考研极限及应用试题

1、考研模拟试题（一）-极限及其应用（时间180分钟） 、计算题（本题共 12小题，每小题 5分，满分60分） 1、设 Xn 1,2, ，求 lim n Xn 2、求 lim 1 n n n 1 2n 1 n n 3、求 lim tann 1 n 4 n 4、求 lim n a n :b ，其中a 0， b 0 n 2 n 3n 2 1 1 cos-2 5、求1 lim n .n21, n 6、求 lim 1 x 1x2 1 x4 1 x8 n 2n 1 X ，其中x 1 7、求 lim 1 n n n 8、 求lim n n n n n!3 9、求 lim p 2 sin px . dx 1 x

2、2 1 1 1 10、求 nim 1 7 1 321 7 11、设函数f （x）在点a可导，且 f (a)0，求极限lim n f (a) 12、求极限lim x x ，其中a 0, a 1。 二、证明题（本题共 10小题，每小题6分，满分60 分） 13、用 -N的方法证明：lim n.1 n n 1。 证明: 15、已知：x 11 12 13 n 10 2 5 8 3n 1 n 1,2,3,。证明：数列xn有极限, 并求其极限值。 证明： 16、若 xn 1,2,3, ，且极限 lim n 十存在，证明：nimnxn nimX n 1 。 Xn 证明: 17、设 xn 1,2,3, lim

3、 xn n 用 一N的语言，证明：im . Xn 证明: 18、设 Xn sin1 2 sin 2 22 sin n 2n ，证明：数列 Xn收敛。 证明: 19、求证: lim n n dx 证明: 20、已知a X1 xn 1 xn 2， n N，证明：数列 xn a 收敛。 证明: 21、证明数列 Xn收敛，其中Xn a a a（ n 个根号），n 1,2,3,， 并求极限lim n Xn。 证明: 22、证明施笃兹（Stolz）:设数列yn单调递增趋于 ，且 lim Xn 1XnA( A n yn 1 yn 为常数或为 ）， （1）证明: lim互 nyn （2）用上述施笃兹（Stol

4、z）公式求极限，设an n 0为数列，a,为有限数，如果 存在正整数p，使得lim(an p an)，求lim an . nn n 证明： 三、极限应用题(本题共4小题，前两小题每小题 10分，后两小题5分，满分30 分) g(x) cosx 23、设函数 f(x)X a x 0，其中g(x)具有二阶连续导数，且 x 0 g (0) 1。 (1)确定a的值，使f (x)在x 0处连续；(2)求f (x) ；(3)讨论f (x)在x 0 处的连续性。 解： 24、设函数f(x)在闭区间0,1上四次连续可微, f (0) f (0)0，证明函数 f (x) 2,0 x1 F(x) fx在闭区间0,

5、1上二次连续可微。 (一), x 0 2 证明： x 1 25、研究函数f(x) lim n 的连续性。 n x 1 解： 26、求下列函数的渐近线 x e (1)y；( 2)y 1 x 解： x3 考研模拟试题(二) -导数与微分及其应用 (时间180分钟) 、计算与证明题(本题共 12小题，每小题7分，满分84分) 1、设 F(x) : t ln tdt，求 F (0) 解： 2、设f u存在，y f (x y)，求业， dx dx 解： 3、函数f(x) e x在x 0处是否连续，是否可导，是否有极值，为什么? 解: 4、设 y xS SXX，求 dy。 ydx 解: 5、求 dm x2

6、1 n x . 解: 6、 求函数y 1 2x sin 2 x 1 x2的导数 解： 7、设 f(x) arctanx，求 f(n)(0). 解: 8、设 2x tan x y x y 2 0 sectdt，x y，求 dx2 . 解: 9、设函数f(y)的反函数为f1(x)以及f f1x , f f 1 x都存在，且 1 x 0.证明：口 证明: 10、试用数学归纳法证明：xn 1 e：. 解: 11、设 f (x)在 x0,x0 0)内有定义。 (1 )若f (x)在点X。处导数存在，证明: 叫 Hh (2)若上式左端极限存在，是否f(x)在点x0一定可导？若结论成立，请证明，若 结论不成

7、立，请举反例。 解： x 12、设 f(X) 1 数。 证明： x 0 x 0，证明：不存在一个函数以f(x)为其导函 、导数与微分应用题 (本题共6小题，13题16分，14-18每小题10分，满分66) 1 1 13、设f(x) x 2e x，作函数f (x) x 2e 的图形。 解： 3 x 3 x 5 xfc x sin x x ，其中x 0 6 6 120 14、证明: 证明: 15、设f (x)在0,2上二次可微，且 f(X) 1, 证明： 16、验证函数 20 x2 0 x2, f(x) x22 (x)1。证明：f(X)1。 在闭区间0,4上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出中值公式中的中间值 解: 1