等腰三角形和等边三角形

1、等腰三角形和等边三角形本周重点：等腰三角形、等边三角形性质、判定、运用本周难点：正确运用等腰三角形、等边三角形的性质和判定进行推理论证学习建议：一、知识分析等腰三角形是一种特殊的三角形，研究完一般三角形的性质及形状大小关系后，再研究等腰三角形，符合从一般到特殊，再从特殊到一般的认知规律，又由于等腰三角形是轴对称图形，所以教科书把这部分内容安排在了“轴对称”这一章，就是要用轴对称研究等腰三角形的有关性质，利于我们从对称的观点来认识等腰三角形。等腰三角形除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，所以它比一般三角形应用更广泛。解等腰三角形相关问题时，既要关注全等三角形的运用，又应不拘于全等

2、三角形，要善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径。等腰三角形及等边三角形的性质和判定是这部分的重点，它们是证明线段和角相等的重要根据，在学习性质和判定时，应加强理解和掌握，做到灵活应用。二、知识学习目标：了解等腰三角形、等边三角形的有关概念；探索并掌握等腰三角形的性质及判定方法；能灵活利用等腰三角形的性质和判定解决相关问题。三、典型题例分析1、已知：如图，ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，求ABC各内角度数解析：分析图形的结构特征，容易发现图中有三个等腰三角形，可以利用等边对等角，把边的关系转化为角之间的关系。为了便于计算，可以利用方程的思想加以解决。解：在ABC中，AD=BD=BC，

3、A=ABD，C=BDC， BDC=A+ABD=2A在ABC中，AB=AC（等边对等角）在ABC中，（三角形内角和为180） 答：ABC各内角为36。2、已知：如图，AB=AC，AD=AE，B、D、E、C四点共线，求证：BD=CE解析：1）可以利用等边对等角，找到角之间的关系，证明ABD与ACE全等或ABE与ACD全等；从而可证BD=CE；2）可以过点A作BC边上的垂线，利用等腰三角形的性质：等腰三角形三线合一加以解决。体会两类解法的优劣。证明：过A点作AF于F点在ABC中，AB=AC，AFBF=CF（等腰三角形底边高与底边中线重合）在ADE中，AD=AE，AFDEDF=EF（等腰三角形底边高与

4、底边中线重合）BF-DF=CF-EFBD=CE3、已知：如图，AD是BAC的角平分线，AC=AB+BD，求证：B=2C解析：角平分线是构造轴对称变换解决几何问题的重要几何特征，条件中出现线段和差时，可考虑的辅助线为：1、将长线段截短；2、将短线段延长，这两种方法的实质是利用图形变换的思想构造辅助线。证明：在AC上截取AE=AB，连结DEAD平分（角平分线定义）在ABD和AED中，（SAS）（全等三角形对应角相等）BD=ED（全等三角形对应边相等）AC=AB+BD，AC=AE+EC又AB=AEDE=EC（等边对等角）在EDC中，（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和）小结：“长截短，或短延长

5、”的辅助线作法十分常见，目的是为了构造全等三角形，或等腰三角形。从而进行角或线段的转化。4、已知：如图，在ABC中，AB=AC，B=700，AD为BC边上的高，DE=DA且DE/BA，求CAE的度数。解析：此题是等腰三角形和平行线性质的综合应用。灵活利用性质进行角的计算和转化是解决这个问题的关键。解：在ABC中， AB=AC，ADBC（等边对等角）（等腰三角形底边高与顶角角平分线重合）DE/AB在ADE中， 答：为60。5、已知：如图，ABC中，BD、CD是角平分线，EF过D点，且EF/BC，AB=12，AC=10，求AEF的周长。解析：由角平分线，平行线出发，可推出等腰三角形。这是一个基本图

6、形。从而可推出线段ED、FD，分别与BE、CF相等，进而把EF转化为BE+CF，从而可把AEF的周长转化为AB与AC的和。解：在ABC中，BD平分ABC，EBD=CBD，又EF/BC， ED=EB同理可证FD=FCAEF的周长=AE+AF+EF =AE+AF+ED+FD =AE+AF+EB+FC =AB+AC AB=12,AC=10,AEF的周长=22.6、已知：如图，在ABC中，BAC=90，ADBC于D，BE是角平分线，交AD于F。求证：AE=AF解析：这道题的方法很多，可以利用角平分线的性质，从点E或点F向角两边做垂线，利用三角形全等和平行线的性质推出AFE=AEF，从而得出AE=AF。

7、也可由三角形的外角进行转化，从而推出AFE=AEF，得出AE=AF。证明：在RtABE中，ADBCBE是角平分线（角平分线定义）（对顶角相等）AE=AF（等角对等边）7、已知：如图，在ABC，AB=AC，BE=CF，求证：DE=DF解析：证明两条线段相等有两种思路：一是证明两条线段所在的两个三角形全等，这就需要利用旋转变换的思想构造辅助线；二是把这两条线段转化到一个三角形里面，证明三角形为等腰三角形，可延长CB至M，使BM=CD，连结EM，从而利用全等三角形把FD转化到EM，只需证明三角形EMD为等腰三角形即可。证明：过E点作EM/AF交BC于M EM/AF1=F，2=3，4=5在ABC中，

8、AB=ACB=45=BEB=EMEB=FCEM=FC在EMD和FCD中，（AAS）DE=DF（全等三角形对应边相等）8、已知：如图，中，ABAC，ADCE，求的度数。解析：这道题综合考察了等边三角形的性质与判定，并借助全等三角形使问题加以解决。解：在中，ABAC，为等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形）ACBC，在和中（SAS）（全等三角形对应角相等）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）9、已知：如图，B、C、E三点共线，都是等边三角形，连结AE、BD分别较CD、AC于N、M，连结MN。求证：AEBD，MN/BE解析：本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE

9、=BD；为证明MN/BE，可先证明三角形MNC为等边三角形，再利用角去转化证明。证明：，都是等边三角形 BCAC，CECD，在和中（已证）（SAS）BDAE（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应角相等）在和中（已证）（ASA）MCNC（全等三角形对应边相等）是等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形） （内错角相等，两直线平行）10、已知：如图在ABC中，B=2C，ADBC，求证：AB=CDBD解析1：要证明AB=CDBD，把CDBD转化为一条线段，在DC上取一点E，使BD=DE，只要再证出EC=AB即可证明：在DC上取一点E，使BD=DE在ABD和AED中，ADBC，BD=DE，AD=ADABDAEDAB=AE，B=AED又B=2C=AED=C+EACC=EACAE=ECAB=AE=EC=CDDE=CDBD解析2：证明AB=CDBD，即只要证明出AB+BD=CD即可延长DB到点E，使BE=