微积分下册知识点

1、微积分下册知识点第一章空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设a ( ax , ay , az ) ， b(b ,b ,b )，xy z则 a b (ax bx , ayby , azbz ) ,a (ax , ay , az) ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模： rx2y2z2；2） 两点间的距离公式：AB(x2x1)2( y2y1 )2( z2z1 )23） 方向角：非零向量与三个坐标轴的

2、正向的夹角,4） 方向余弦： cosx , cosy , coszrrrcos2cos2cos215） 投影： Pr juaa cos，其中为向量 a 与 u 的夹角。（二） 数量积，向量积1、 数量积： abab cos） aaa212） abab0a b a xb xa y b ya zbz2、 向量积： cab大小： absin，方向： a ,b , c 符合右手规则1） aa02） a / bab0ijkabaxayazbxbybz运算律：反交换律baab（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：S : f ( x, y, z )02、 旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f ( y,

3、 z)0 ，绕 y 轴旋转一周： f ( y ,x 2z 2 )0绕 z 轴旋转一周： f (x 2y 2 , z)03、 柱面：F ( x, y )0F ( x, y ) 0 表示母线平行于 z 轴，准线为的柱面z 04、 二次曲面 （不考）x 2y 2z21） 椭圆锥面： a 2b 2x 2y 2z 212） 椭球面： a 2b 2c 2x 2y 2z 21旋转椭球面： a 2a 2c 2x 2y 2z213） 单叶双曲面： a 2b 2c 2x 2y 2z214） 双叶双曲面： a 2b 2c 2x 2y 2z5） 椭圆抛物面： a 2b 2x 2y 2z6） 双曲抛物面（马鞍面）： a

4、 2b 2x 2y 217） 椭圆柱面： a 2b 2x 2y 218） 双曲柱面： a 2b 29） 抛物柱面： x 2ay（四） 空间曲线及其方程F ( x, y , z)01、 一般方程：G ( x , y , z )0xx ( t )2、 参数方程：yy ( t ) ，如螺旋线：zz ( t )3、 空间曲线在坐标面上的投影F ( x, y, z)0，消去 z ，得到曲线在面G ( x, y , z)0（五） 平面及其方程x a cos t y a sin t z btH ( x , y )0xoy 上的投影z01、 点法式方程： A ( xx0 ) B ( yy0 ) C ( z z

5、0 ) 0法向量： n( A, B,C) ，过点 ( x0 , y0 , z0 )2、 一般式方程：AxBy Cz D0xyz1截距式方程： abc3、 两平面的夹角： n( A, B, C) ， n2( A, B,C) ，1111222cosA1 A2B1B2C1C2A12B12C12A22B22C2212A1 A2B1B2C1C201 /A1B1C12A2B2C24、 点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 AxByCzD 0 的距离：Ax0 By0 Cz0DdA2B2C 2（六） 空间直线及其方程A1 x B1 y C1 z D101、 一般式方程：0A2 x B2 y C

6、2 z D 2x x0 y y0z z02、 对称式（点向式）方程：mnp方向向量： s(m,n, p) ，过点 ( x0 , y0 , z0 )xx0mt3、 参数式方程：yy0ntzz0pt4、 两直线的夹角：s(m, n, p )，s(m,n, p)，11112222cosm1m2n1n2p1 p2n2p2m2n2m2p2111222L1 L2m1m2n1n2p1 p20L1 / L2m1n1p1m2n2p25、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，sinAmBnCpB 2C 2m 2n 2p 2A 2L /AmBnCp0LABCmnp第二章多元函数微分法及其应用（一） 基本

7、概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数： z f(x, y) ，图形：3、 极限：limf ( x, y)A( x , y ) ( x0 , y 0 )4、 连续：limf ( x, y)f ( x0 , y0 )( x , y ) ( x0 , y0 )5、 偏导数：f x (x0 , y0 )f ( x0x, y0 )f ( x0 , y0 )limxx 0f y (x0 , y0 ) limf ( x0 , y0y)f ( x0 , y0 )yy06、 方向导数：fff,为 llcoscos其中的方向角。xy7、

8、梯度： zf (x, y) ，则 gradf ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )i f y ( x0 , y0 ) j 。8、 全微分：设z f ( x, y) ，则 dzz dxz dyxy（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：12偏导数连续函数可微偏导数存在充分条件必要条件4定义23函数连续2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义：2） 复合函数求导：链式法则uxz若 zf (u, v), uu( x, y), vv( x, y) ，则zzuzvzzuzvxuxvx ，yuyvyvy3

9、） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数 zf ( x, y) 的极值fx0解方程组f y0求出所有驻点，对于每一个驻点(x, y ) ，令00A f xx ( x0 , y0 ) ， Bf xy ( x0 , y0 ) ， C f yy ( x0 , y0 ) ， 若 AC B20 ， A 0 ，函数有极小值，若 ACB20 ， A 0，函数有极大值； 若 ACB20，函数没有极值； 若 ACB20，不定。2） 条件极值：求函数 zf ( x, y) 在条件(x, y) 0下的极值令： L ( x, y)f (x, y)( x, y) Lag

10、range 函数Lx0解方程组L y0( x, y)02、 几何应用1） 曲线的切线与法平面xx ( t )曲线: yy (t ) ，则上一点 M (x0 , y0 , z0 ) （对应参数为 t0 ）处的zz( t )x x0yy0z z0切线方程为： x (t0 )y (t0 )z (t0 )法平面方程为： x ( t0 )( xx0 )y ( t 0 )( yy0 )z ( t0 )( z z0 ) 02） 曲面的切平面与法线曲面: F ( x, y , z)0 ，则上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为：Fx ( x0, y0 , z0 )(x x0 ) Fy (

11、x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0xx0y y0zz0法线方程为： Fx ( x0 , y0 , z0 )Fy (x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )第三章重积分（一） 二重积分 （一般换元法不考）n1、 定义：f ( x, y) dlimf ( k , k ) kD0k 12、 性质：（6 条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算：1） 直角坐标D( x, y)1 (x)y2 (x)，ax bf ( x, y)dxdyb2 ( x )adx1 ( x)f ( x,y)d yDD( x, y)

12、 1 ( y)x2 ( y)，cydf ( x, y)dxdyddy2 ( y)f ( x,y)d xc1 ( y)D2） 极坐标D( , )1 ( )2 ()f (x, y)dxdy2 ()df ( cos , sin ) dD1 ()（二） 三重积分n1、 定义：f (x, y, z) d v limf ( k , k , k ) vk0k 12、 性质：3、 计算：1） 直角坐标f (x, y,z) d vd xd yz2 ( x, y)f ( x, y, z) dz“先一后二 ”z1 ( x, y )-Dbd zf (x, y, z) d xd yf (x, y, z) d v-“先二

13、后一 ”aD Z2） 柱面坐标xcosysinf ( x, y, z)d vf ( cos , sin, z) d d dz，zz3） 球面坐标xr sincosyr sinsinzr cosf (x, y, z)d vf (r sincos , r sinsin , r cos )r 2 sin dr d d（三） 应用曲面 S : zf (x, y) , ( x, y) D 的面积：A1 ( z)2( z)2 d x d yDxy第五章曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分n1、 定义：f ( x, y)ds limf ( i , i ) siL0i 12、 性质：1） f ( x,

14、y)( x, y)dsf ( x, y)dsg( x, y)ds.LLL2）f ( x, y)dsf (x, y)dsf (x, y)ds.( LL1L2 ).LL1L23）在 L 上，若 f ( x, y)g( x, y) ，则 Lf ( x, y)dsL g( x, y)ds.4）dsl ( l为曲线弧 L 的长度 )L3、 计算：x(t ),设 f ( x, y) 在曲线弧 L 上有定义且连续， L 的参数方程为y(t) ，(t ),其中(t ),(t ) 在 , 上具有一阶连续导数，且2 (t )2 (t )0 ，则Lf ( x, y)dsf (t), (t)2 (t)2 (t )dt

15、,()（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为 xoy 面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧， 函数 P( x, y )，Q( x, y)n在 L 上有界，定义P( x, y )d xlimP ( k ,k )xk，L0k 1nQ ( x, y)d ylimQ (k ,k )yk .L0k 1向量形式：Fd rP( x, y)d xQ( x, y)d yLL2、 性质：用 L 表示 L 的反向弧 ,则LF ( x, y)drLF (x, y)dr3、 计算：设 P(x, y) , Q( x, y) 在有向光滑弧 L 上有定义且连续 ,L 的参数方程为x(t ),y(t :) ， 其 中

16、(t),(t)在 ,上 具 有 一 阶 连 续 导 数 ，且(t ),2 (t )2 (t )0 ，则LP( x, y)d xQ( x, y)d y P(t),(t)(t)Q (t ), (t ) (t )dt4、 两类曲线积分之间的关系：x(t)设平面有向曲线弧为L ：(t )， L 上点 ( x, y) 处的切向量的方向角为：y, ， cos(t)， cos(t)，2 (t )2 (t)2 (t)2 (t )则LPdx Qdy(P cosQ cos)ds.L（三） 格林公式1、格林公式：设区域D 是由分段光滑正向曲线L 围成，函数 P( x, y) ,Q( x, y) 在D 上具有连续一阶

17、偏导数 ,则有QPdxd yPdxQd yxy2 GDL为一个单连通区域，函数P( x, y) ,Q(x, y) 在 G 上具有连续一阶偏导数，则、QPPdxQdy 在 G 内与路径无关x曲线积分yL曲线积分PdxQdy0LP( x, y)dxQ( x, y) d y 在 G 内为某一个函数 u( x, y) 的全微分（四） 对面积的曲面积分1、 定义：f (x, y, z) 是定义在设为光滑曲面，函数上的一个有界函数，n定义f ( x, y, z) dSlimf ( i , i, i )Si0i 12、 计算：“ 一投二换三代入 ”: zz( x, y) ， ( x, y)Dxy ，则f (

18、x, y, z) dSDx yf x, y, z( x, y)1zx2 (x, y) zy2 ( x, y) dxd y（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设为有向光滑曲面，函数 P(x, y, z), Q( x, y, z), R(x, y, z) 是定义在上的有界函数，n定义R( x, y, z)d xdylimR( i ,i,i )(Si ) xy0i 1n同理，P( x, y, z)d ydzlimP(i ,i, i)(Si ) yz0i 1nQ(x, y, z)d zdx limR(i , i ,i)(Si )zx0i 13、 性质：

19、1）12 ，则PdydzQdzdx R dxdyPdydzQdzdxR dxdyPdydzQdzdxR dxdy122）表示与取相反侧的有向曲面 ,则R d xdyR d xdy4、 计算：“ 一投二代三定号 ”: zz( x, y) ， (x, y)Dxy ， zz( x, y) 在 Dxy 上具有一阶连续偏导数， R( x, y, z) 在上连续，则R( x, y, z)d xdyR x, y, z( x, y)dxdy , 为上侧取“ + ”，Dx y为下侧取“ -”.5、 两类曲面积分之间的关系：Pd yd zQd zd xRd xd yPcosQcosRcosd S其中,为有向曲面在

20、点 ( x, y, z) 处的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 ,的方向取外侧 ,函数 P, Q, R 在上有连续的一阶偏导数 ,则有PQRd x d y d zP d y d zQ d z d xRdx d yxyz或PQRd x d y d zPcosQcosRcosd Sxyz（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是分段光滑曲线 ,的侧与的正向符合右手法则 ,P(x, y, z),Q( x, y, z), R(x, y, z) 在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数 ,则有RQd y d zPRQPyzzd zd

21、xxd x d yP d x Q d y Rd zxy为便于记忆 ,斯托克斯公式还可写作 :d y d z d zd x d x d yxyzP d x Q d yRd zPQR第六章常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数 ( 或微分 ) 的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程 ; 未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.如果微分方程的解中含任意常数, 且独立的 ( 即不可合并而使个数减少的) 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通

22、解.不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程：g( y) d yf ( x) d x或dyh(x) g( y)dx对于第 1 种形式，运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：g ( y) d yf ( x) d xyx2、 齐次微分方程：) 或者 xy( )在齐次方程yxy( y )中，令 uy ,可将其化为可分离方程令 u y ，则 y xu ,xx duxdyu,代入微分方程即可。dxdxx(1)形如 yf (axbyc)的方程 .令 u axbyc,则 uaby , 原方程可化为( 2)形如ya1xb1 yc1 的方程f ().可通过坐标平移去掉常数

23、项。a2xb2 yc23、 一阶线性微分方程uabf (u).型如yp(x) yq( x)称为一阶线性微分方程。其对应的齐次线性微分方程的解为p ( x) d xy Ce。利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解y ep ( x) d xp( x) d x( q( x)ed x C ) 。( n 0,1)4、 伯努利方程：yp( x) y q( x) y n将方程两端同除以n ,得1 nd uy于令是 U的通，解则为：(1u yu( 1 dn )xp ( x) d xe(yn yp( x) y1 nq( x)( n 0,1 )n) yn d y， yn d y1 du，nd x(1n) p(dx)xd x1n dx(1q x eC)。) ()5、 全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程（ 1） y( n ) f ( x)型的微分方程（ 2） 6.4.2 (n ) f ( x, y( n 1 ) )型的微分方程y（ 3） 6.4.3 y f ( y, y )型的微分方程8、线性微分方程解的结构（ 1）函数组的线性无关和线性相关（ 2）线性微分方程的性质和解的结构叠加原理：二个齐次的特解的线