北航空气动力学

1、Folie1 * 本章讲授内容比教材第二章多本章讲授内容比教材第二章多 2010年版本 第 2 章 流体运动学和动力学基础 2.1 描述流体运动的方法 2.1.1 两种描述方法 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 2.1.3 流线、流管、流面与流量 2.2 流体微团运动的分析 2.3 理想流体运动微分方程组 2.3.1 连续方程 2.3.2 Euler运动微分方程组 2.3.3 Bernoulli积分及其物理 意义 2.3.4 Bernoulli方程的应用 2.4 流体运动的积分方程 2.4.1 Lagrange型积分方程 2.4.2 Reynolds输运方程 2.4.3 Euler型积分方程

2、2.5 环量与涡 2.5.1 环量与涡的概念 2.5.2 环量与涡量的关系 2.5.3 涡的诱导速度 2.5.3 理想流中的涡定理 2010年版本 2.1 描述流体运动的方法 2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 连续介质假设：流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无 数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动 行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。 2010年版本 2.1 描述流体运动的方法 1、Lagrange方法（拉格朗日方法，质点法） Lagrange(1736-1813)，法国数学家、物理学家，分析力学的创始人，曾被拿破仑称为“

3、数学科学高耸 的金字塔” 。在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而 获得整个流场的运动规律。（迹线的概念） 描述刚体运动常用的方法描述刚体运动常用的方法 漂流瓶漂流瓶 2010年版本 x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t) 其中，a,b,c为流体质点的标识符，用 于区分和识别各质点，可理解为某个时 刻质点存在的空间位置坐标。 t表示时间。a.b.c.t称为拉格朗日变数。 a.b.c给定，表示指定质点的轨迹。 t给定，表示在给定时刻不同质点的空 间位置。 x y z t zyx, (a,b,c) 2.1 描述流体运动的方法

4、2010年版本 质点法观察者着眼于个别流体质点， 所获取的第一手资料是流体质点的轨迹 2.1 描述流体运动的方法 2010年版本 对于给定流体质点，速度表达式是 流体质点的加速度为 t tcbaz w t tcbay v t tcbax u ),( , ),( , ),( 2 2 2 2 2 2 ),( , ),( , ),( t tcbaz a t tcbay a t tcbax a zyx 2.1 描述流体运动的方法 2010年版本 流体质点的其它物理量也都是a,b,c,t的函数。 迹线方程为 dt w dz v dy u dx 2.1 描述流体运动的方法 2010年版本 2、Euler方

5、法（欧拉方法，空间点法，流场法） Euler(1707-1783)，瑞士数学家、物理学家，提出 变分原理，建立了理想流体运动方程。 在该方法中，观察者相对于坐标系是固定不动的，着 眼于不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记 录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个 流场的运动规律。（引出流线概念） 2.1 描述流体运动的方法 漂流瓶漂流瓶 - 水位测量水位测量 2010年版本 2.1 描述流体运动的方法 欧拉Leonhard Euler（17071783年） 瑞士数学家.欧拉是世界史上最伟大的数学 家之一.他从19岁就开始著书，直到76岁高 龄仍继续写作.几乎每个数学领域，都可以

6、 看到欧拉的名字.如初等几何的欧拉线、多 面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换 公式、四次方程的欧拉解法、数论中的欧拉 函数、微分方程的欧拉方程、级数论中欧拉 常数、变分学的欧拉方程、复变函数论欧拉 公式等。 1755年欧拉建立了理想不可压流体运动 的微分方程组（欧拉方程）。六年后，拉格 朗日引入流函数的概念，建立了理想流体无 旋运动所满足的动力学条件，提出求解这类 运动的复位势法（第三章内容）。 2010年版本 其中，x,y,z为空间点的坐标。 t表示时间。x.y.z.t称为欧拉变数。 x.y.z给定，t变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一 空间点的速度。 t给定， x.y.z变化，表示

7、给定时刻，不同流体质点通过不 同空间点的速度，给定速度场。 (守株待兔，看门房式的工作方法) ),( V ),( ),( tzyxw kwj vi utzyxv tzyxu 2.1 描述流体运动的方法 2010年版本 2.1 描述流体运动的方法 2010年版本 应指出，空间点速度本质上指的是t瞬时恰好占据该 空间点的流体质点所具有的速度。 一个布满了某种物理量的空间称为场。流体流动所 占据的空间称为流场。如果物理量是速度，描述的是速 度场。如果是压强，称为压强场。在高速流动时，气流 的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和 温度场。这都包括在流场的概念之内。 2.1 描述流体运动的方法

8、 速度、压力、温度都不是物性参数，而是流动参数速度、压力、温度都不是物性参数，而是流动参数 2010年版本 如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为定常场,否则为非定 常场。 对于定常速度场的表达为： ),(zyxuu 一个速度场 2.1 描述流体运动的方法 2010年版本 用欧拉法来描述流场时，观察者直接测量到的是速度，那么在流体 质点的运动过程中，质点的速度变化是如何引起的，怎样正确表示 流体质点的加速度呢，以下面例子说明之。 2.1 描述流体运动的方法 2010年版本 参看下图，第1图表示流体质点从A流到B速度不变；第2图表示 流体质点从A流到B点，因水位下降引起速度减小；第3图表示

9、流体质点从A流到B点，因管道收缩引起速度增加；第4图表示 流体质点从A流到B点，因水位下降和管道收缩引起速度的变化。 水位下降表示流场的非定常性，管道收缩表示流场的不均匀性。 由此可见，一般情况下引起流体质点速度的变化来自于两方面 的贡献：其一是流场的不均匀性，其二是流场的非定常性。 2.1 描述流体运动的方法 进入较冷的山洞的同时，进入较冷的山洞的同时， 有朋友用雪球砸到脖子有朋友用雪球砸到脖子 2010年版本 设速度函数具有一阶连续的偏导数，现在来求加速度。设 某一流体质点在t时刻位于流场中M点，经过微分时段位 于N点，根据加速度定义有 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 t tMVtNV

10、t tNVttNV dt Vd t tMVttNV t V dt Vd a t t tt ),(),( lim ),(),( lim ),(),( limlim 0 0 00 当地随时间的变化，非定常性当地随时间的变化，非定常性 当时随空间的变化，非均匀性当时随空间的变化，非均匀性 2010年版本 根据泰勒级数展开，流场非定常性引起的速度变化为 )( ),( ),(),( 2 tOt t tNV tNVttNV t V t tMV t tOt t tNV t tNVttNV tt ),( )( ),( lim ),(),( lim 2 00 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 2010年版本 由

11、于流场不均匀性引起的速度变化为 ),.,( ),(),(),( ),(),( ),.,( ),(),(),( ),( ),(),( 2 2 xOz z tMV y y tMV x x tMV tMVtNV xOz z tzyxV y y tzyxV x x tzyxV tzyxV tzzyyxxVtNV 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 M点为点为(x,y,z)，N点为点为(x+x, y+y, z+z) 2010年版本 由于流场不均匀性引起的速度变化为 z tMV w y tMV v x tMV u z tMV t z y tMV t y x tMV t x t xOz z tMV y y t

12、MV x x tMV t tMVtNV ttt t t ),(),(),( ),( lim ),( lim ),( lim ),.,( ),(),(),( lim ),(),( lim 000 2 0 0 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 2010年版本 综合起来，得到流体质点的全加速度为 VV t V dt Vd a z V w y V v x V u t V dt Vd a )( 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 k z j y i x 哈密顿算子：哈密顿算子： 2010年版本 等式右边第1项表示速度对时间的偏导数，是由流场的 非定常性引起的，称为局部加速度，或当地加速度；右边 第2项表示

13、因流体质点位置迁移引起的加速度，称为迁移 加速度，位变加速度，或对流加速度。二者的合成称为全 加速度，或随体加速度。写成分量形式为 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 duuuuu uvw dttxyz dvvvvv uvw dttxyz dwwwww uvw dttxyz VV t V dt Vd a z V w y V v x V u t V dt Vd a )( 2010年版本 算子 表示随流体质点运动的导数，称随体导数。除速度外，对流场中其它 变量也成立。如对于压强p，有 z w y v x u tdt d dppppp uvw dttxyz 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 2010年

14、版本 如果流动参数是一维空间流程坐标 s和时间 t的函数，速度 场为v（s,t）。则全加速度表示为： s v v t v Dt Dv as v s 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 2010年版本 根据上述分析，可得出以下各图中的加速度表达式。 2.1.2 欧拉法的加速度表达式 2010年版本 在某一瞬时t，从流场中某点出发，顺着这一点的速度 指向画一个微分段到达邻点，再按邻点在同一瞬时的速度 指向再画一个微分段，一直画下去，当取微分段趋于零时， 便得到一条光滑的曲线。在这条曲线上，任何一点的切线 方向均与占据该点的流体质点速度方向指向一致，这样曲 线称为流线。在任何瞬时，在流场中可绘制无数条

15、这样的 流线。流线的引入，对定性刻画流场具有重要意义。 2.1.3 流线、流管、流面与流量 时间 t 固定 2010年版本 由于流线上各点的切线方向与该点的速度方向一致，则流线上的切线 方向的三个余弦dx/ds，dy/ds，dz/ds必和流速分量与合速度组成的 三个方向余弦相同。表示为微分的关系是 V ds w dz v dy u dx 称为流线微分方程 2.1.3 流线、流管、流面与流量 在拉格朗日体系下的迹线方程：在拉格朗日体系下的迹线方程： dt w dz v dy u dx （欧拉体系下） 2010年版本 流线是反映流场瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质 点组成的。与迹线相

16、比，迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。根据流线 的定义，可知流线具有以下性质： （1）在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合。 在非定常流动中， 流线和迹线一般是不重合的。 （2）在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。 （虚拟边界） 2.1.3 流线、流管、流面与流量 2010年版本 （3）在常点处，流线不能相交、分叉、汇交、转折， 流线只能是一条光滑的曲线。也就是，在同一 时刻，一点处只能通过一条流线。 （4）在奇点和零速度点例外。 2.1.3 流线、流管、流面与流量 2010年版本 与流线密切相关的，是流管和 流面两个概念。流管是由一系 列相邻的流线围成。在三维流 动里，经过一条有流量穿过

17、的 封闭曲线的所有流线围成封闭 管状曲面称为流管。 2.1.3 流线、流管、流面与流量 2010年版本 由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一根管 子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体也不会越过管 壁流进去。 流面是由许多相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面不一定 合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不管合拢不 合拢，流面也是流动不会穿越的一个面 。 2.1.3 流线、流管、流面与流量 2010年版本 流量是单位时间内穿过指定截面的流体量（体积、质量或重量），例 如穿过上述流管中任意截面A的体积流量 、质量流量和重量流量可 分别表为 dAnVm A )( dAnVQ

18、A )( dAnVgG A )( 其中， 是局部速度向量， 是密度， 是微元面积 的法线向量 V n dA 2.1.3 流线、流管、流面与流量 2010年版本 2.2 流体微团运动的分析 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 在理论力学中，研究对象是质点和刚体（无变形体），它们 的基本运动形式可表示为： （1）质点运动（无体积大小的空间点）只有平移运动（平 动）； （2）刚体运动（刚体具有一定体积大小，但无变形） 除平移运动外，还有整体的旋转运动（转动） 2010年版本 2.2.1 流体微团的基本运动形式 在流体力学中，研究对象是质点和不断变化形状与大小 的变形

19、体，就变形体而言，其运动形式除包括了刚体的运 动形式外，还有变形运动。 变形运动包括两种，其一是引起体积大小变化的边长伸 缩线变形运动，其二是引起体积形状变化的角变形运动。 由此可得变形体的基本运动形式包括： （1）平动（2）转动（3）线变形运动（4）角变形运动 2010年版本 2.2.1 流体微团的基本运动形式 平动平动 转动（角平分线转动）转动（角平分线转动） 线变形运动线变形运动 角变形运动（角平分线不动）角变形运动（角平分线不动） 2010年版本 2.2.1 流体微团的基本运动形式 为便于分析，在流场中任取一平面微团分析。根据泰勒级数展开，微 分面四个顶点的速度可表示如下。 2010年

20、版本 2.2.1 流体微团的基本运动形式 （1）各顶点速度相同的部分，为微团的平动速度。 （u,v,w） （2）线变形速率 线变形运动是指微元体各边 长发生伸缩的运动。线变形速率定义为单位 时间单位长度的线变形量。如对于AB边长， 在微分时段内边长的增加量为 tx x u tux x u uAB )( 2010年版本 2.2.1 流体微团的基本运动形式 由此得到x方向的线变形速率(单位时间、单位长度)为 同理，在y方向的线变形速率为 x u xt AB t x )( lim 0 y v yt AC t y )( lim 0 2010年版本 2.2.1 流体微团的基本运动形式 平面微团的面积变化

21、率为 yx t y v x u tyx tyx y v x u tyx y v x u tyx yxty y v ytx x u x tyx ACAB Vdiv 2 0t 0t0 lim limlim )( div 散度散度 2010年版本 2.2.1 流体微团的基本运动形式 （3）角变形速率与旋转角速度 在微分时段内，AB与AC两正交边夹角的变化与微分平面的角变 形和转动有关。在微分时段内，AB边的偏转角度为（逆时针为正） t x v x tvx x v v x BB 1 2010年版本 2.2.1 流体微团的基本运动形式 在微分时间内，AC边的偏转角度为（顺时针为负） t y u y tu

22、y y u u y CC 2 2010年版本 2.2.1 流体微团的基本运动形式 平面微团夹角的总变化量可分解为像刚体一样角平分线的转 动部分和角平分线不动两边相对偏转同样大小角度的纯角变形 部分。如图所示。 2010年版本 2.2.1 流体微团的基本运动形式 设在微分时段内，平面微团角平分线转动角度为， 边线的纯角变形量为，则由几何关系可得 解出可得 21 2 2 2121 2010年版本 2.2.1 流体微团的基本运动形式 定义，平面微团的旋转角速度（单位时间的旋转角度）为 平面微团的角变形速率（单位时间单边角变形量）为 y u x v t t z 2 1 lim 0 y u x v t

23、t z 2 1 lim 0 注意负号和注意负号和1/2 2010年版本 2.2.1 流体微团的基本运动形式 对于三维六面体微团而言，其运动形式同样可分为： 平动、转动和变形运动，类似平面微团很容易导出相 关公式。此处不再推导，以下直接给出。 流体微团平动速度： ),(),(),(tzyxwtzyxvtzyxu 2010年版本 2.2.1 流体微团的基本运动形式 流体微团线变形速率： 流体微团角变形速率（剪切变形速率）： 流体微团旋转角速度： z w y v x u zyx , , y u x v x w z u z v y w zyx 2 1 , 2 1 , 2 1 y u x v x w z

24、 u z v y w zyx 2 1 , 2 1 , 2 1 2010年版本 2.2.2 流体微团速度分解定理 德国物理学家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场 速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中， 相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。 在 速度为 ),( 0 tzyxM ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) u x y z t v x y z t w x y z t 2010年版本 2.2.2 流体微团速度分解定理 在 点处，速度为),( 1 tzzyyxxM ),( ),( ),( tzzyyxxw tzzyyx

25、xv tzzyyxxu 2010年版本 2.2.2 流体微团速度分解定理 按泰勒级数展开有 zyxxytzyxw z z w y y w x x w tzyxwtzzyyxxw zyxzxtzyxv z z v y y v x x v tzyxvtzzyyxxv zyxyztzyxu z z u y y u x x u tzyxutzzyyxxu zxyyx xyzxz yzxzy )(),( ),(),( )(),( ),(),( )(),( ),(),( 式中第一项和M0点的速度相同，是微团的整体移动速度。第二、三项是角 速度；第四项是线变形率；第五、六项是角变形率 。说明微团运动同时包

26、含平动，转动和变形（线变形和角变形） 。 微团运动微团运动 平动平动 线变形（拉伸）线变形（拉伸） 角变形角变形 角速度（转动）角速度（转动） 2010年版本 2.2.2 流体微团速度分解定理 zyxxytzyxw z z w y y w x x w tzyxwtzzyyxxw zyxzxtzyxv z z v y y v x x v tzyxvtzzyyxxv zyxyztzyxu z z u y y u x x u tzyxutzzyyxxu zxyyx xyzxz yzxzy )(),( ),(),( )(),( ),(),( )(),( ),(),( 2010年版本 2.2.2 流体微

27、团速度分解定理 应指出的是，实际流体微团的运动可以是一种或几种运动的组 合。如， （1）对于均速直线运动，流体微团只有平动， 无转动和变形运动。 （2）无旋流动，流体微团存在平动、变形运动，但无转动。 （3）旋转容器内的流体运动，流体微团存在平 动和转动，但无变形运动。 2010年版本 2.2.2 流体微团速度分解定理 应指出的是，刚体的速度分解定理和流体微团的速度分解定理除了 变形运动外，还有一个重要的差别。刚体速度分解定理是对整个刚体都 成立，因此它是整体性定理；而流体速度分解定理只是对流体微团成立， 因它是局部性定理。譬如，刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体 特征量，在刚体上任意一点

28、都是不变的，而流体的旋转角速度是刻画局 部流体微团转动的一个局部性特征量，在不同点处微团的旋转角速度不 同。 2010年版本 2.2.3 散度及其意义 回顾：二维情况下，平面微团的面积变化率 三个相互垂直方向的线变形率之和在向量分析中称为速度V的散度， 符号为divV，即 z w y v x u VVdiv 散度在流体力学里表示流体微团的相对体积膨胀 率（单位时间单位体积的增长量）。 散度可以看成是哈密顿算子和速度的向量点乘散度可以看成是哈密顿算子和速度的向量点乘 2010年版本 2.2.3 散度及其意义 为说明此点可取一简单的矩形微元六面体来看，设六面体的三边 原长分别是x, y, z，原来

29、体积是（xyz），经过t时间后 三个边长分别变为： xt x u x 1 yt y v y 1 zt z w z 1 2010年版本 2.2.3 散度及其意义 则相对体积膨胀率（单位时间单位体积的增长量）为： V z w y v x u zyxzt z w yt y v xt x u tzyx Vdiv t 111 1 lim 0 2010年版本 2.2.3 散度及其意义 质量守恒：流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变， 它的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不 可压流动里，微团的体积不变，其速度的散度必为零。 0 z w y v x u VVdiv 如果是密度有

30、变化的流动，那么散度一般地 不等于零。 2010年版本 2.2.4 旋度和位函数 业已知道，流体微团绕自身轴的旋转角速度的三个分量为x，y，x， 合角速度可用矢量表示为 这个值在向量分析里记为（1/2）rotV，称为V的旋度。 VVrotkji zyx 2 1 2 1 旋度可以看成是哈密顿算子和速度的向量叉乘的二分之一旋度可以看成是哈密顿算子和速度的向量叉乘的二分之一 x y z x y z k z j y i x 2010年版本 2.2.4 旋度和位函数 一个流场，如果各处的都等于零，这样的流场称为无旋流场，其流动 称为无旋流。否则为有旋流场，其流动称有旋流。根据数学上Stokes 定律 A

31、L AdVrotrdV 如果是无旋流场，那么其旋度为零，由此得到 说明此时速度场的曲线积分与路径无关，仅是坐 标位置的函数。 0 L rdV 在数学分析里，上式是式 成为全微分的必要和充分条件 wdzvdyudx 之所以提出无旋场的概念，是因为无旋场在作理论研究时 有很大的意义。无旋流多了一个 的限制条件。 这个条件可以写为： ; x v y u ; y w z v z u x w 0, 0, 0 zyx 0 2.2.4 旋度和位函数 2010年版本 2.2.4 旋度和位函数 上式中这个函数称为速度势函数或速度位，其存在的充分必要条件是无 旋流动。 在数学上表示下列微分代表某个函数的全微分，即

32、 L 0 L drdVwdzvdyudxrdVd 0 2 1 Vrot 2010年版本 2.2.4 旋度和位函数 速度势函数仅是坐标位置和时间的函数。即 速度势函数与速度分量的关系为 说明速度势函数在某个方向的偏导数等于速度矢量在那个方向的分量。 ),(tzyx z w y v x u 类比彻体力的势函数类比彻体力的势函数 sds dz zds dy yds dx x szwsyvsxuvs ),cos(),cos(),cos( S x y z u V v w vs 2010年版本 2.2.4 旋度和位函数 一个无旋流场一旦知道了它的位函数 的具体 函数，按这个式子就可以算出流场上任何一点的流

33、速来。 对于无旋场而言，问题由求解具有三个分量的速度场， 变为求解一个位函数 位函数的绝对值没有太大意义但其差值有意义。对于 无旋流，沿一条连接A、B两点的曲线进行速度的线积分， 结果只与二端点的值之差有关而与积分路径无关。即： AB B A B A dwdzvdyudx )( ( , , )x y z 2010年版本 2.2.4 旋度和位函 数 例2.1 设有一个二维流场其速度分布的式子是 ,问这个流动是有旋的还是无旋的？有没有 速度位存在？流线方程是什么？变形率的是什么？ 解：流体微团绕z轴的旋转角速度为 流动无旋，存在速度势函数。 流线方程为 v dy u dx 000 2 1 2 1

34、y u x v z ayvaxu2,2 aydyaxdxvdyudxd22)( 22 yxa 2010年版本 2.2.4 旋度和位函 数 积分得 Cxy 常数C取一系列的值画得一系列的流线，见下图。 流体微团线变形率： 0 yx Vdiv a y v a x u x 2 2 y 角变形率： 0 2 1 y u x v z 2010年版本 2.2.4 旋度和位函 数 考察矩形微团ABCD，在如图流场中将从左上方流向右下方，由于 流动无旋微团不转动；由于相对体积膨胀率为零，x方向线段有缩短， y方向线段必有拉伸，流动过程中矩形微团面积保持不变；流体微团 无角变形。 AB CD AB CD DC A

35、B x y 0 2010年版本 2.3 理想流体运动微分方程组 2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程 连续方程是质量守恒定律在流体力学中具体表达形式。以下 针对一个微分六面体推导微分形式的连续方程。由于连续方程仅是 运动的行为，与动力无关，因此适应于理想流体和粘性流体。现在 流场中划定一个边长分别为dx，dy，dz的矩形六面体，这个体的 空间位置相对于坐标系是固定的，不随时间变化，被流体所通过。 2010年版本 2.3.1 连续方程 1.选取一个形状为六面体的微元做为控制 体 2.假设六面体中心点坐标为（x，y，z）。 在 t 时，过中心点流体微团的三个分速是 u，v，w，密度是。在t瞬时

36、，过该点处 通过垂直于x轴单位面积的流体流量为u （又称为密度流），如果把这个量看作为 空间和时间的函数，则根据泰勒级数展开， 在dt时段内，从ABCD面进入的流体质量 为： x z y A B C D A B C D dydzdt dx x u um 2 )( 1 质量流量的定义？质量流量的定义？ 2010年版本 2.3.1 连续方程 3. 在dt时段内，从ABCD面流出的流体质量为 4. 在dt时段内，由x面储存在在微分六面体的流体质量为 （净流入量） dydzdt dx x u um 2 )( 2 dxdydzdt x u dydzdt dx x u udydzdt dx x u u m

37、mmx )( 2 )( 2 )( 21 2010年版本 2.3.1 连续方程 5. 同理可得，在dt时段内，由y,z面储存在微分六面体的流体 质量为 6. 由此可得，在dt时段内由所有侧面流入到微分六面体的净流 体总质量为 )( )( dxdydzdt z w mdxdydzdt y v m zy )()()( dxdydzdt z w y v x u mmmm zyx 2010年版本 2.3.1 连续方程 7.由于是空间位置和时间的函数，在dt时段内，由于密 度变化引起微分六面体质量的增加量为 8.根据质量守恒定律，在dt时段内从侧面净流入微分六 面体的总质量应等于六面体内流体质量因密度随时

38、间变 化的引起增量。 dxdydzdt t dxdydzdxdydzdt t mt dxdydzdt )()()( t dxdydzdt z w y v x u mm t 即即 2010年版本 2.3.1 连续方程 上式两边同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的连续方程。 即: 0 0 0)( 0 )()()( V dt d z w y v x u z w y v x u t V t z w y v x u t 2010年版本 2.3.1 连续方程 连续方程 的物理意义是： 流体微元控制体密度的局部增长率 与微元控制体单位体积流出的质 量流量 之和等于零。 t )( V 等于微元控制体上单

39、位体积流出的质量流量的原因在于， 因为有高斯公式： )( V dsnV v )( lim)( 0 （显然当密度不变时，可将散度 看成单位体积流出的体 积流量） VVdiv 0 0 0)( 0 )()()( V dt d z w y v x u z w y v x u t V t z w y v x u t A dAVndV)()( 2010年版本 2.3.1 连续方程 对于不可压缩流体，连续方程变为 0 x u 0 0 z w y v V dt d 不可压连续方程 的物理意义是：不可压缩流动流体微元的相对体积 膨胀率保持为零，或从微元控制体流出的单位体积流量为零。 0 V 1. 不可压 指的是

40、每个质点的密度在流动过程中保持不变，但是这 个流体质点和那个流体质点的密度可以不同，即流体可以是非均值的， 因此不可压缩流体的密度并不一定处处都是常数，例如变密度平行流动。 0 x u 0 0 z w y v V dt d 不可压、均值与密度为常数的关系* 2010年版本 2.3.1 连续方程 2. 而均值流体的定义是0，即密度在空间上处处均匀，但不能 保证随时间不变化。 3. 只有既为不可压缩流体，同时又是均值时，流体的密度才处处都 是同一个常数。由不可压条件得到 ，由均值流体条件得到 0 dt d 0 从而有 。于是 =C，即流体密度既不随时间变化，也不随位置发生迁移变 化，在整个流场中是

41、个常数。 4. 反过来， =C 的流体必然满足不可压条件 ，是不可压流体。 )( V tz w y v x u tdt d 0 t 0 dt d 连续方程是流动首先应该满足的基本关系。 例如，速度场： , yxu, yxv 0w 满足不可压连续方程，能够代表一个三维不可压缩流动。 , xu , yvzw 则不能够代表一个三维不可压缩流动。 而速度场： 此外，还可以根据某方向的速度分布和连续方程，确定出 其他方向的速度分布。 2.3.1 连续方程 例：设不可压缩流体在 xoy 平面内流动，速度沿 x 轴方向的分量 u=Ax (A 为常 数)，求速度在 y 轴方向的分量 v。 解：对于不可压缩流动

42、，密度的随体导数 由微分形式连续方程： 0 y v x u A x Ax x u y v 2.3.1 连续方程 )()(xfAyxfAdyv 0 dt d 如果流动非定常，上式中函数 f(x) 则应为 f(x，t)。而函数 f(.) 的形式可任取。 因此 v 有无穷多个解。如果设 v 在 x 轴上的分布为0 即 f(x) 0 ，则： Ayv 2010年版本 2.3.2 Euler运动微分方程组 欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的，该方程实质上 是微分形式的动量方程。 在流场中划出一块三边分别的为 dx，dy，dz的微元矩形六面体的 流体微团来看，不计粘性力，表 面力没有切向力，

43、仅有法向力 （压力）一种。 x y z P dx dy dz 2010年版本 设六面体中心点坐标为(x,y,z)，相应该点处的流体要素为: 1) 压强p(x,y,z,t) 2) 单位彻体力fx fy fz 3) 速度u,v,w 4) 密度。 * 暂不考虑温度 在微元体的左面，压力为 在微元体的右面，压力为 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 x y z P dx dy dz 2 dx x p p 2 dx x p p dydz dx x p p 2 dydz dx x p p 2 微元六面体质量力在x方向的分力为x dxdydzf 根据牛顿定律：x 方向合

44、外力等于质量乘以x方向加 速度，得 dxdydz dt du dxdydzfdydz dx x p pdydz dx x p p x 22 2010年版本 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 两边同除以微元体积 的质量dxdydz，取极 限得到x方向的运动方程。为： 请注意，这里写成全加速度形式，是因为在 上述分析过程中，在微分时段内跟随流体微 团建立的。或者可表示为： x p f dt du x 1 x p f z u w y u v x u u t u x 1 同理可得其它两个方向的运动方程。 综合起来，有 z p f dt dw y p f dt d

45、v x p f dt du z y x 1 1 1 pf dt Vd 1 2010年版本 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 上三式即为笛卡儿坐标系下理想流体运动的欧拉方程（1755年，欧 拉）。表明了流体质点的加速度等于质量力减去压力梯度。写成另 一种形式，为： z p f z w w y w v x w u t w y p f z v w y v v x v u t v x p f z u w y u v x u u t u z y x 1 1 1 矢量形式pfVV t V 1 )( 欧拉方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力 之间的关系。我们不

46、妨把速度的变化和彻体力的存在看作是 压强之所以有变化的原因 ，这两个使压强起变化的因素是彼 此独立的，对于压强的作用是分开来计算的 。 对于如图的一维理想流动，利用牛顿定律很容易证明 欧拉方程为： s V V t V s p fs 1 s V 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 2010年版本 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 如果把加速度项重新组合，把加速度的迁移部分改 写，把角速度配成显式，这样的方程称为格罗米柯 -兰姆型方程。如x方向的方程，有 2 22 2 zy uuu uvw xyz uvwvuuw uvw

47、vw xxxxyzx V vw x 2010年版本 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 由此可得“格罗米柯形式”为 )(2) 2 ( 1 )(2) 2 ( 1 )(2) 2 ( 1 2 2 2 xyz zxy yzx vu V zt w z p f uw V yt v y p f wv V xt u x p f 写成矢量形式为 V t VV pf2 2 1 2 2010年版本 这个方程本质上仍是在理想流体运动方程。其好处是在方程中显示 了旋转角速度项。便于分析无旋流动。 对于理想流体，可以无旋运动也可以有旋运动。只是对于理想流体， 微团在运动过程中不会受到

48、切向力的作用，因而流体微团在运动过程中 不会改变它的旋度，如原来旋度为零的（即无旋流）在运动过程也保持 无旋流；原来有旋的，继续保持为有旋流，且其旋度不变。 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 对于理想正压流体，在质量力有势条件下，假设为定常流动，有： 0 ; p; 1 , 1 t V fdp V V V V 2) 2 ( 2 2 2 2 这样格罗米柯方程变为： 现在流场中，任取一条光滑曲线 dS，并将上式投影到曲线上，有： dS S dS dS dz zdS dy ydS dx x dz z dy y dx x Sd )( 注： sdVds V s 2

49、2 2 V t VV pf2 2 1 2 2.3.3 Bernoulli2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 2010年版本 这就是Bernoulli积分，或伯努利方程。上式表明，对于理 想正压流体的定常流动，在质量力有势条件下，单位体积流体 微团沿着这条特定曲线s的势能、压能和动能之和不变，即总 机械能不变。（1738年, Bernoulli ） 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 )( 2 0 2 22 sC VV s 这样在曲线上，下式成立： sdVds V s 2 2 2 如果上式右边

50、项为零，有0sdV 2010年版本 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 Bernoulli积分成立的条件，是 （1）沿着任意一条流线，Bernoulli积分成立。 这是因为，在此情况下 0sdV 0sdV VV / Vsd （2）沿着任意一条涡线，Bernoulli积分成立。 这是因为，在此情况下 0sdV V / sd 2010年版本 （3）在以下条件下，Bernoulli积分与所取的曲线无关，在整个流场中 积分常数不变，等于同一个常数。 (a) 静止流场， (b) 无旋流场，有势流动, (c) 流线与涡线重合，即螺旋流动,

51、 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 0 V 0V 0 /V 注意注意Bernouli方程的适用范围方程的适用范围 2010年版本 对于不可压缩流体，在不计质量力情况下，Bernoulli积分 变为： 如果质量力只有重力，Bernoulli积分变为 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 )( 2 2 sC Vp )( 2 2 sC Vp gy )( 2 0 2 22 sC VV s 如果两边同除以g，最后得到的能量方程形式为 上式表示不可压缩流体，在质量力为重力

52、作用下的能量方程。 表明：单位重量流体所具有的势能、压能和动能之和不变。 )( 2 2 sH g Vp y 2010年版本 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 y - 表示单位重量流体相对于基准面高度，称为位置水头； p/ - 表示单位重量流体在绝对真空管中上升的高度，称为压强水头； V2/2g - 表示单位重量流体垂直上抛所能达到高度，称为速度水头； H -表示沿流线单位重量流体具有的总能量，称总水头。 y1 1 p 2 p y2 g v 2 2 1 g v 2 2 2 H1H2 静力水头线 总水头线 1 2 y x 与静力

53、学中的与静力学中的平衡液体基本方程平衡液体基本方程进行对比进行对比 )(常数Hy p 2010年版本 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 例. 求如图光滑容器中小孔的出流速度 v，假设小 孔中心距自由面深为 h 解. 由于是小孔出流，因此自由面 的水位下降速度v0 与小孔的出流 速度相比可以忽略不计，流动可以 假设是定常的。假设不计粘性损失。 沿小孔中心点处一根流线列伯努利 方程，由于是小孔，中心点处速度 可以近似代表小孔速度 v h pa pa 2010年版本 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 2 00

54、 2 vp gh p aa ghv2 此式也可是将流动看成是一维流动的结果，从而 （由于实际上粘性不可忽略，实际速度将略低于上 述理论值,有： ，其中cv叫做速度系数， 实验表明cv 0.97） ghcv v 2 2010年版本 测量低速气流的速度时，用的风速管就是根据上述原理设计并由上式 去计算风速的。风速管的构造很简单，见右下图。 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 )2 ) 2 ( 0 s 2 0 s p(p Vgyp g V ygp 2010年版本 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 总压孔对准来流

55、，来流撞在孔上速度降为零， 相应的压强达到了总压p0 ，而静压空处感受到 的是静压。测量时不必分开量总压和静压，只 要把二者接在一根U形测压计的两支上，看二 者的差（p0- p）就行了。 1.05-0.98 )(2 0 s pp V 2010年版本 2010年版本 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 例. 在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直 匀流的静压p=p101200牛/米2，流速=100米/秒。 已知A，B，C三点的速度分别是VA=0，VB=150米/秒， VC=50米/秒，空气在海平面的=1.255千克/米3 。 假设流动无旋，求A、B、

56、C三点的压强 直匀流对机翼的绕流 2010年版本 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 解: 流动是无旋的，伯努利常数全流场通用。根 据远前方的条件得 这就是通用于全流场的常数。于是 2 2 0 /107325 )100( 2 225. 1 101200 米牛 p 22 0 22 0 22 0 /1057941531107325 2 /93825225006125. 0107325 2 /107325 2 米牛 米牛 米牛 CC BB AA vpp vpp vpp 2010年版本 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方

57、程应用 例 有一种二维的绕其固定轴线的旋转流动，其正 比于半径r，即=kr，如图。试证伯努利常数C是r 的函数。 证: 先沿着流线写出伯努利方程 对半径取导数： 2 2 vpC r v v r p r C d P Pr r 一种旋转流动 2010年版本 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 法向压力差必须平衡微团的离心力，故有 左侧的第二项是AD面和BC面上的压力在 r向的投影。 略去微量的高次项，得 代入 C r 的式子，并将 vkr 代入，得 drd drrr r v prddrdrrdr r p ppddrrdr r p p ) 2 ( )( 2

58、 1 )( 2 r v r p 2 2 2 C k r r 2010年版本 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 如果速度场是 r K v 试证明，能量方程的积分常数对整个流场是不变的。 0 r v v r p r C Bernouli方程的积分常数，方程的积分常数， 在什么情况下在整个流场范围内不变？在什么情况下在整个流场范围内不变？ 2010年版本 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 该流场实际上是一个无旋流场，能量方程 积分常数不变。 0 )()(22 1 222 22 222 22 z 2222 yx

59、 xy yx xyK y u x v yx x Kv yx y Ku r K v 对于在流场中一个集中的旋涡，分涡核和涡 核外的诱导流场。在涡核内流体质点像刚体一样 绕涡轴旋转，其周向速度与r成正比，在涡核外 的诱导流场是无旋运动，其周向速度与r成反比。 2010年版本 2.4 流体运动的积分方程 2.4.1 基本概念 流体动力学是研究产生流体运动的原因。为 此，我们必须解决三个方面的问题： （1）流体的运动学问题；（2）作用于流体上 各种力的特征；（3）控制流体运动的普遍规律 （质量守恒、牛顿第二定律（动量守恒）、动量 矩守恒、能量守恒等） 2010年版本 流体动力学方程是将这些描述物质运动

60、的普遍规律，应用于流体 运动的物理现象中，从而得到联系流体运动各物理量之间的关系式， 这些关系式就是流体动力学的基本方程，如果关系式是以积分形式给 出，称为流体动力学积分方程，如果是以微分形式给出，称为微分方 程。在流体动力学积分方程中，具体包括： （1）连续方程；（2）动量方程；（3）动量矩方程；（4）能量 方程 2.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 2010年版本 1、系统(System) 定义：系统是指包含着确定不变物质的任何集合体，称为系统。 在流体力学中，系统是指由任何确定流体质点组成的团体。系统的基 本特点 （1）系统边界随流体一起运动；（2）在系统的边界上没有质量的 交换；（