《导数的概念》PPT课件.ppt

1、第一节第一节 导数的概念导数的概念 一、问题的提出一、问题的提出 二、导数的定义二、导数的定义 三、由定义求导数三、由定义求导数 四、导数的几何意义四、导数的几何意义 五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系 一、问题的提出一、问题的提出 1 1、瞬时速度问题、瞬时速度问题 设运动物体的运动方程为设运动物体的运动方程为 s = s(t), 则在则在 t 与与 t0 之间之间平均速度平均速度 t )s(tt)s(t t s v 00 0 0 )()( tt tsts t0 时刻的时刻的（瞬时）速度瞬时）速度 t tstts t s )v(t tt )()( limlim 00 00 0 2 2、

2、切线问题、切线问题 切线切线割线的极限割线的极限 位置上的直线位置上的直线 T 0 xxox y )(xfy C N M 的的斜斜率率为为的的割割线线 点点处处上上曲曲线线 0 MN MC 0 0 tan xx yy , )()( 0 0 xx xfxf 点点处处的的切切线线的的斜斜率率为为上上曲曲线线 0 MC . )()( limlimtan 0 0 0 0 xx xfxf x y k xxx 二、导数的定义二、导数的定义 . 000 0 xxxxxx dx df , dx dy ) , (xf, y 注意注意 “导数为导数为 ”时不可导，即导数不存在。时不可导，即导数不存在。 1 定义定

3、义 上有定义。若上有定义。若在某个在某个设设)( 0 xUf(x) y 可记之为可记之为的的在在并且称此极限为并且称此极限为 ），），、（或（或在在存在，则称存在，则称 , limlimlim 0 0 0 000 00 0 导数导数 有导数有导数导数存在导数存在可导可导 xf(x)y xf(x) y ) xx )f(xf(x) x )f(xx)f(x ( x y xxxx 2单侧导数单侧导数： )( 0 0 xfy xx ：左左导导数数 ) )()( lim )()( lim( lim 0 000 0 0 0 xx xfxf x xfxxf x y xxx x ).(/ 0 0 xfy xx

4、：右右导导数数 ) ,( )()( 00 或或Axfxf ) ,( )( 0 或或Axf 可导性是可导性是局部性质。局部性质。 双侧、单侧导数的关系双侧、单侧导数的关系 3 区间上可导性的定义区间上可导性的定义 若若 f(x) 在区间在区间I I的的内部处处可导内部处处可导，并且在，并且在 I I所含所含 的左的左（右右）端点处右端点处右( (左左) )导数存在导数存在，则称，则称 f(x) 在区在区 间间I I上可导上可导。 导函数导函数 . )( )(| dx df(x) , dx dy (x), f, y f(x)y xfxxfxD ，可可记记作作的的为为对对应应法法则则的的函函数数叫叫

5、做做 以以为为定定义义域域，存存在在以以 导导函函数数 .: 000 0 可可有有两两种种理理解解 对对记记号号 xxxxxx dx df , dx dy ) , (xf, y 三、由定义求导数三、由定义求导数 例例1 1 .) ( )( 的的导导数数为为常常数数求求CCxf 解解 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h CC h 0 lim . 0 . 0)( C即即 例例2 2 .)(sin )(sin 4 x xx 及及求求 解解 h xhx x h sin)sin( lim)(sin 0 2 2 sin ) 2 cos(lim 0h h h x h .cosx .cos

6、)(sinxx 44 cos)(sin xx xx. 2 2 例例3 3 .)(的的导导数数求求 Nnxy n 解解 h xhx x nn h n )( lim)( 0 ! 2 )1( lim 121 0 nnn h hhx nn nx 1 n nx 一般地一般地 )0( )( 1 xx * *例例4 4 .)1, 0(的导数的导数求求 aaa x h aa a xhx h x 0 lim)( h a a h h x 1 lim 0 )1(log lim 0 1 t t a a t x at h )1(lim(log 1 1 0 t t a x t a aa e a x a x ln log

7、1 .ln)(aaa xx 即即.)( xx ee 解解 * *例例5 5 .)1, 0(log的的导导数数求求 aaxy a 解解 h xhx y aa h log)(log lim 0 . ln 1 )(log ax x a . 1 )(ln x x x x h x h a h 1 )1(log lim 0 h x a h x h x )1(loglim 1 0 e x a log 1 . ln 1 ax 例例6 6 .0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论 xxxf xy x y o 解解, 1lim 0 )0()( lim 00 x x x fxf xx , 1lim 0 )0()(

8、lim 00 x x x fxf xx ),0()0( ff有有 . 0 |)( 点不可导点不可导在在 xxxf 例例7 7. 0 )( 3 处处的的可可导导性性在在讨讨论论 xxxf 解解 0 0 lim 0 )0()( lim 3 1 00 x x x fxf xx 3 2 0 1 lim x x . 0 )( 3 点不可导点不可导在在 xxxf , 例例8 8 . )2 , 2 1 ( 1 法法线线方方程程 处处的的切切线线方方程程和和在在点点求求曲曲线线 x y 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为 2 1 x yk 2 1 1 )( x x. 4 所求切线

9、方程为所求切线方程为 法线方程为法线方程为 , ) 2 1 (42 xy , ) 2 1 ( 4 1 2 xy . 044 yx即即 . 01582 yx即即 2 1 2 x x 四、导数的几何意义四、导数的几何意义 ; )(,( )( 000 的的斜斜率率 处处切切线线在在点点为为曲曲线线xfxf(x) yxf ; )( 0 的斜率的斜率为为左切线左切线xf . )( 0 为为xf 处处切切线线方方程程为为在在点点曲曲线线 )(,( 00 xfxf(x)y 法法线线方方程程为为 ; )()( 000 xfxxxfy ).( )( )( 1 00 0 xfxx xf y 五、可导与连续的关系五

10、、可导与连续的关系 定理定理 可导可导 连续连续. . 证证 , )( 0 可可导导在在点点设设xxf , )( )()( lim 0 0 0 0 存存在在即即xf xx xfxf xx .)( 0连 连续续在在点点 xxf ) )()(lim 0 0 xfxf xx )( )()( lim 0 0 0 0 xx xx xfxf xx )(lim )()( lim 0 0 0 00 xx xx xfxf xxxx 00 )( 0 x f 证毕证毕 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立. 即即 连续连续 可导可导 连续但不可导函数举例连续但不可导函数举例 y y=|x| O

11、x x y o )(xfy x y 2 xy 0 xy y y=f(x) O x 例例9 9 0 1 1/1/x y . 0 , 0, 0 0, 1 sin )( 处处的的连连续续性性与与可可导导性性在在 讨讨论论 x x x x x xf )(lim 0 xf x )0(f x x x 1 sinlim 0 .0)(处处连连续续在在 xxf x x x x y xx 0 0 1 sin)0( limlim 00 x x 1 sinlim 0 . )( 也也非非不不存存在在 . 0 )( 处处不不可可导导在在 xxf 解解0 * *例例1010 .0 ）的的导导数数（常常数数求求 x 时，时，当当 0 x x xxx x x )( lim)( 0 解解 xx xx x x / 1)/1( lim 0