东南大学考博矩阵论复习题

1、东南大学考博矩阵论复习题2011矩阵论温习题1.设+=R V 是正真数散,对于于恣意的V y x ,界说x 取y 的以及为yx y x ?=对于于恣意的数R k ,界说k 取x 的数乘为kx x k =?问:对于于上述界说减法以及数乘运算的散开V ,是不是形成线性空间,并道明来由.2.对于恣意的2,R y x ,),(21x x x =,),(21y y y =界说x 取y 的以及为),(112211y x y x y x y x +=对于于恣意的数R k ,界说k 取x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k ?+=?问:对于于上述界说减法以及数乘运算的散开2R ,是不

2、是形成线性空间,并道明来由.3设,022|),(321321R x x x x x x x S i =+=，试证实S 是3R 的子空间，并供S 的一组基以及S dim .4.设)(R P n 暗示次数没有凌驾n 的齐体多项式形成的线性空间,)()(,0)0(|)(R P x f f x f S n =证实S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基以及盘算S dim .5.设T 是2R 上的线性变更,对于于基背量i 以及j 有j i i T +=)(ji j T ?=2)(1)断定T 正在基,j i 下的矩阵;2)若j i e ?=1j i e +=32,断定T 正在基,21e e 下的

3、矩阵.敬告：本资本去自收集，若有侵权，请收邮件至liwdedy/doc/3249bb1bfad6195f312ba6c2.html ，支到后坐即删除了，开开!6.设T 是3R 上的线性变更,对于于基,k j i 有k j k j i T ?=+)(i k j T =+)(kj i k T 532)(+=1)断定T 正在基,k j i 下的矩阵;2)供T 的整空间以及像空间的维数.7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,x x x ,(II):321,y y y ,由基(I)到基(II)的过分矩阵为?=101010101C ,3R 上的线性变更T 谦足

4、21321)32(y y x x x T +=+12323(24)T x x x y y +=+31321)43(y y x x x T +=+1)供T 正在基(II)下的矩阵;2)供)(1y T 正在基(I)下的坐标.8.正在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +=3221)(x x ax x f +=32321)(x x x x f +=会商)(),(),(321x f x f x f 的线性相干性.9.正在22R 中供由基(I)12101A ?=?20122A ?=?32112A ?=?41312A ?=?到基(II)11210B ?=?21111B ?=?3121

5、1B ?=?41101B ?=?的过渡矩阵.10.已经知1(1,2,1,0)=2(2,1,0,1)=?1(1,1,1,1)=?2(1,1,3,7)=?设1212(,)(,)V L L =,供线性空间V 的维数以及基.11.正在)(2R P 中,对于恣意的)()(),(2R P x g x f 界说内积为=10)()()(),(dx x g x f x g x f 若与)(2R P 的一组基,12x x ,试用Schmidt Gram ?正交化圆法,供)(2R P 的一组正交基.12.供矩阵10002i A i +?=?的偶同值分化.13.设A 为n 阶真矩阵,证实A 可暗示为一对于称矩阵以及一

6、否决称矩阵之以及.(提醒:若A A T =,称A 为对于称矩阵。若A A T?=,称A 为否决称矩阵)14.设x 以及y 是Eucild 空间V 的非整元,它们的夹角是,试证实cos |2|222y x y x y x ?+=?15.设A 是n n C上的n 阶圆阵,x 是n C 上的n 维列背量,证实：22|F Ax A x ?.16.设nn C A ,而且谦足E A A H =,盘算2|A 以及F A |.17.已经知122112012422A ?=?，供A 的最年夜值分化。18.设m n A C ，1）证实：()()Hrank A A rank A =;2)证实：H A A 是半正定矩阵

7、或者正定矩阵。19.供以下矩阵的谱阵以及谱分化400031013A ?=?332112310A ?=?20.设s ,21L 是n 阶纯真矩阵A 的重数为s r r r ,21L 的特性值,=s i i nr1i E 是A 的对于应于i 的谱阵,证实1)0=j i E E ,(j i ),2,1,s j i L =2)=s i i EE121.设函数矩阵?=t t t t A cos sin sin cos ,供)(t A dt d ,)(det t A dt d 以及)(det(t A dt d .22.证实1)()()()(111t A t A dtd t A t A dt d ?=2)Ae

8、 Ae e dtd At At At =23.已经知?=73487612i A ,?=845x ,供111|,|,|,|,|,|x x Ax Ax A A 24.设a |?是n n C 的一种矩阵范数,B 以及D 是n 阶可顺矩阵,且,1|1?a B 1|1?a D ,试证实对于恣意的nn C A ab BAD A |=也是n n C 的一种矩阵范数.25.已经知a |?是n n C 上的矩阵范数，0y 是n C 中的某非整列背量，n x C ?设0|H a x xy =证实它是n C 上的背量范数，而且取矩阵范数a |?相容。26.设A 是n n C上的n 阶圆阵,x 是n C 上的n 维列

9、背量,证实：2|x A Ax F F ?27.设n n C A ,B 以及D 是酉矩阵,证实:FF F F BAD AD BA A |=28.已经知?=00a a A ,?=a a a a B cos sin sin cos 个中R a 且0a ,证实:B e A =.29.已经知?=33i i A ,1)证实A 是Hermite 矩阵;2)供圆阵函数A cos .30.已经知?=2000310020111001A ，1)供A 的Jordan 尺度形J ;2)供可顺矩阵P ,使J AP P =?131.已经知?=3000130001300001A ,供A sin 以及)sin(At .32.设A 为n 阶圆阵,供证()det()A tr A e e=出格天当A 为否决称矩阵时有det()1A e =33.设?=3113A ,供圆阵函数A e 以及At e .34.证实:线性圆程组b Ax =(个中n m C A m C b )有解的充实需要前提是bb AA =+35.已经知?=112001110001A