圆周运动规则

1、第3讲 圆周运动圆周运动 （一）（一） 考点一：描述圆周运动的物理量考点一：描述圆周运动的物理量 及其相互关系及其相互关系 热身练习热身练习 如图所示是一个玩具陀螺，如图所示是一个玩具陀螺，a、 b和和c是陀螺表面上的三个点当陀螺绕垂是陀螺表面上的三个点当陀螺绕垂 直于地面的轴线以角速度直于地面的轴线以角速度稳定旋转时，稳定旋转时， 下列表述正确的是下列表述正确的是() Aa、b和和c三点的线速度大小相等三点的线速度大小相等 Bb、c两点的线速度始终相同两点的线速度始终相同 Cb、c两点的角速度比两点的角速度比a点的大点的大 Db、c两点的加速度比两点的加速度比a点的大点的大 解析解析当陀螺绕

2、垂直于地面的轴线以角速度当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度稳定旋转时稳定旋转时,a、 b和和c三点的角速度相同三点的角速度相同,a半径小半径小,线速度要比线速度要比b、c的小的小,A、C 错；错；b、c两点的线速度大小始终相同两点的线速度大小始终相同,但方向不相同但方向不相同,B错；由错；由 a2r可得可得b、c两点的加速度比两点的加速度比a点的大点的大,D对对. 答案答案D 必备知识一描述圆周运动的物理量及其相互关系 基础梳理 1线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量 vs t 2r T =-. 2角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量 t 2 T =-. 3周期和频率：描述物体绕圆心_的物理量

3、 T2r v ，T1 f =-. 与转速 n 的关系： 转动快慢转动快慢 4向心加速度：描述_变化快慢的物理量方向- anr2v 2 r v4 2 T2 r. 5向心力：作用效果产生_，只是改变-不改变- 大小：Fnman.方向：-，- 向心力是依据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹力或摩 擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 6相互关系：(1)v_2 T r_. (2)anv 2 r r2v4 2 T2 r42f2r. (3)Fnmanm v2 r _mr4 2 T2 _. M2r mr42f2 速度方向速度方向 向心加速度向心加速度 r 2rf 考点分析描述圆周运动的物理量

4、的求解考点分析描述圆周运动的物理量的求解 课堂探究课堂探究 两类传动装置的运动特征 由公式 vr可知，做圆周运动的物体在角速度一定时线 速度与半径成正比，线速度一定时，角速度与半径成反比在解 决实际问题时，常有下列三种具体类型： (1)固定在一起共轴转动的物体上各质点具有相同的角速度；由 v r可知，各质点的线速度与半径成正比 (2)不打滑的摩擦传动、 皮带传动的两轮边缘上各点和皮带上各点 线速度大小相等 (3)在齿轮传动和链传动中， 在其齿轮啮合处和链轮啮合处的线速 度相等 在齿轮传动和链传动中，两轮的角速度与两齿轮的齿数成反比 ， 周期与两齿轮的齿数成正比其角速度和周期与齿轮的齿数之间 存

5、在以下定量关系(可由线速度相等的特点推导)：1 2 r2 r1 z2 z1； T1 T2 r1 r2 z1 z2(式中 z 1、z2分别表示两齿轮的齿数) 精研疑难要点精研疑难要点 【例【例1】如图】如图3所示，轮所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮用皮 带连接且不打滑在带连接且不打滑在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点三个轮的边缘各取一点A、B、C， 已知三个轮的半径比已知三个轮的半径比r1 r2 r32 1 1，求：，求： (1)A、B、C三点的线速度大小之比三点的线速度大小之比vA vB vC； (2)A、B、C三点的角速度之比三点的角速度之比A B

6、 C； (3)A、B、C三点的向心加速度大小之比三点的向心加速度大小之比aA aB aC. 解析指导解析指导 考点定位考点定位 线速度与角线速度与角 速度的关系速度的关系 1.AC角速度相等角速度相等 AC 解题技巧解题技巧 （1）同轴转动物体角速度相等）同轴转动物体角速度相等 113 : : : ABC r r rv v v （2）皮带传动物体边缘线速度相等）皮带传动物体边缘线速度相等 AB线速度相等线速度相等 AB vv AC 13 CA rr vv 2:2:1 （2） AB vv AC 12AB rr 212 : ABC rr r 1:2:1 【例【例1】如图所示，轮】如图所示，轮O1、

7、O3固定在同一转轴上，轮固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑在用皮带连接且不打滑在O1、 O2、O3三个轮的边缘各取一点三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径比，已知三个轮的半径比r1 r2 r32 1 1，求：，求： (1)A、B、C三点的线速度大小之比三点的线速度大小之比vA vB vC； (2)A、B、C三点的角速度之比三点的角速度之比A B C； (3)A、B、C三点的向心加速度大小之比三点的向心加速度大小之比aA aB aC. 解析指导解析指导 考点定位考点定位 线速度与角线速度与角 速度的关系速度的关系 解题技巧解题技巧 （1）同轴转动物体角速度相等）同轴转动

8、物体角速度相等 （2）皮带传动物体边缘线速度相等）皮带传动物体边缘线速度相等 AC角速度相等角速度相等 AC AB线速度相等线速度相等 AB vv （3） 2 1A ar 2 3C ar 1 3 2 1 A C ar ar 2 1 / A ar v 2 2 / B ar v 2 1 1 2 A B ar ar :2:4:1 ABC aaa 课堂探究课堂探究 规律总结规律总结 1.高中阶段所接触的传动主要有高中阶段所接触的传动主要有: (1)皮带传动皮带传动(线速度大小相等线速度大小相等)； (2)同轴传动同轴传动(角速度相等角速度相等)； (3)齿轮传动齿轮传动(线速度大小相等线速度大小相等)

9、； (4)摩擦传动摩擦传动(线速度大小相等线速度大小相等). 2.传动装置的特点传动装置的特点: (1)同轴传动同轴传动:固定在一起共轴转动的物体上固定在一起共轴转动的物体上 各点角速度相同；各点角速度相同； (2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动皮带传动、齿轮传动和摩擦传动:皮带皮带 (或齿轮或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边传动和不打滑的摩擦传动的两轮边 缘上各点线速度大小相等缘上各点线速度大小相等. 练习某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，如图所 示 链轮和飞轮的齿数如下表所示， 前、 后轮的直径 d660 mm. 人骑该车行进的速度为 4 m/s 时，脚踩踏板做匀速圆周运动的 角速度

10、最小值约为() F合 合 mgtan ，又，又F合 合 ma向 向， ， 故故a向 向 gtan . 可见摆球的向心加速度完全由可见摆球的向心加速度完全由决定，与摆线决定，与摆线 长无关，即与运动的半径无关长无关，即与运动的半径无关 “方法技巧方法技巧”-巧用圆锥摆运动特征巧用圆锥摆运动特征 比较各运动量间的关系比较各运动量间的关系 分析计算圆周运动问题时，常会遇到由重力和弹力分析计算圆周运动问题时，常会遇到由重力和弹力 (可以是支持力，也可以是绳子的拉力可以是支持力，也可以是绳子的拉力)的合力提供向心的合力提供向心 力，而在水平面上做匀速圆周运动的一类问题力，而在水平面上做匀速圆周运动的一类

11、问题圆锥圆锥 摆运动因此，掌握圆锥摆运动特征可以快速解决这一摆运动因此，掌握圆锥摆运动特征可以快速解决这一 类圆周运动问题类圆周运动问题下面为两个常用的圆锥摆运动规律：下面为两个常用的圆锥摆运动规律： 1圆锥摆的向心加速度圆锥摆的向心加速度agtan 设摆球质量为设摆球质量为m，摆线长为，摆线长为L， 摆线与竖直方向夹角为摆线与竖直方向夹角为，由图可知：，由图可知： 2圆锥摆的周期 T2 h g 由 F 合m 42 T2 Lsin 和 F 合mgtan 可推理得圆锥摆的周期 T2 Lcos g 设摆球圆周运动的平面到悬点的距离为 h，则 hLcos ， 故 T2 h g 由此可见，圆锥摆的周期

12、完全由悬点到运动平面的距离决定，与 小球的质量、摆线长度无关 答案答案:A 答案答案A、B 必备知识二匀速圆周运动和非匀速圆周运动必备知识二匀速圆周运动和非匀速圆周运动 基础梳理基础梳理 1.匀速圆周运动匀速圆周运动 (1)定义定义:线速度线速度_的圆周运动的圆周运动 . (2)性质性质:向心加速度大小向心加速度大小_,方向总是方向总是_的变加速的变加速 曲线运动曲线运动. (3)质点做匀速圆周运动的条件质点做匀速圆周运动的条件 合力合力_不变不变,方向始终与速度方向方向始终与速度方向_且指向圆心且指向圆心. 2.非匀速圆周运动非匀速圆周运动 (1)定义定义:线速度大小、方向均线速度大小、方向

13、均_的圆周运动的圆周运动. (2)合力的作用合力的作用 合力沿速度方向的分量合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度产生切向加速度,Ftmat,它只改变它只改变 速速 度的度的_. 合力沿半径方向的分量合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度产生向心加速度,Fnman,它只改变它只改变 速度的速度的_. 大小不变大小不变 不变不变 指向圆心指向圆心 大小大小垂直垂直 发生变化发生变化 方向方向 大小大小 即时训练即时训练 2.质点做匀速圆周运动时质点做匀速圆周运动时,下列说法正确下列说法正确 的是的是() A.速度的大小和方向都改变速度的大小和方向都改变 B.匀速圆周运动是匀变速曲线运动匀速圆周运

14、动是匀变速曲线运动 C.当物体所受合力全部用来提供向心力当物体所受合力全部用来提供向心力 时时,物体做匀速圆周运动物体做匀速圆周运动 D.向心加速度大小不变向心加速度大小不变,方向时刻改变方向时刻改变 解析解析:匀速圆周运动的速度的大小不变匀速圆周运动的速度的大小不变,方向时刻变化方向时刻变化,A错；错； 它的加速度大小不变它的加速度大小不变,但方向时刻改变但方向时刻改变,不是匀变速曲线运动不是匀变速曲线运动, B错错,D对；由匀速圆周运动的条件可知对；由匀速圆周运动的条件可知,C对对. 答案答案:C、D 要点二圆周运动中的动力学分析要点二圆周运动中的动力学分析 1向心力的来源向心力的来源：

15、向心力是依据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹向心力是依据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹 力或摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力或摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分 力，力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力如图如图 甲所示的圆锥摆和火车以规定速率拐弯时甲所示的圆锥摆和火车以规定速率拐弯时向心力由重力和向心力由重力和 弹力的合力提供；图乙中随圆盘一起转动的物体和汽车在水弹力的合力提供；图乙中随圆盘一起转动的物体和汽车在水 平路面上转弯则是由静摩擦力提供向心力平路面上转弯则是由静摩擦力提供向心力 2向心力的确

16、定向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置 (2)分析物体的受力情况，找出所有的力分析物体的受力情况，找出所有的力 沿半径方向指向圆心的合力就是向心力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力 例题 1有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为 L 的钢绳一端系着座椅， 另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘， 转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动当转盘以角速度匀速转动 时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为，不 计钢绳的重力，求转盘转动的角速度与夹角的关系 小结、解决圆周运动问题的主要步骤小结、解决圆周运动问题的主要步骤

17、 (1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是 至关重要的一环至关重要的一环 (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、 轨道平面、圆心、半径等；轨道平面、圆心、半径等； (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的 来源；来源； (4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程根据牛顿运动定律及向心力公式列方程 课堂探究课堂探究 1在光滑水平面上，一根原长为在光滑水平面上，一根原长为l的轻质的轻质 弹簧的一端与竖直轴弹

18、簧的一端与竖直轴O连接，另一端与连接，另一端与 质量为质量为m的小球连接，如图的小球连接，如图17所示当所示当 小球以小球以O为圆心做匀速圆周运动的速率为圆心做匀速圆周运动的速率 为为v1时，弹簧的长度为时，弹簧的长度为1.5l；当它以；当它以O 为圆心做匀速圆周运动的速率为为圆心做匀速圆周运动的速率为v2 时，时， 弹簧的长度为弹簧的长度为2.0l.求求v1与与v2的比值的比值 解析；设弹簧的劲度系数为解析；设弹簧的劲度系数为k，当小球以，当小球以v1做匀速圆周运动时有：做匀速圆周运动时有： k(1.5ll)mv12/1.5L 当小球以当小球以v2做匀速圆周运动时有：做匀速圆周运动时有： k

19、(2.0ll)mv22/2.0L 两式之比得：两式之比得： v1 v2 3 22 例 2 在一次抗洪救灾工作中，一架直升机 A 用长 H50 m 的 悬索(重力可忽略不计)系住一质量 m50 kg 的被困人员 B， 直升 机 A 和被困人员 B 以 v010 m/s 的速度一起沿水平方向匀速运 动，如图甲所示某时刻开始收悬索将人吊起，在 5 s 时间内，A、 B 之间的竖直距离以 l50t2(m)的规律变化，取 g10 m/s2. (1)求这段时间内悬索对被困人员求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小；的拉力大小； (2)求在求在5 s末被困人员末被困人员B的速度大小及位移大小；的速度大小及位

20、移大小； (3)直升机在直升机在t5 s时停止收悬索时停止收悬索,但发现仍然未脱离洪但发现仍然未脱离洪 水围困区水围困区,为将被困人员为将被困人员B尽快运送到安全处尽快运送到安全处,飞机在飞机在 空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标,致使被致使被 困人员困人员B在空中做圆周运动在空中做圆周运动,如图乙所示如图乙所示.此时悬索与此时悬索与 竖直方向成竖直方向成37角角,不计空气不计空气 阻力阻力,求被困人员求被困人员B做圆周运做圆周运 动的线速度以及悬动的线速度以及悬 索对被困人员索对被困人员B的拉力的拉力. (sin 370.6,cos 370.8) 二

21、用极限法分析圆周运动的临界问题二用极限法分析圆周运动的临界问题 学科素养培养学科素养培养 【例【例1】如图】如图7所示，用一根长为所示，用一根长为l1 m的细线，一端系一质量为的细线，一端系一质量为 m1 kg的小球的小球(可视为质点可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥 面与竖直方向的夹角面与竖直方向的夹角37，当小球在水平面内绕锥体的轴做，当小球在水平面内绕锥体的轴做 匀速圆周运动的角速度为匀速圆周运动的角速度为时，细线的张力为时，细线的张力为FT.(g取取10 m/s2，结，结 果可用根式表示果可用根式表示)求：求： (1)若要小球离开锥面，则小球的

22、角速度若要小球离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为若细线与竖直方向的夹角为60，则小球的角速度，则小球的角速度为多大？为多大？ 解析指导解析指导 考点定位考点定位 圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题 （1）小球离开锥面：）小球离开锥面：支持力为零支持力为零 解题技巧解题技巧 找到临界状态找到临界状态 0 5 2 rad/s cos2 g l sinrl 2 0 sin T Fmr cos T Fmg （2）当细线与竖直方向成）当细线与竖直方向成60角时角时 T F mg 0 sin60rl 02 sin60 T Fmr 0 cos60 T Fm

23、g 0 2 5 rad/s cos60 g l mg FN 60 课堂探究课堂探究 图图5 mg FN 60 f 30 课堂探究课堂探究 图图5 mg FN 60 f 课堂探究课堂探究 图图5 突破训练突破训练1如图所示，用细绳一端如图所示，用细绳一端 系着的质量为系着的质量为M0.6 kg的物体的物体A静止在静止在 水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心 的光滑小孔的光滑小孔O吊着质量为吊着质量为m0.3 kg的小的小 球球B，A的重心到的重心到O点的距离为点的距离为0.2 m若若 A与转盘间的最大静摩擦力为与转盘间的最大静摩擦力为Ff2 N， 为使小球为使小球

24、B保持静止，求转盘绕中心保持静止，求转盘绕中心O旋旋 转的角速度转的角速度的取值范围的取值范围(取取g10 m/s2) 答案答案2.9 rad/s6.5 rad/s 解析要使B静止，A必须相对于转盘静止具有 与转盘相同的角速度A需要的向心力由绳的拉 力和静摩擦力的合力提供角速度取最大值时， A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取 最小值时，A有向心趋势，静摩擦力背离圆心O. 设角速度的最大值为1，最小值为2 对于B：FTmg 对于A：FTFfMr 或FTFfMr 代入数据解得16.5 rad/s，22.9 rad/s 所以2.9 rad/s6.5 rad/s. 2.如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面 上，离轴心上，离轴心r20 cm处放置一小物块处放置一小物块A，其质量为，其质量为 m2 kg，A与盘面间相互作用的静摩擦力的最大与盘面间相互作用的静摩擦力的最大 值为其重力的