文科高中数学公式大全(超全完美)

1、托普高考教育高中文科数学公式总结一、函数、导数1元素与集合的关系 : xAx CU A ,xCU AxA .? AA集合 a1, a2 ,L , an 的子集个数共有2n个；真子集有2n 1个；非空子集有2n 1 个；非空的真子集有2n2个 .2. 真值表常 见 结 论 的 否 定 形非或且式 ;真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有（ n1）个小于不小于至多有 n 个至少有（n1）个对所有 x ，成立存在某 x ，不成立p 或 qp 且q对任何 x ，不成立存在某 x ，成立p 且

2、 qp 或q四种命题的相互关系 (下图 ):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. ）原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非3. 充要条件（记 p 表示条件， q 表示结论）（ 1）充分条件：若pq ，则 p 是 q 充分条件 .（ 2）必要条件：若qp ，则 p 是 q 必要条件 .（ 3）充要条件：若pq ，且 qp ，则 p 是 q 充要条件 .注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.4.全称量词表示任意，表示存在；的否定是，的否定是。例：xR, x2x10的否定是xR, x2x105. 函数的单调性第 1 页（共

3、 9页）托普高考教育(1) 设 x1、 x2a,b, x1x2 那么f (x1 )f (x2 )0f ( x)在a, b 上是增函数；f (x1 )f (x2 )0f ( x)在 a,b 上是减函数 .(2) 设函数6. 复合函数yf ( x) 在某个区间内可导，若f (x)0，则 f (x) 为增函数；若f (x)0 ，则 f (x) 为减函数 .y f g( x) 单调性判断步骤：（ 1）先求定义域（ 2）把原函数拆分成两个简单函数yf (u) 和 ug ( x)（ 3）判断法则是同增异减（ 4）所求区间与定义域做交集7. 函数的奇偶性(1) 前提是定义域关于原点对称。(2)对于定义域内任

4、意的x ，都有 f (x)f ( x) ，则 f ( x) 是偶函数；对于定义域内任意的x ，都有 f (x)f ( x) ，则 f ( x) 是奇函数。(3)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。8若奇函数在x =0 处有意义，则一定存在f 00 ；若奇函数在x =0 处无意义，则利用fxf x 求解；9多项式函数P(x)an xnan 1 xn 1a0 的奇偶性多项式函数P(x) 是奇函数P( x) 的偶次项 ( 即奇数项 ) 的系数全为零 .多项式函数P(x) 是偶函数P( x) 的奇次项 ( 即偶数项 ) 的系数全为零 .10. 常见函数的图像：11. 函数的对称性(1

5、)函数 y f( x) 与函数 yf (x) 的图象关于直线x 0 ( 即 y 轴) 对称 .(2)对于函数 yf (x) ( xR ),f (ax)f (ax) 恒成立 , 则函数 f (x) 的对称轴是 x a(3)对于函数 yf (x) ( xR ),f (xa)f (bx) 恒成立 , 则函数 f (x) 的对称轴是abx;12. 由 f (x) 向左平移一个单位得到函数f (x1)2由 f (x) 向右平移一个单位得到函数f (x1)由 f (x) 向上平移一个单位得到函数f (x)1由 f (x)向下平移一个单位得到函数f ( x) 1若将函数y f ( x) 的图象向右移a 、再

6、向上移b 个单位，得到函数yf (x a) b 的图象；若将曲线f (x, y)0 的图象向右移 a 、向上移 b 个单位，得到曲线 f (x a, yb)0的图象 .13. 函数的周期性（ 1） f ( x)f(xa) ，则 f (x) 的周期 Ta；（ 2） f ( xa)f ( x) ，则 f ( x) 的周期 T2a（ 3 ） f (xa)12a，则 f ( x) 的周期 Tf (x)（ 4） f (xa)f (xb) , 则 f (x) 的周期 Tab ；14. 分数指数m(1) a n n am （ a0, m, n N ，且 n1 ） .第 2 页（共 9页）托普高考教育m11(

7、2) a n0, m, n N ，且 n 1） .m（ aa nn am15根式的性质（ 1） ( n a ) n a .（ 2）当 n 为奇数时， n a na ；当 n 为偶数时， n ana, a0.| a |a, a016指数的运算性质(1)ar asar s (a0, r , s Q) (2)arasars (a0, r, s Q)(3)(ar )sars ( a 0, r , sQ )(4)(ab)rar br (a0,b0, rQ) .17.指数式与对数式的互化式:log aNbabN (a0, a1, N0) .18对数的四则运算法则 : 若 a0， a1，M 0， N 0，则

8、(1)log a (MN )log a Mlog a N ;(2)log a Mlog a Mlog a N ;Nn log a(3)log a M nn log a M (nR) ; (4)log amN nN (n, mR)m（ 5） log a a1（ 6） log a 1019.对数的换底公式: log a Nlog m N(a0, 且 a1, m0 , 且 m1, N 0 ).log m a倒数关系式： log a blog b a120.对数恒等式： aloga NN (a 0, 且 a1, N0).21. 零点存在定理：如果函数f (x) 在区间（ a, b ）满足 f ( a)

9、 f (b) 0 ，则 f (x) 在区间（ a, b ）上存在零点。22. 函数 y f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义函数 yf (x) 在点 x0 处的导数是曲线yf ( x) 在 P( x0 , f (x0 ) 处的切线的斜率f ( x0 ) ，相应的切线方程是 yy0f ( x0 )( xx0 ) .23. 几种常见函数的导数(1)C 0 （ C 为常数）(2)( xn )nxn 1 (n Q)(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(ln x)1(6)1x(log a x)x ln a(7)( ex )ex(8)(ax )a x ln a.24.

10、导数的运算法则（ 1） (u v)uv（ 2） (uv)u v uv（ 3） ( u )u v uv (v 0)vv225. 复合函数的求导法则设函数 u( x) 在点 x 处有导数 ux (x) ，函数 yf (u) 在点 x 处的对应点U处有导数yu f (u) ，则第 3 页（共 9页）托普高考教育复合函数yf ( x) 在点 x 处有导数，且yxyu ux ，或写作fx ( x)f (u) ( x) .26. 求切线方程的步骤： 求原函数的导函数 f (x) 把横坐标 x0 带入导函数f ( x) ，得到 f ( x0 ) ，则斜率 k f (x0 ) 点斜式写方程 y y0f (x0

11、 )(x x0 )27. 求函数的单调区间 求原函数的导函数 f (x) 令 f (x)0 ，则得到原函数的单调增区间。 令 f (x)0 ，则得到原函数的单调减区间。28. 求极值常按如下步骤： 求原函数的导函数f (x) ； 令方程 f ( x) =0的根，这些根也称为可能极值点 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(可以通过列表法 ) 如果在 x0 附近的左侧 f ( x)0 ，右侧 f (x)0，则 f ( x0 ) 是极大值； 如果在 x0 附近的左侧f ( x)0 ，右侧 f ( x)0 ，则 f ( x0 ) 是极小值 . 将极值点带入到原函数中，得到极值。29.求最值常

12、按如下步骤： 求原函数的极值。 将两个端点带入原函数，求出端点值。 将极值与端点值相比较，最大的为最大值，最小的为最小值。二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量30. 同角三角函数的基本关系式sin2cos21 ， tan= sin.cos31. 正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变，符号看象限。32. 和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscosmsinsin;tan()tantan.1mtantan33. 二倍角公式sin 2sincos .cos2cos2sin22cos 21 1 2sin 2.第 4 页（共 9页）托普高考教育tan 22 tan.1 tan

13、22 cos21cos2, cos21cos 2;公式变形：21cos22sin 21cos2, sin 2;234. 三角函数的周期函数 ysin(x) ，周期 T2；函数 ycos(x) ，周期 T2；函数 ytan(x) ， 周期 T.35. 函数 y sin( x) 的周期、最值、单调区间、图象变换（熟记）36. 辅助角公式（化一公式）y a sin x b cos xa 2b2 sin( x ) 其中 tanba36. 正弦定理abcsin Asin B2R .sin C37. 余弦定理a2b2c22bc cos A;b2c2a22ca cos B ;c2a2b22ab cosC .

14、38. 三角形面积公式S111ab sin Cbc sin Aca sin B .22239. 三角形内角和定理在ABC中，有 ABCC( AB)sin( AB)sin C40.a 与 b 的数量积 ( 或内积 )41.平面向量的坐标运算uuur uuur uuur（ 1）设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) , 则 AB OB OA (x2x1 , y2 y1 ) .（ 2）设 a = ( x1 , y1) , b =( x2 , y2 ) ，则 a b =( x1x2 , y1y2 ) .（ 3）设 a = ( x1 , y1) , b = ( x2 , y2 ) ，

15、则 a b = ( x1x2 , y1y2 ) .（ 4）设 a = ( x1 , y1) , b = ( x2 , y2 ) ，则 a b = x1 x2y1 y2 .(5) 设 a = (x, y) ，则 ax2y 242.两向量的夹角公式设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ，且 b 0，则43. 向量的平行与垂直a / bbax1 y2x2 y10 .第 5 页（共 9页）托普高考教育ab(a0)a b0x 1 x2y1 y20 .44. 向量的射影公式若， a 与 b 的夹角为，则 b 在 a 的射影为 | b | cos三、数列45. 数列 an

16、的通项公式与前 n 项的和的关系（递推公式）ans1,n1snsn 1, n( 数列 an 的前 n 项的和为 sn a1 a2 L an ).246. 等差数列 an 的通项公式ana1(n1)ddna1d ( nN * ) ；47. 等差数列 an 的前 n 项和公式snn(a1 an )na1n(n 1) dd n2( a11 d )n .222248. 等差数列 an 的中项公式49.等差数列 an 中，若 m np q ，则 aman ap aq50.等差数列 an 中， sn ， s2 nsn ， s3ns2 n 成等差数列51.等差数列 an 中，若 n 为奇数，则 snnan1

17、252. 等比数列的通项公式n 1a1n*ana1qq (nN ) ；53. 等比数列前 n 项的和公式为sna1(1qn ) , q 1a1anq , q11q或 sn1q.na1 , q1na1 , q1当 q1 时，anna154. 等比数列 an 的中项公式55.等比数列 an 中，若 mnpq ，则 aman ap aq56.等比数列 an 中， sn ， s2 nsn ， s3ns2 n 成等比数列四、均值不等式57.均值不等式：如果 a, bR，那么 ab2ab 。“一正二定三相等”58.已知 x, y 都是正数，则有xyxy ，当 xy 时等号成立。2（ 1）若积 xy 是定值

18、 p ，则当 xy 时和 xy 有最小值 2 p ；（ 2）若和 x y 是定值 s，则当 xy 时积 xy 有最大值 1 s2.4五、解析几何59. 斜率的计算公式第 6 页（共 9页）托普高考教育（ 1） k tany2y1（ 3）直线一般式中A（ 2） kx1kx2B60. 直线的五种方程（ 1 ）点斜式yyk ( xx )( 直线l过点 P (x, y ) ，且斜率为k)111 11（ 2）斜截式ykxb (b为直线 l 在 y 轴上的截距 ).yy1xx1(yP( x , y )P ( x2 , y2 )x1x（ 3）两点式y12 )(、(2).y2y1x2x11 112（ 4）截距

19、式（ 5）一般式xya、b 分别为直线的横、纵截距，a、 b 0 )a1(bAxBy C0 ( 其中 A 、 B 不同时为 0).61. 两条直线的平行若 l1 : yk1 x b1 ， l2 : y k2 x b2（ 1） k1k2 ,b1 b2 ;（ 2） k1, k2 均不存在62. 两条直线的垂直若 l1 : y k1 xb1 ， l2 : y k2 x b2（ 1 ） k1k21.（ 2） k10, k2 不存在63. 平面两点间的距离公式d A, B( x2x1) 2( y2y1) 2 ( A ( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ).64.点到直线的距离| Ax

20、0 By0C |(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l ： Ax By C 0 ).dB2A265. 圆的三种方程（ 1）圆的标准方程(xa)2( yb)2r 2 .（ 2）圆的一般方程x2y2DxEyF 0 ( D 2E24F 0).圆心坐标 (D ,E ) 半径 =D 2E 24F22266. 直线与圆的位置关系直线 AxBy C0与圆 ( x a)2( yb) 2r 2 的位置关系有三种 :dr相离0;dr相切0;d r相交0 . 弦长 = 2 r 2d 2其中 dAaBbCA2.B 267. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质椭圆： x2y21(a b 0) ，

21、a2c2b2 ，离心率 ec1. 准线方程： xa2a2b2ac第 7 页（共 9页）托普高考教育双曲线： x2y 2 1 (a0,b0) ， c 2a 2b 2 ，离心率 ec1 ，准线方程： xa2a2b2b x .ac渐近线方程是 ya抛物线： y 22 px ，焦点 ( p ,0) , 准线 xp 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.2268. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 ）若双曲线方程为x2y2渐近线方程：x2y 20yb x .a21a2b2b 2x2y2a(2)若渐近线方程为yxy0 双曲线可设为.b xba2b2(3) 若双曲线与 x 2y2aax 2y21有公

22、共渐近线，可设为（0 ，焦点在 x 轴上，0 ，焦点a 2b2a 2b2在 y 轴上） .69.抛物线 y22 px 的焦半径公式抛物线 y22 px( p0) 焦半径 | PF | x0p . （抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。）pp270.ABx2x1x2p .过抛物线焦点的弦长x122六、立体几何71. 证明直线与直线平行的方法（ 1）三角形中位线（ 2）平行四边形（一组对边平行且相等）72. 证明直线与平面平行的方法（ 1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）（ 2）先证面面平行73. 证明平面与平面平行的方法平面与平面平行的判定定理（一个平面内

23、的两条相交 直线分别与另一平面平行）74. 证明直线与直线垂直的方法转化为证明直线与平面垂直75. 证明直线与平面垂直的方法（ 1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交 直线垂直）（ 2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）76. 证明平面与平面垂直的方法平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）77. 柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式圆柱侧面积 = 2 rl ，表面积 = 2 rl2 r 2圆椎侧面积 = rl ，表面积 = rlr 2V柱体1h 是柱体的高） .Sh （ S 是柱体的底面积、3V锥体1 Sh （ S 是锥