 成等比数列(n N * ) .（ 1） 求 a2 , a3 , a4 及 b2 ,b3 , b4 ，并由此猜测 an ， bn 的通项公式，并证明你的结论；（ 2）1115b1a2 b2an bn.a112变式 4（ 2012 广东理 19）设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，满足 2Snan 1 2n 1 1, n N * ,且 a1 , a2 5,a3成等差数列。（ 1）求 a1 的值；（ 2）求数列 an 的通项公式；（ 3）证明：对一切正整数n ，有 1113.a1a2an216例 6. 45 已知数列 an 满足 a11,an 12an 1(nN*) .（ 1）求数列 an

16、 的通项公式；（ 2）证明：n1a1a2ann*) .23a2a3an 1(nN217变式 1 已知数列 xn 满足 x11 , xn 11(n N * ) .21 xn（ 1）猜想数列 x 的单调性，并证明你的结论；2 n（ 2）证明： | xn 1xn | 1( 2 )n 1 (nN*) .65变式 2 已知曲线 C : xy1，过 C 上一点 A( x, y) 作斜率为 k的直线，交曲线C 于另一点A ( x , y) ，再过1111222点 A2 ( x2 , y2 ) 作斜率为 k2 的直线，交曲线C 于另一点 A3 ( x3 , y3 )，其中 x1xn1(n*.1,kn4xnN

17、)xn2（ 1）求 xn 1 与 xn 的关系式；（ 2）判断 xn 与 2 的大小关系，并证明你的结论；（ 3）求证： | x12 | x22 | xn2 | 2 .18变式 3 已知数列 x ，y ，满足xx21, y1y22 ，并且 xn 1xnyn 1yn( 为非零实数 ,nn1xnxn 1ynyn1n 2,3,4,) .（ 1）若 x , x , x 成等比数列，求参数的值；135（ 2）当0 时，证明： xn 1xn(nN*)；yn 1yn（ 3）当1 时，证明：x1y1x2y2xnyn(n*) .x2y2x3y3xn 1yn 1N1方法 2 添舍放缩例6.46求证： 122 3n

18、 (n 1)n(n 2) ( n N* ) .2.19变式 1求证： 1102 19n (9n 1)n(6n 7) (n N * ) .4变式 2 设数列 an 满足 a1 2, an 1an1 ，且 an2n1 对一切正整数 n 均成立，令anbnan( n 1,2, ) ，判定 bn 与 bn 1的大小，并说明理由 .n1ax1). 求证： |n变式 3已知 f ( x)(0 af (k ) n | 4.xi1a2120方法 3 对于一边是和或者积的数列不等式，可以把另外一边的含的式子看作是一个数列的前项的和或者积，求出该数列通项后再左、右两边一对一地比较大小，这种思路非常有效，还可以分析

19、出放缩法证明的操作方法，易于掌握. 需要指出的是，如果另外一边不是含有的式子，而是常数，则需要寻找目标不等式的加强不等式，再予以证明.例 6.47求证： 1111) 2n（n N * ).925(2n4(n1)变式 1已知 nN* ，求证： 111191.2!3!n!52 n!变式 2111n(n 1) .求证： 13nln( n 1)22(n1)21*11111例 6. 48 已知 n N，求证： (1) (12 )(1n )23n 1 .333变式 1已知 nN * ，求证： (1 1) (11)(11)2n 1 .132n122方法 4：单调放缩例 6. 49等比数列an 的前 n 项之

20、和为 Sn ，已知对任意的nN * ，点 ( n, Sn ) 均在函数ybxr ，的图象上 .（ 1）求 r 的值；（ 2）当 b2时，记 b2(loga1) ( n N * ) ，求证：对任意的*)，不等式n2 n( n Nb11 b2 1bn 1n 1成立 .b1b2bn23变式 1已知曲线 Cn : x 22nxy20 ( n1,2) ，从点 P( 1,0) 向曲线 Cn 引斜率为 kn (kn0) 的切线 l n ，切点为 Pn ( xn , yn ) .（ 1）求数列 xn 的通项公式；（ 2）求证： x1 x3x2n 3x2 n 11xn .1xn变式 2已知各项均为正数的数列 a

21、n 的前 n 项和 Sn 满足 Sn1 ，且 6Sn(an 1)(an2) (nN*).（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设数列 bn 满足 an (2bn1)1，并记 Tn 为数列 bn 的前 n 项和 .求证：3Tn1 log 2 (an3) (n N * ) .变式 3已知函数 f ( x) ln(1 x)x, 记 f (x) 在区间 0, n ( nN * ) 上的最小值为 bn ，令 anln(1n) bn .求证： a1a1a3a1 a3a2 n 12an 11 .a2a2a4a2 a4a2n24最有效训练题25（限时 45 分钟）1.设等差数列 an 的前 n 项和 Sn

22、 ，且 S15 0, S16 0,S1,S2,S15中的最大值是（）则a2a15a1A. S15B. S9C. S8D. S1a15a9a8a12.设等差数列 an 的前n 项和 Sn ，已知 (a71)22012(a71)1, (a20161)22012(a2016 1)1，有下列结论： S20122012; S20122012;a2012a7 ; a2012a7 .其中正确的结论的序号是（）A. B. C.D.3.已知 an是等差数列，且公差 d 不为零，其前n 项和是 Sn ，若 a3 ,a4 ,a8 成等比数列，则（）A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40C.a1d 0,dS40D.a1d0,dS404.已知函数 f ( x)sin x, x (0, 5 ) ，若方程 f ( x)有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成2等比数列，则的值为（）A.123D. 12B.C.225.定义在 (,0)(0,) 上的函数 f ( x) ，如果对于任意给定的等比数列 a n, f a n 仍是等比数列， 则称 f (x) 为“保等比数列函数” .现有定义在 (,0) (0,) 上的如下函数：f (x)x 2 ； f ( x)2x ；f (x)| x | ； f (