车辆系统动力学作业

1、车辆系统动力学作业课程名称：车辆系统动力学学院名称：汽车学院专业班级：2013 级车辆工程（一）班学生：宋攀琨学生学号：2013122030作业题目 :一、垂直动力学部分以车辆整车模型为基础，建立车辆1/4 模型，并利用模型参数进行：1）车身位移、加速度传递特性分析；2）车轮动载荷传递特性分析；3）悬架动挠度传递特性分析；4）在典型路面车身加速度的功率谱密度函数计算；5）在典型路面车轮动载荷的功率谱密度函数计算；6）在典型路面车辆行驶平顺性分析；7）在典型路面车辆行驶安全性分析；8）在典型路面行驶速度对车辆行驶平顺性的影响计算分析；9）在典型路面行驶速度对车辆行驶安全性的影响计算分析。模型参数

2、为：m1 = 25 kg；k1 = 170000 N/m；m2 = 330 kg；k2 = 13000 (N/m)；d2 =1000Ns/m二、横向动力学部分以车辆整车模型为基础， 建立二自由度轿车模型， 并利用二自由度模型分析计算：1） 汽车的稳态转向特性；2） 汽车的瞬态转向特性；3）若驾驶员以最低速沿圆周行驶，转向盘转角sw0 ，随着车速的提高，转向盘转角位 sw ，试由sw2曲线和sway 曲线分析汽车的转向特性。usw0sw0模型的有关参数如下：总质量m1818.2 kg绕 Oz 轴转动惯量I z3885kg m2轴距L3.048m质心至前轴距离a1.463m质心至后轴距离b1.58

3、5m前轮总侧偏刚度k162618N / rad后轮总侧偏刚度k2110185 N / rad转向系总传动比i201、建立车辆 1/4 模型、确定基本参数由题目的已知条件可知， 建立一个车辆四分之一模型， 该模型为一个双质量系统 (图 1)，其中 m1 = 25 kg；k1 = 170000 N/m； m2 = 330 kg；k2 = 13000 (N/m)；d2 =1000Ns/m。图 1m zd ( zz ) k ( zz ) 0 m1z1 d2 ( z2 z1 ) k2 ( z2 z1) k1z1 k1h12222221由车辆 1/4 模型，可以建立出相关的双质量系统的微分方程：由振动基础

4、理论知识可知无耦合无阻尼固有圆频率车轮 ( m1 )：车身 ( m2 )：车身衰减常数2 ：k1k2v1m1k2v2m22d22m2由车身无阻尼固有圆频率v2 和车身衰减常数2 可得车身有阻尼固有圆频率vd2 ：22vd2v22激励的激振频率为f/ 2。车身位移、加速度传递特性分析由汽车动力学 B 篇车辆振动可知，常用的激励和扰动函数是简谐函数：?hh sin( t)激振圆频率。在汽车动力学分析中，通常将简谐激励函数用复数形式表示，以便于求解：? jt(1)h he式中 ?为复振幅。因为在线性系统和简谐扰动的情况下，强迫运动和力也是简谐 h的，因此，非齐次双质量系统方程组的解可以写成：z1z?

5、e1jt(2)z2z?2e jt(3)质量和位移有着和扰动一样的圆频率，不同的仅仅是其复振幅。将式 (1)， (2)， (3)代入到双质量系统方程组中，得：(m2 jd2kz(jd2k z222) ?22) ?1?( mjdk k ) z ( jdk ) z k h1221?22?112求解方程组得：?2k2jd 2z1m2?k2jd 2z2车轮位移 z1 对 h 的幅频响应函数为：z?1k1 m22k1k2jd 2 k1?422233m1m2m1k2m2 k2m2 k1k1k2j ( d2 k1m1d2m2 d2 )h车身位移 z2 对 h 的幅频响应函数为：?k1 k2jd 2 k1z2?

6、422233m1m2m1k2m2 k2m2 k1k1k2 j( d2k1 m1d2m2d2 )h车身位移的传递函数为：G z2( s)k1k2 d2 k1sm1k2s2m2k2s2m2 k1 s2k1k2d2k1s m1d2 s3m2d2s3m1m2 s4令2k1k2B1k1 d2A1k1m2C1422m2 k12k1k2m1m2m1k2m2k2D1d2k133m1d2m2 d2A2k1k2B2 k1 d2C2422m2 k12k1k2m1m2m1 k2m2 k2D2d2k133m1d2m2 d2整理得：?A2B2jz2?(4)C2D2 jh对式（ 4）求模即可得到车身位移的幅频特性即：?22

7、z2A2B2(5)?22C 2D 2h又因为：? jt2?j t(6)z2z2 ez2e同理?k1k223z2jd 2k1?422233m1 m2m1 k2m2 k2m2 k1k1k2j (d2k1 m1d2m2d2 )h车身加速度的传递函数为：Gz2 (s)422k1 k2 s22d2k1s333m2k2 sm2 k1sk1k2m1m2 s m1k2 sd2 k1 s m1 d2 s m2d2 s故，由式（ 5）、（6）整理可得车身加速度幅频特性：?2?222z2A2B2z2(7)?22C2D2hh将已知条件代入式 (5)，并且激振频率f 取 0 到 10Hz，通过 MATLAB 计算并绘制

8、出车身位移在激振频率为0 到 10Hz 的幅频特性曲线 (图 2)。图 2同理，将已知条件代入式 (7)即可得到车身加速度在激振频率f 为 0 到 20Hz 的幅频特性曲线 (图 3)。图 32 车轮动载荷传递特性由第一问中二质量系统方程求得车轮位移z1 对 h 的幅频响应函数为：?k1 m12k1k2 jd 2 k1z1?422233m1m2m1k2m2 k2m2 k1k1k2j ( d2 k1m1d2m2 d2)h又因为车轮动载荷 Fd1 与 z1 的关系为：Fd 1k1( z1h)故车轮动载荷 Fd 1 对 h 的幅频响应函数为：?k1( ?k1 ( m1 m24k1 m12m1k22m

9、2 k122j (m1d 23m2d23)Fd 1z1h)m2 k2?422233m1m2m1k2m2 k2m2 k1k1k2 j ( d2k1m1d2m2d2)hh同时，车轮动载荷的传递函数为：GFd 1k1( m1m2s4k1m1s2m1k2 s2m2 k1 s2m2k2 s2m1d2s3m2 d2s3 )( s)4m1k2s2m2k2 s2m2 k1s2k1k233m1m2 sd2 k1 s m1 d2 s m2d2 s令A3k1 ( m1m24k1m12m1k22m2 k12m2 k22 )B3k1 (m1d23m2 d23 )C3m1m242m2 k22m2 k12k1k2m1k2D

10、3d2k13m2 d23m1d2?A3B3 j整理得：Fd 1?C3D3 jh故由上式可得车轮动载荷的幅频特性为：?22Fd1A3B3(8)?22C3D3h将已知条件代入式 (8)即可得到车车轮动载荷在激振频率f 为 0 到 20Hz 的幅频特性曲线 (图 4)。图 43 悬架动挠度的传递特性在该二质量系统中，悬架的动挠度f dz2z1 ，在前两个已经讨论的问题中，我们已经分别得到 z1 和 z2 对 h 的幅频响应函数，因此代入上述悬架动挠度公式可以得到悬架动挠度的幅频响应函数：?k1m22fd z2z1?422233m1m2m1k2m2 k2m2 k1k1k2 j ( d2k1m1d2m2

11、d2 )hh同理，悬架动挠度的传递函数为k1m2 s2Gf d ( s)m1m2 s4m1k2s2m2k2 s2m2 k1s2k1k2d2k1sm1d2 s3m2d2 s3悬架动挠度的幅频特性为f?dA22B22A12B12(9)?2222C2D2C1D1h将已知条件代入式(9)即可得到车车轮动载荷在激振频率f 为 0 到 20Hz 的幅频特性曲线 (图5)。图 54 典型路面车身加速度的功率谱密度函数计算4.1 激励响应功率谱密度函数的推导由汽车动力学 B 篇第九章容可得连续路面不平度振幅谱为h( x)?j xdh( )e又因为 xvt 、v2v (注：行程圆频率， L路面谱波长， v 车速

12、 )L所以，通过以上式子可求的与时间相关的不平度函数：h(t)?j t d?j th( )eh( )edv?1 ?)d上式中： h( )h() ，且 h( )dh(v故车辆对不平度的响应表达式为；?j tq ?j t(10)q(t )? h()e dq( )e dh为了进一步回答舒适性， 安全性程度的问题， 需要看系统在一个较长的时间间隔是怎样被激励的，对于一个模型在一个足够长的时间T 来说，其均值1qT1T 2(t) dt qeff其均方根值为： qqT0标准差为：qTq(t)dt0(有效值 )(11)1Tq t)q2dtT(0将式代入(11)式可得：24?2d(12)(10)q0lim(q

13、()TT4(12)式中的被积分部分记为q ( )?)2lim( q(TTq ( ) 即为对路面激励响应的功率谱密度函数。同时，q ( ) 又可以表示为：?22? 24)?qq ( )limq(dh ( )(13)T?)h( )?Th(h上式中，h () 为道路不平度和车速有关的功率谱密度函数。由于1q ( ) 为仅与路面不平度有关的谱密度函数。h ( )h ( ) ，则v4.2 典型路面功率谱密度由汽车动力学 B 篇第九章 59 小结所述，对路面功率谱密度进行简化，可得密度谱曲线近似为一条曲线，其表达式如下：h ( )h ( 0 )(14)00 标准的行程圆频率；h (0 ) 不平度的尺度 (

14、说明道路的好坏 )；波度性 (说明主要是长波，或者是谱密度相当大的短波)。表 1 给出了按 (14)式给出 8 级分类的道路路面谱。表 1h (0 ) /(10 6 m3 )路面等级00.1m 1,2几何平均值A16B64C256D1024E4096F16384G65536H262144由表 1 选取 C 级路面几何平均不平度尺度 h ( 0 ) =256cm3 0 2 / L0 0.1m 1 、=2，同时取 为 0.5 m 1 到 20 m 1 ，代入式 (14)换算得到 C 级公路的道路谱密度 (见图 6)。图 6由上述的推导，我们很容易地得到车身加速度的功率谱密度函数：4?22? 2z(

15、 ) limz() ?) dzh ( )(15)T?h(?T)h(h典型道路不平度功率谱密度函数见公式(14)?21)将公式 (14)代入公式 (15)可得： z ( )vz(16)?h ( 0 )h()0将查找或已知的公式中的相关参数代入公式(16)，(取 f 为 0 到 20Hz,速度v =80Km/h) ,通过计算得到的结果见图7。图 75 典型路面车轮动载荷的功率谱密度函数计算同理在典型路面车身加速度的功率谱密度函数计算的分析，可以得到车轮动载荷的功率谱密度的函数：?2F ( )v1 Fd 1()h (0 )(17)d 1?)0h(将查找或已知的公式中的相关参数代入公式(17)，(取

16、f 为 0 到 20Hz,速度v =80Km/h) ,通过计算得到的结果见图8。图 86 在典型路面上车辆行驶平顺性分析车辆行驶平顺性的评价指标为车身加速度均方根值。因为车身加速度的均值为 0，所以车身加速度的标准差z2就等于车身加速度均方根值。由公式 (12)、(13)、 (14)整理可得：?)221h (z2 (d(18)z2v00)0?)h(将查找或已知的公式中的相关参数代入公式(18)，(取 f 为 0.5 到 80Hz(根据汽车理论加速度均方根值求解条件)、速度 v =80Km/h) ,通过计算得到车身加速度均方根值 aw :awz20.4341(m s2 )根据汽车动力学 所述：对

17、于通常统计现象可以用高斯分布来描述即通过标准差直观地评价无规则振动量。 例如，处于 q和 q之间的振动量的概率可以通过查表2 得到。表 2高斯分布情况下处于标准差的倍数之外的概率 S122.5833.29S31.7%4.6%1%0.3%0.1%1-S68.3%95.4%99%99.7%99.9%对于车速为 v80km / h 时，由以上方法和求得的车身加速度均方根值可得车身加速度超出1.12m s22.580.4341m s2 围的概率为 1%。7 在典型路面上车辆安全性分析由汽车动力学可知，车辆安全性的主要评价指标为车轮动载荷的标准差。通过考察车轮动载荷的变化情况，分析车轮是否会离开地面失去

18、附着力。同理车身加速度标准差的推导，车轮动载荷的标准差为：?221()vFd1(19)Fd 10h ( 0 )0?dh()将查找或已知的公式中的相关参数代入(19)， (取 f 为 0.5 到Hz、速度v =80Km/h) ,通过计算得到车轮动载荷的标准差Fd1 ：Fd 1940(N )同时，由已知条件可知模型的静载荷FG( m1m2 )g3479 NFd 1同理，相对于平顺性的评价方法和车轮动载荷的标准差得到在车速为80Km/h 时，车轮动载荷不超过(34792820)N(34793940) N 的围的概率为0.3%(查表 2)。8 在典型路面车速对车辆平顺性的影响由公式 (18)求车身加速

19、度均方根值随车速的变化情况。通过整理后，得到的结果见图 11。图 119 在典型路面上车速对车辆安全性的影响同理，由公式 (19)求车身加速度均方根值随车速的变化情况。通过整理后，得到的结果见图12。图 12由图 12 可得，随着车速的增加， 车轮动载荷标准差逐渐升高，车辆的安全性能下降。二、横向动力学部分以车辆整车模型为基础， 建立二自由度轿车模型， 并利用二自由度模型分析计算：(kk2)( akbk2)rk1m(vur)111&u(ak1bk2 )1( a2 k1b2 k2 )rak1I z &ru由于v ，u(k1k2 )1rk1mu( &r )(ak1 bk2 )=u(ak1bk2 )

20、1( a2 k1b2k2 ) rak1I z &ru1 汽车的稳态转向特性汽车等速行驶时， 在前轮角阶跃输入下进入得稳态响应就是等速圆周行驶。常用输出与输入的比值来评价稳态响应。稳态时横摆角速度&0，&0r 为定值，此时 vr(k1k2 )1 (ak1bk2 ) rk1mur(1)u(ak1bk2 )1( a2 k1b2 k2 )rak10(2)u由于v ，所以u(k1v1(ak1bk2 ) r k1mu r(3)k2 )uu( ak1bk2 ) v1 (a 2k1b2k2 )rak10(4)uu由（ 3）式可得 v mu2wrk1u(ak1bk2 )r / (k1 k2 ) ，将其带入（ 4

21、）式，可进行推导如下：(ak1bk2 ) mu rk11 (ak1bk2 )wr1 ( a2 k1b2k2 ) r ak10k1k2uu= (ak1bk2 ) mu1 ( ak1 bk2 )1 (a2k1b2k2 )rak1(ak1bk2 )k1k1k2uuk1k2= (ak1bk 2 ) mu1(ak1bk2 ) (ak1bk2 )1(a2 k1b2k2 )rak1(ak1bk2 )k1k1k2uk1k2uk1k2= (ak1bk2 ) mu1 (ak1bk2 )21 (a 2 k1b2k2 )(k1k2 ) rak1 (k1k2 )(ak1 bk2 )k1k1k2u k1k2uk1k2k1

22、k2(akbk )1 k k(ab)2k k( ab)= 12 mu1 2 r1 2k2k1k2u k1 k2k1令 abL ，带入上式可得：= ( ak112bk2 ) muuk1 k2 L rk1k2 L=rk1 k2L(ak1bk2 )mu1 k1k2L2uruk1k2L(ak1bk2 )mu2k1k2 L2=ru / L(ak1bk2 ) mu21k1k2 L2=ru / L1 m2 ( a b )u2 L k2 k1从而可求得稳态横摆角速度增益为：r ) smu / Lbu / La21 Ku 212()uLk2k1式中 Km2( ab ) 。Lk1k2图 1 车辆模型横摆角速度增益

23、曲线稳态转向特性包括三种类型： 中性转向，不足转向，过多转向。中性转向： K0 ，r) su L ，横摆角速度增益与车速成线性关系，斜率为 1 L 。不足转向：K0 ，r) su L ，横摆角速度增益比中性转向时要小。r)su 是一条低于中性转向的汽车稳态横摆角速度增益线，曲线向下弯曲。过多转向：K0 ，r )su L ，横摆角速度增益比中性转向时要大。随着车速的增加，r )su 是是一条高于中性转向的汽车稳态横摆角速度增益线， 曲线向上弯曲。 由图 1 可知，该车辆具有不足转向特性。2 汽车的瞬态转向特性k (a r)k(b r )m(v& ur)1u2uak (a r) bk (b r )

24、I&1u2uZ rv&由=&v（ u 为常数）uuk (ar)k(br )m( &r)u (1)1u2u=abak1 (r)bk2 (r ) I Z &r(2)uu由（ 1）式推导可得k1k1a rk1k2k2 b rm &u m r uuu(k1 k2 )r (k1a k2b) k1m &u m r uuk1ak2b&k2 )mu) rk10（ 3）m u (k1(u由（ 2）式推导可得ak1a2k1rak1bk2b2k2r&0uu) I Z r( ak1bk2 )a2k1b2 k2rak1I Z &r0u(a2k1b2 k2ak1I Z&) / (ak1bk2 )（4）rur&(a2k1b

25、2 k2 &I Z&) / (ak1bk2 )（5）urak1r将（ 4）和（ 5）式带入（ 3）式，推导得 :mu(a2k1b2 k2 &rak1& I Z&r ) / (ak1 bk2 )(k1 k2 )( a2 k1b2 k2 r ak1 I Z &r ) / ( ak1 bk2 )uu( ak1bk2mu) r k10ua2 k1 b2 k2& (k1a2 k1 b2 k2& (ak1bk2 )(ak1bk2mu) rmurak1I Z rk2 )rak1 I Z ruuuk1 (ak1 bk2 )0&22&ak1 bk2a 2 k1b 2k2muI m( a k1b k2 )(k1k

26、2 ) I Z ( ak1bk 2)(mu ) (k1 k2 )rZrru&umuak 1( ak1k2bk1k2)(6)式（ 6）写成以r 为变量的形式，如下：m &h &crb &b（7）rr10式中： m muI zh m(a2k1 b2 k2 ) I z(k1 k2 )cmu( ak1bk2 )(ak1bk2 )2( k1 k2 )(a2 k1b2 k2 )L2 k1k2uumu(ak1bk 2 )ub1muak1b0Lk1k2式（ 7）是单自由度一般强迫震动微分方程式，通常写作：&2&r2 0B1B0 （8）r0 r2式中，0c ，h， B1b B0b0m 2 0 m m m 汽车前

27、轮转角阶跃输入时，前轮转角的数学表达式为：t0,0t0,0t0, &0故当 t0 后，式（ 8）简化为：&2 0&2B0 0rr0 r这是二阶常系数非齐次微分方程， 其通解等于它的一个特解与对应的齐次微分方程的通解之和。显然其特解为：rB0 0u / L0r ) 021 Ku 20即为稳态时的横摆角速度r 0r ) 0 。对应的齐次方程式为：&20r2 0r0 r其通解可由如下的特征方程求解：220 s20s0根据的数值，特征方程的根为：1,s12001,s01,s0021齐次方程的通解为1,1,1,rCe0t sin( 012 t)r(C1C2t )e 0t(021) t(021) trC3e0C4 e0当1 时横摆角速度为rB0 0Ce0t sin(012 t) ，令0