行列式测试题(有答案)

1、第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题（每小题2分，满分20分） 1 .全体 3阶排列一共有 6个，它们是 123,132,213,231,312,321; 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶 排列，奇排列经过偶数次 对换变为 奇排列; 3. 行列式D和它的转置行列式D有关系式D D ； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零： 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行 （列） 的对应元素上，行列式 的值不变

2、： 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于 零: a11 a12 L a1 n 0 a22 L a2n ai1a22 K ann ； 9. M M M M 0 0 L ann 二、判断题(每小题3分，满分24分) 1.若(口2 in) k,则 心花in) k 1 (V) a11 a12 a1n 2.设D a21 a22 a2n ，则d的 -般项 3iljlai2j2 ai j的符号 an1 an2 ann 是( 1) (j1j2 jn) (X) 2 10.当 k= 714 2 时， k 2k 3.若n(n2)阶行列式D=0,则D有两行(列)元素相同

3、.(为 4 .若n阶行列式D恰有n个元素非0，则Dm 0.( 为 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接 使用克莱姆法则求解。 6.若行列式D的相同元素多于n2 n个，贝U D=0.( 为 aii ai2 7. a32 a13 a23 a33 a12 a22 a23 a11 a21 a31 ai3 a23 a33 8.n阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘 积项带负号。(X) 三、单项选择题(每小题 4分，满分20分) 1.位于n级排列i2L ik i1 ik i L in中的数1与其余数形成的反 序个数为(A) (A) k-1 (B) n-k-1(C)C：

4、(D) C： k 2. 设 iii2 L in 是奇排列，则 inin 1L i2i1 是（C） （A）奇排列；（B）偶排列； （C）奇偶性不能仅由n的奇偶性确定的排列； （D）奇偶性仅由n的奇偶性确定的排列。 3. 个不等于0的n阶行列式中非零元素个数至少为（D）; (A)n(n 1)(B)n2 (C)(n 1)2 ( D)n 4.以下数集作成数环的是 (C ) (1) S=b5 b Z ；(2) S=a 0 a Q (3) S= a bx/3a,b Z ； (4) S= a b/3i a,b (A) (1)、(3) (B) (2)、(4) (C) (3)、(4) (D) (1)、(4) a

5、 00 e 0 b f 0 5.行列式 0 g c 0 中兀素f的代数余子式是（C ) h 00 d d e d e a e a e (A) (B) (C) g (D) g f g f h d h d 四、计算下列各题（每小题 5分，满分20分） 1.计算（2k）1（2k-1）2L （k+1）k ）； 解 (2 k )1 (2 k 1 )2 L (k 1) k (12 Lk ) (1 2 L ( k 1) k ( k 1) k (k1)k 2 2 2 3 5 2 1 2.设D 1 1 1 3 0 1 5 3 ,求 A11 A12 A13 a14的 值. 2 4 1 3 1111 1105 13

6、13 亦 2 3 4 5 22 32 42 52 3.计算行列式D= 小3 ,3 -3 2 3 4 5 24 34 44 54 C5 6 62 63 64 的值。 (3 2)(4 2)(5 (5 4)(6 2(6 4(6 2)(4 5)5=28815 3(5 3)(6 3) 亦 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 22 32 42 52 62 22 32 42 52 62 23 33 43 53 63 23 33 43 53 63 24 34 44 54 64 24 34 44 54 64 1 1 2 1 解 D n 0 2 M M 0 0 1 2 0 1 (n 1)n

7、 0 0 2 M M 0 0 1) n ( 3 L n 1 n 将第 2 至n列 都加 0 L 0 0 到第 一列 2 L 0 0 M M M 0 L n 1 1 n 3 L n 1 n 0 L 0 0 2 L 0 0 M M M 0 L 1 n (n i n ( 1) (n 1)! 1 2 3 L n 1 n 1 1 0 L 0 0 4.计算行列式 Dn 0 2 2 L 0 0 的值。 M M M M M 0 0 0 L n 1 1 n 五、证明下列各题（满分 16分） 1.设Fi,F2均为数域，证明FiI F2也是数域。（5 分） 证明因为 0,1 Fl,F2 0,1Fi F： 2,a,b

8、 F1 F2a,b F1, a, b F2 a a b,ab,( b :b 0) F1,a a i b,ab, (b b 0) F2 a b, ab, a(b b 0) F1 F2 F1 F2是数域。 ay bx c 已知 a,b,c 均不为0, 证明 cx az b有唯- 解。 bz cy a 2. (5 分) 证明因为方程组的系数行列式 ba0 Dc0a2abc O（Qa,b,c均不为0） 0cb 所以有克莱姆法则知，方程组有唯一解。 0abc 0. (6 分) a0cb 3.设a,b,c是一个三角形的三边，证明bc0a 证明 -a c-b b-c -a c-b b-c (a+b+c) c

9、-a -b a-c (a+b+c) c -c a-b b-a a-b -c b a-c -b 0 a b c a 0 c b b c 0 a c b a 0 0 0 0 a+c-b a+b-c 0 1 a b c 1 0 0 0 (a+b+c) 1 0 c b (a+b+c) 1 a c b b c 1 c 0 a 1 c ab a c 1 b a 0 1 b a a bc -111 =(a+b+c)(a-(b+c)c-ca-b ba-c-b -1 (a+b+c)(a-(b+c) c b (a+b+c)(a-(b+c)(a+b-c)(a+c-b)0 （因为a,b,c是三角形的三边） 本讲作业:

10、 （一）解答下列各题 1 2 3 L n 1 x 1 3 L n D 1 2 x 1 L n 1.计算行列式 M M M O M 1 2 3 L x 1 解 当x 1时，Dn 0,所以(x 1)|Dn同理(x 2),L , x (n 1)均为Dn的因式。又x i与x j(i j)各不相 同，所以(x-1) (x 2)L x (n 1)| Dn 但Dn的展开式中最高次项xn 1的系数为1,所以 Dn = ( x-1) (x 2)L x (n 1) 2.计算n阶行列式 解由于按第一列展开有 Dn 5Dn 1 6Dn 2,作特 征方程x 2 5x 6 0,解此方程得二根2,3，令 Dn A2n 1

11、B3n1,令n 1,2可得 A B 5 2A 3B 19 解得 A 4,B9 Dn 3n 1-2n 1 a。 a2 Lan 1 an 1a0 3.证明Da 2a 1 5八f 2f 1 M M a1 a2 a3L n 1 其中 f (x)aixi, cos2 an 2 an 3f(1)f( )L f( n1), M a。 .2 i sin 证明作矩阵乘积 a。 qa? L an 1 an 1 a0 a1 L an 2 an 2 an 1a0 L an 3 M M M L M ai a2a3 L a。 f(1) f() f( 2) f(1) f() 2 f( 2) f(1) 2f() 4 f( 2) M M M f(1) n1f() 2( n 1f( 2) 1 1 1 L 1 1 2 L n 1 1 2 4 L 2(n 1) M M M L M 1 n1 2(n 1) L (n 1)(n 1) 两边取行列式即得所征。 1 1 1 L 1 1 2 L n 1 1 2 4 L 2(n 1) M M M L M 1 n 1 2( n 1) L (n 1)(n 1) L f( n1) L n 1 f ( n 1 ) L 2( n 1) f ( n 1) L M L (n 1)(n 1) f ( n1) f(1) f()