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文档简介
1、 2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(文科) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的? , ,)()(1【2017年天津,文1,5分】设集合,则 1,2,3,4B?2,4A?C1,2,6?CUB)I(A? ( )D) ( (B) (A)C 1,2,3,4,61,2,3,41,2,42 B 【答案】? B【解析】,故选,,2,41,2,3,41?1,2,4,6I(AUB)IC1,2,4,6B?AU0?x?R2?x ”是 ,(2)【2017年天津,文25分】设的() ,则“ 11x? (BC)必要不充分条件D ()充分必要条件
2、A )充分不必要条件)既不充分也不必要条件 ( ( 【答案】B 2?x?0x?20?x?2x?20?x?2,故选B,解得:? ;【解析】解得:11?x?(3)【2017年天津,文3,5分】有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) 3124(A) (B) (C) (D) 5555【答案】C 2,而事件“取出的”基本事件总个数:2支彩笔中含有红色【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔C5421彩笔”包含基本事件个数:;,故选C C?P 4105(4)【2017年天津,文4,5分】阅读右边的
3、程序框图,运行相应的程序,若输入的的值N为19,则输出的的值为( ) N (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C 【解析】阅读流程图可得,程序执行过程如下:首先初始化数值为,第一次循环: 19N?NN?6,不满足;第三次循,不满足;第二次循环: 3N?N?N?1?18N?33NN?2,满足;此时跳出循环体,输出环:,故选C 3N?3?N322yxAF0)b?1(a?0,?在分】已知双曲线的左焦点为,点2017年天津,文5,5(5)【22ab双曲线的渐近线上,是边长为2的等边三角形(为原点),则双曲线的方程为OOAF?( ) 222222yxyxyx(A) (B) (C) (D) 2
4、21?1?1?y?1?x41212433 【答案】D ?OAFOOF?2?AOF?60?,所以,【解析】因为 是边长为2的等边三角形( 为原点)所以 bOAy?3xy?3xx?y?,所以,其中一条为 直线,所以渐近线方程方程为ac?2?a?1,b?3,c?2,故选,解之得:D b?3?a?10.8f(x)4.1)f(logb?a?f(log)R,上是增函数,文 (6)【2017年天津,6,5分】已知奇函数在若,)(2fc?225a,b,c的大小关系为( ) 则a?b?cb?a?cc?b?ac?a?b D )( B )( A () C ()【答案】C 5 / 1 1)(fxf(x)ff(x)(?
5、x)?5)f?(log)?a(logfRR 在上在【解析】因为,即上是奇函数,所以有;又因为 22510.8acb? ,所以是增函数,且C,故选52?4.124?logloglog?222?115?R2sin(xx?),f(x)?f()?2,f()?0,若,5分】设函数(其中7,)年天津,【2017文7?0,88?2)f(x,则( 的最小正周期大于)且 ?71?1121?112 (C) (B)D) (A) (?,?,?,?324312324312【答案】A ?115?),x?2sin(Rx?f(x),振幅为【解析】函数2,所以如图所示: 02,f()?f()?88 ?5T113?, ,解得若函
6、数图象如图表1所示,不满足最小正周期大于2?T?884?5?25T11? ,解得,所以函数图象如图表2所示,又因为3?T?2?()f?83848?52 ,故选A所以,所以?28312?x?2,x?1?a?R?(fx)x的不等,若关于分】已知函数,设年天津,文8,5(8)【2017? 2x?,x?1?x?xaa?f(x)R的取值范围是( 上恒成立,则 )在式 2?2,223,?2332,2?23,2? ) (C(A) (B)(D【答案】A xf(x)xf(x)?aR上恒成【解析】函数 的图象如下图(左),若关于 的不等式 在 2xx?ag(x)?)y?f(xa?f(x)?R立,则不妨设上恒成立”
7、表示 ,“ 图 在22)(xy?g)x)g(f(x 与: 象与图象应如下图(右)所示找到两个临界位置相121?x3g(2)?3x?2y?)?1f(x ,解得,解得,切时,代入0022x2(0,2)x)(g4?a?2,aa3?a,故过点;(舍),代入,解得(舍)2a?2?2,aa?2g(0)? 22? 的取值范围在之间,故选与2A 分二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30i?aR?aai 2017年天津,文9,5分】已知 ,为虚数单位,若为实数,则的值为 9()【i2?2? 【答案】2)i?1?a?(a?i(a?i)(2?i)2a2?0aa?2? ,【解析】解法一:为实数,所以5i)?i
8、)(2?2?i(2i?a?2?ai?21? 成比例,比例为,所以解法二: 为实数与ia?i2?(1)?ax?lnx(1,f)f(xR?all在,则,设函数分】已知,5处的切线为的图象在点年天津,文10()【201710y 轴上的截距为 1 【答案】11?ff(1)?a,(1)?a1a?)f(ax)(1,?ax)?(f ,斜率为【解析】函数,所以代入切线点,所以的导函数,切点x1)1)(x?ay?(al10,x?y?y 1,所以答案为斜式:,在轴上的截距为:,则112017)(11【年天津,文,18分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为55 / 2 这个球的体积为 ?9
9、 【答案】239423?18a?6S3Ra?32?RV?R3a?,【解析】球的表面积公式,所以棱长,计算得:, 232CCll 2F 在为圆心,准线为,已知点【2017年天津,文12】设抛物线的焦点为上,以12()xy?4yA 轴的正半轴相切于点,则圆的方程为,若 的圆与?FAC?120?223)1)?(?(x? 【答案】2?OA?bFAC?120?l:x?1)b(?1,C ,所以可设,【解析】抛物线的焦点为,准线为,x?y4(1,0)F160?OAF?OF?AFH31,(3OA?,所以所以圆的圆心,所以,在直角三角形中,223)C:(x?1)?(? 半径等于1,所以圆441a?4b0ab?R
10、b?,a 【(13)2017年天津,文13,5分】若 , ,则的最小值为ab4 【答案】2442aba41b4a?4b?122440?ab1?4bab4a?)、“同时成立时,等号成立,(【解析】,当且仅当“”4?ababab31?2?2a?,b 解之得:44vuuuvvuuuvuuuuuuvuuu?2?A?60?3ACAB?,中,5分】在,若,【(14)2017年天津,文14,AB?DCAE?ACBD?2ABC? vuuvuuuu?)R?(4?AD?AE 的值为 ,且 ,则 3 【答案】11rruuuuuuuuruuuruuruu210 【解析】,则ACcos60AB?AC?3?2?3,AD?
11、AB?33ruuuuruuruuuuruuuuuuruur?311222? ?4?3?4?9?3?)(AD?AE?AB?ACABAC?)?11333333 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤80三、解答题:本大题共6题,共B4sinasinA?,中,内角所对的边分别为已知分】在年天津,文(15)【201715,13ABC?ca,CA,B,b222)?cac?5(a?b Acos 的值;(1)求 )求的值(2)AB?sin(2222ac?a?bc?522b2bsinaA?4sinBa?ba?4? ,余弦定理:可化为(解:1),解得:?cosA?bc25bc524552525?BcosB?2
12、sinBsin2 ,所以,解得, (2)根据,?sinAcosA?BBsin?cos555553534525?10522)?ABsin(2?Bcos2?1B?2cos, ?2?sinB(?)?A?cosAcos2Bsin?55555525分】电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告,已知13,年天津,文【16()201716 每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示: 收视人次(万) (分钟)广告播放时长连续剧播放时长(分钟) 60 甲70 5 25 5 60 乙 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于分钟,广告的总播放时间不少
13、于60030分钟,yx, 乙两套电视2且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的倍,分别用表示每周计划播出的甲、 剧的次数 yx, )用1(列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; 2()问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?5 / 3 60y?7x?6? ?6?x?y?yx, 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数1解:()分别用?yx?2?N?,yx? ,将它变形为万,则目标函数为考虑(2)设总收视人次为y25?60xyz?60x?25?zzz12z12y变化的一族平行直线轴上的截距, 为直线在,这是斜率为,随z?x?y?552525zx,y满足约
14、束条件,所以由图2可知,当直线当取得最大值时,的值最大又因为经 y25?60x?zz257x?6y?60?z?MM最大解方程组,得点 过可行域上的点的坐标为时,截距最大,即6,3z?x?2y?025?所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多 P?ABCDPDCAD?AD,平面,13分】如图,在四棱锥中,(17)【2017年天津,文17 BCBC?3CD?4PD?PBAD?1?2PD, ,BCAP所成的角的余弦值;与1)求异面直线 (PBC?PD;)求证:平面 (2PBCAB所成角的正弦值与平面3)求直线 (BCBCPDC?QAPADADPAD?, 1)因为所成的角,
15、 ,所以 等于异面直线平面与解:(AD5P?PDA?90?PA?5,所以 ?cos?PADAP5PDCBCPD?PDADPBAD?AD, 平面,所以所以, ,又因为 (2)因为BCPD?PBC?PD 平面且,所以B?PBIBCCEBPBC/BE3BE?BCAD/BC1?AD?BEDEP?PD?,所以(3)取,上三分点,平面 ?90PBC?DPE5?2AB?25DE4PEAB? 等于直线,与平面,所成角,DA5PD2 ?DEP?sin?5DE52?*ab)Nn?(Sn是首项为,2017(18)【年天津,文18,13分】已知项和为2的等比数为等差数列,前nnna2?b?b?12ba?b11S? ,
16、列,且公比大于0,14233411?ab )求的通项公式;和(1nn?*ba)?N(nn 项和的前2()求数列n2n?abd1)?(n?aa ,解:(1)已知是首项为2的等比数列,且公比大于为等差数列,0,所以nn1n8?a?3d?21?1nn122q?2q?3?qq?2,a?1,d?31 解之得:,解之得:,(舍)qqb2?b?11n11(a?5d)?11?16?1n1n?a?3所以, 2b?nn?nbaT?ab?ab?ab?L?ab?abTn,项和为的前(2),不妨设数列,22)?ba?(6n? n2nnn6?312nnn212?422nn2n123n?1n 2?2)?2?(6n?216?
17、2?L?(6n?8)T?4?2?10? n23n?1nn?12?(6n?(6n?8)24?10?22?L(6n?14)?22)?2T n123nn?1n?2,整理得: -得:24)?T?16?L6?2?(6n?2)?2(34?T?2n?6?2?6?2?nn32xf(ex)bg(x)x?6?3a(a?4)x(fx)?x?Ra,b?1a?2017)【年天津,文19, 设,已知函数,14分】(19f(x)的单调区间; (1)求x)xg(y?e?y(x,y)处有相同的切线和函数)已知函数 的图象在公共点(200f(x)x?x处的导数等于在(i)求证:0; 0xbe?(x)g1x?x?1,x的取值范围
18、)若关于在区间的不等式上恒成立,求(ii00322?12x?3a(x)?3xa?4)f?x)f(x?(x)?6(3)?a(a4)x(, ,)(解:12?12x?3a(a?4)?3(x?a)(x?3)(fx?xa?4)a?4?a1?a, ,因为,所以5 / 4 ?aa,4)x?a),(4?a,)f(f(x)?, 所以,的单调增区间,的单调减区间xxxxe?e)f(xyxg()yx(, 与在公共点),处有相同的切线,首先,;其次,(2)(ie)?g(xg(x)?e0000000?f(x)1)f(x?1f(x?f(x)? ,所以0000xxe?xg()?exg()1)?xf(a)f(x?1x?)f(
19、x?0x的不等式若关于)等价于所以,极大值点,(ii 0001x)?f(1)?1,x?x?1,x?11f(xx?,上恒成立,等价于在区间在区间上恒成立,等价于 max00001?)(f(x)a?1,aa,a?1fa)f(aa1x?xx1,x?,当为最大值,递减,在递增,在 0002322323)(hx2)6x6?12x?x(x?)h(x?2x?6x?1h(x)1?a?6ab?21ba?6a?2在,令0,1?1,01?7?b?1)?h(x?7 ,递增,在递减,所以22yx,0)cF?(EA的,右顶点为分】已知椭圆,点的左焦点为2017(20)【年天津,文20,140)b1(?a?22ba2b)c(0,EFA? ,的面积为坐标为21)求椭圆的离心率; (3AENPM在轴上,与椭圆交于点,点(2)
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