[工学]附录 截面的几何性质材料力学.ppt

1、材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 材料力学 附录 截面的几何性质 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 附录附录 截面的几何性质截面的几何性质 2 - -1 静距和形心静距和形心 -2 -2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径 -3 -3 惯性积惯性积 -4 -4 平行移轴公式平行移轴公式 -5 -5 转轴公式和主惯性轴转轴公式和主惯性轴 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 受力杆件的应力与应变，不仅与外力相关，而且与受力杆件的应力与应变，不仅与外力相关，而且与 截面的几何性质也相关。截面的几何性质也相关。 拉压变形拉压变形： FFl l EAA 扭转变形：扭

2、转变形： m ax PPP TTTl IWGI 弯曲变形：弯曲变形： max zz MyM IW A, IP, WP, Iz, Wz表征截面几何性质的量表征截面几何性质的量 3 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 分别称为截面图形对于分别称为截面图形对于z轴和轴和y 轴的轴的静矩。静矩。 静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零，单位为静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零，单位为m3。 , AA xdAydA xy AA 对单位厚度的均质薄对单位厚度的均质薄 板，其形心坐标为：板，其形心坐标为： 定义：定义： 4 -1 -1 静距和形心静距和形心 x A SydA y A Sx

3、dA o y z A dA y z 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 （平面图形面积的几何中心称为形心。） 5 A zdA z A y S A A ydA y A z S A 求静矩的另一公式求静矩的另一公式： y Sx A x Sy A o y z A dA y z 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 y z A C 结论结论 ： 截面图形对通过其形心的轴的静矩为零；截面图形对通过其形心的轴的静矩为零； 反之，若截面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。反之，若截面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。 结论：结论： 静矩的值与所选的坐标有静矩的值与所选的坐

4、标有 关关, ,可正、可负，也可为零。可正、可负，也可为零。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的 各组成部分对同一轴的静矩的代数和各组成部分对同一轴的静矩的代数和: : 11 12 12 12 ni zn AAAA ni SydAydAydAydA yAyAyAyA 7 11 11 nn i ii i ii nn ii ii zy AA zy AA 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例例 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。

5、轴的静矩。 解：解： 取取平行于平行于x轴的狭长条，轴的狭长条， ( )() b b yhy h d()d b Ahyy h 所以对所以对x 轴的静矩为轴的静矩为 6 d)(d 2 0 bh yyyh h b Ay S h A x Ox y b(y) ydy h b 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 取取 x 轴和轴和 y 轴分别与截面轴分别与截面 的底边和左边缘重合的底边和左边缘重合 解：将截面分为解：将截面分为 1，2 两个矩形。两个矩形。 AA xAxA A xA x n i i n i ii 21 2211 1 1 AA y A y A y 21 2 2 1 1 例例 试

6、确定图示截面心试确定图示截面心 C 的位置的位置。 10 10 120 o 80 1 2 x2 y2 y x x1 y1 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 10 10 120 o 80 1 2 x2 y2 y x 矩形矩形 1 mmA 2 1 120012010 mm x 5 1 mmy60 1 矩形矩形 2 mmA 2 2 7007010 mm x 45 2 70 10 2 mmy5 2 x1 y1 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 所以所以 12 12 12 1212 12 37500 20 mm 1900 75500 40 mm 1900 A xA x x A

7、A A yA y y AA 10 10 120 o 80 1 2 x2 y2 y x x1 y1 ),(xyC 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 思考：思考： 求下图所示截面的形心位置求下图所示截面的形心位置 y zA1 A2 1122 12 cc c yAyA y AA 60 10 50 10 12 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 解解 在距在距 z 轴任意高度轴任意高度 y 处取狭长条处取狭长条 作为微面积，即作为微面积，即 22 2dAry dy 例例 半径为半径为r的半圆：的半圆：求半圆的形心。求半圆的形心。 22 0 2 2 4 3 2 r A yry

8、dy ydA r y rA 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 分别称为截面图形对于分别称为截面图形对于z轴和轴和y 轴的轴的惯性矩惯性矩。 惯性矩的数值恒为正，常用单位为惯性矩的数值恒为正，常用单位为m m4 4 。 。 2 2 d d x A y A IyA IxA 14 dA x y y x .2 2 惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 AI A d 2 p 称为截面图形对称为截面图形对O点的点的极惯性矩极惯性矩。 222 xy 22222 p dddd yx AAAA IAxyAxAyAII 即截面图形对任意一对

9、正交坐标轴的惯性矩之和，等即截面图形对任意一对正交坐标轴的惯性矩之和，等 于它对该两轴交点的极惯性矩。于它对该两轴交点的极惯性矩。 15 二、极惯性矩二、极惯性矩 dA x y y x 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 o y z A dA y z y z zy 222 yz 且且 A P dAI 2 A dAyz)( 22 zy II 即：对即：对O点极惯矩等于对点极惯矩等于对过过O点同一平面内任意一对点同一平面内任意一对 相互垂直轴的惯矩之和。相互垂直轴的惯矩之和。 zy II 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 P I所以所以 只与原点只与原点O有关，即有关，即

10、 constII zy 0, 0 yz II 0恒 p I 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 2 2 xx yy IAi IAi ix 和iy分别称为截面图形对于x轴和 y轴的惯性半径， 单位为m。 A I i y y x x I i A 18 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例例-3 -3 计算矩形截面对其对称轴计算矩形截面对其对称轴y轴和轴和z轴的惯性矩。轴的惯性矩。 解：先计算截面对z轴的惯性矩。取 平行于z轴的狭长条为微面积，即: ybAdd /2 2 3 2 /2 12 dd h Ah z yA b by h Iy 同理，计算对y轴的惯性矩。取 平行于z

11、轴的狭长条为微面积，即: zhAdd /2 2 3 2 /2 12 dd b Ab y zA h hz b Iz 19 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 20 若截面是高度为若截面是高度为h的的 平行四边形，则其对形心平行四边形，则其对形心 轴轴x 的惯性矩同样为的惯性矩同样为 12 3 bh Ix h x y b (b) C 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例例5 求圆形截面的惯性矩。求圆形截面的惯性矩。 x y d 已知已知 A P dAI 2 4 32 d 则则 yxp III yx II 而而 所以所以 yx II p I 2 1 4 64 d 材材 料料

12、 力力 学学 电电 子子 教教 案案 常见截面的惯性矩和惯性半径常见截面的惯性矩和惯性半径 矩形矩形 I bh i h z z 3 12 2 3 b h z d z 圆形圆形 I d i d z z 4 64 4 d D z 圆环圆环 IDd i Dd z z 64 4 44 22 () 22 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 .3 .3 惯性积惯性积 d xy A Ixy A 定义为截面图形对于定义为截面图形对于z轴和轴和y 轴轴 的的惯性积惯性积。 惯性积的数值可能为正，可能为负，也可能为零，惯性积的数值可能为正，可能为负，也可能为零， 常用单位为常用单位为m4 4 。 。

13、若若y , , z 两坐标轴中有一个为截面的对称轴两坐标轴中有一个为截面的对称轴, ,则截面对则截面对 y y , , z轴的惯性积一定等于零轴的惯性积一定等于零。 23 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 C点为截面图形的形心， yC轴和zC轴为一对通过形心 的形心轴,图形对形心轴的惯性 矩、惯性积分别记为： A Cy AzI C d 2 A Cz AyI C d 2 A CCzy AzyI CC d 24 dA z y a b C yC zC y z -4 -4 平行移轴公式平行移轴公式 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 截面图形对于y轴和z轴的惯性矩和惯性积为:

14、 25 C C yay zbz 0 CxC yAS 2 2 22 2 () (2) 2 d d d y A C A CC A yCyC IzA zbA zbzbA IbSb A 2 zzC IIb A dA z y a b C yC zC y z 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 2 2 C C yy zz yzyCzC IIb A IIa A IIabA 即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。 同理：同理： 26 注意：注意： （1 1）两平行轴中，必须有一轴为）两平行轴中，必须有一轴为形心轴形心轴, ,截面对截面对 任意两平行轴的惯性矩间的关系任

15、意两平行轴的惯性矩间的关系, ,应通过平行的形应通过平行的形 心轴惯性矩来换算心轴惯性矩来换算; ; 2 2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中）截面图形对所有平行轴的惯性矩中, ,以对以对 形心轴的惯性矩最小形心轴的惯性矩最小. . 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 z y o A1 A2 A3 11 2 222 123 1 z A AAA n xi i Iy dA y dAy dAy dA I 2 11 () nn zzizCiii ii IIIa A 27 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 a 1 x 2 x 下列计算是否正确？下列计算是否正确？ 2 21xx I

16、IAa 不正确！不正确！ 因为因为x1和和x2都不是形心轴都不是形心轴! 28 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例例 计算计算T T型截面对其形心轴型截面对其形心轴zC轴的惯性矩轴的惯性矩IZC。 解：先截面看成由矩形1和矩形2 组成，选Z轴为参考坐标轴,首先 确定截面的形心坐标C(0,yC) 1122 12 3 2 (0.14 0.02 0.080.1 0.02 0) m (0.14 0.020.1 0.02) m 0.0467 m CC C A yA y y AA 应用平行移轴公式分别计算出矩形1、2对zC轴的惯性矩 29 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 1

17、 12 11 3424 64 1 0.02 0.14 m0.03330.02 0.14 m 12 7.69 10 m CC zz IIa A 2 22 22 3424 64 1 0.1 0.02 m0.04670.1 0.02 m 12 4.43 10 m CC zz IIa A 12646464 7.69 10 m4.43 10 m12.12 10 m CCC zzz III 整个图形对zC轴的惯性矩IZC 30 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例例 已知矩形截面对已知矩形截面对z1轴的惯性矩轴的惯性矩 ，现有与，现有与z1轴平轴平 行的另一轴行的另一轴z2轴，二者间距为轴，

18、二者间距为a0，用平行移轴公式计算图形，用平行移轴公式计算图形 对对z2轴的惯性矩轴的惯性矩Iz2 。 解：设解：设z0为矩形截面的形心轴。为矩形截面的形心轴。 h a0 z1 z2 b z2 3 3 1 bh I z 2 01 ) 2 ( h AII Zz 2 002 ) 2 ( h aAII Zz 22 210 33 222 0000 ( )() 22 ()(33) 33 zZ hh IIAA a bhbh bh a haha ha 31 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 32 例例 试求图试求图a 所示截面对于对称轴所示截面对于对称轴x的的惯性矩。惯性矩。 解：将截面看作一

19、个矩形和两个半圆组成。解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。 （1）矩形对）矩形对x的的惯性矩：惯性矩： 3 3 1 280 200 1212 x da I （2）一个半圆对其自身形）一个半圆对其自身形 心轴心轴xc的的惯性矩（惯性矩（见前例见前例） 2 22 2 2 () 838 c xxcx ddd IIyI x y C (a) d=80 40100a=10040 a+ 2d 3 44 5333 10 mm 44 12818 dd 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 33 （3）一个半圆对）一个半圆对x的的惯性矩：惯性矩： 由由平行移轴公式得：平行移轴公式得： 2 2 2 22

20、2 44 2 38 2 3467 10 mm 43223 c xx dd IIa ddaad （4）整个截面对于对称轴）整个截面对于对称轴x的的惯性矩：惯性矩： 12 44 44 2 5333 102 3467 10 12270 10 mm xxx III 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 34 cossin sincos 1 1 yxy yxxdA x y y x x1 y1 x1 y1 2sin2cos 22 1 xy yxyx x I IIII I 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 设一设一平面图形平面图形, ,已知已知 求求 , yzyz IIIA 1111

21、 , zyyz III o y z A dA y z 1 z 1 y 1 y 1 z -5 -5 转轴公式转轴公式主惯性距主惯性距 35 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 11 xyxy IIIIconst 角角从从原始坐标轴量起原始坐标轴量起,逆时针转向为正逆时针转向为正,反之则为负反之则为负. 1 cos2sin2 22 xyxy xxy IIII II 1 1 sin2cos2 2 xy x yxy II II 1 cos2sin2 22 xyxy yxy IIII II 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 o y z A dA y z 0 z 0 y 0 0 若若 , 0 00 zy I 则则 轴称轴称为主惯性轴（主轴）为主惯性轴（主轴）。 00,z y 如坐标原点与形心重合如坐标原点与形心重合,则称为形心主惯性轴。则称为形心主惯性轴。 对主惯性轴的的惯矩称为对主惯性轴的的惯矩称为主惯性矩。主惯性矩。 37 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 方向方向