高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算315空间向量运算的坐标表示课件新人教A版选修2 1

1、第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 学习目标： 1.掌握空间向量运算的坐标表示， 并会判断两个向量是否共线 或垂直(重点)2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题(重点，难点) 自自 主主 预预 习习探探 新新 知知 1空间向量运算的坐标表示 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所 示： 运算 坐标表示 加法 ab 减法 ab 数乘 a 数量积 ab a1b1a2b2a3b3 (a1b1，a2b2，a3b3) (a1b1，a2

2、b2，a3b3) (a1，a2，a3)，R 2.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设 a(a1，a2，a 3)，b(b1，b2，b3)，则 平行(ab) ab(b0)? ab? 垂直(ab) ab? ab0? (a，b 均为非零向量) 模 |a| aa 夹角公式 cosa，b ab |a|b| a1b1a2b2a3b3 a 2 1a 2 2a 2 3 b2 1b 2 2b 2 3 a 2 1a 2 2a 2 3 ? ? ? ? ? a1b1， a2b2，?R? a3b3 a1b1a2b2a3b30 思考：若 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 ab 一定有a 1 b

3、1 a2 b2 a3 b3成立吗？ 提示 当 b1，b2，b3均不为 0 时，a 1 b1 a2 b2 a3 b3成立 3向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)AB ； (2)dAB|AB | . ?a 2a1? 2?b 2b1? 2?c 2c1? 2 (a2a1，b2b1，c2c1) 基础自测 1思考辨析 (1)若 a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则 b(2,4，2)( ) (2)若 a(1,2,0)，b(2,0,1)，则|a|b|.( ) (3)若 a(0,0,1)，b(1,0,0)则 ab.( ) (4)在空

4、间坐标系中，若 A(1,2,3)， B(4,5,6)， 则AB (3， 3， 3) ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2已知向量 a(3，2,1)，b(2,4,0)，则 4a2b等于( ) A(16,0,4) B(8，16,4) C(8,16,4) D(8,0,4) D 4a(12，8,4)，2b(4,8,0)， 4a2b(8,0,4) 3已知向量 a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab 与 2ab 互相垂直，则 k ( ) 【导学号：46342154】 A1 B 1 5 C 3 5 D 7 5 D kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且(kab)(2ab)3(k

5、1)2k40，解得 k7 5. 4 若点A(0,1,2)， B(1,0,1)， 则AB _， |AB| _. (1， 1， 1) 3 AB (1， 1， 1)， |AB | 12?1? 2?1?2 3. 合 作 探 究攻 重 难 空间向量的坐标运算 (1)若向量 a(1,1，x)， b(1,2,1)，c(1,1,1)满足条件(ca)(2b) 2，则 x_. (2)已知 O 是坐标原点，且 A，B，C 三点的坐标分别是 (2，1,2)，(4,5， 1)，(2,2,3)，求适合下列条件的点 P 的坐标； OP 1 2(AB AC )；AP 1 2(AB AC ) 解析 (1)ca(0,0,1x)，

6、2b(2,4,2)，由(ca)2b2 得 2(1x) 2，解得 x2. 答案 2 (2)AB (2,6，3)，AC (4,3,1) OP 1 2 (AB AC ) 1 2 (6,3， 4) ? ? ? ? ? ? 3，3 2，2 ，则点 P 的坐标为 ? ? ? ? ? ? 3，3 2，2 . 设 P(x，y，z)，则AP (x2，y1，z2) AP 1 2(AB AC )? ? ? ? ? ? 3，3 2，2 ， ? ? ? ? ? ? ? x23， y13 2， z22， 解得 x5，y1 2，z0，则点 P 的坐标为? ? ? ? ? ? 5，1 2，0 . 规律方法 1.一个向量的坐标

7、等于表示这个向量的有向线段的终点坐 标减去起点坐标 2在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标 运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2 a22abb 2；(2)(ab)(ab)a2b2. 跟踪训练 1已知 a(2，1，2)，b(0，1,4)求： (1)ab；(2)ab；(3)ab； (4)2a(b)；(5)(ab)(ab) 解 (1)ab(2，1，2)(0，1,4) (20，11，24)(2，2,2) (2)ab(2，1，2)(0，1,4) (20，1(1)，24)(2,0，6) (3)ab(2，1，2)(0，1,4) 20(1)(1)(2

8、)47. (4)2a(4，2，4)， (2a)(b)(4，2，4)(0,1，4) 40(2)1(4)(4)14. (5)(ab)(ab)a2b 2414(0116)8. 利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)， C(3,0,4)设 aAB ，bAC . (1)若|c|3，cBC ，求 c； (2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k. 思路探究 (1)根据 cBC ，设 cBC ，则向量 c 的坐标可用 表示， 再利用|c|3 求 值； (2)把 kab 与 ka2b 用坐标表示出来，再根据数量积为 0 求解 解 (1)BC (2，1,2)

9、且 cBC ， 设 cBC (2，2)(R) |c| ?2? 2?2?2?23|3. 解得 1. c(2，1,2)或 c(2,1，2) (2)aAB (1,1,0)，bAC (1,0,2)， kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4) (kab)(ka2b)， (kab)(ka2b)0， 即(k1，k,2)(k2，k，4)2k 2k100， 解得 k2 或 k5 2. 规律方法 向量平行与垂直问题主要有两种题型： (1)平行与垂直的判 断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用 .解题时要 注意：适当引入参数(比如向量 a，b 平行，可设 ab)，建立关于参数的 方程

10、；最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的 . 跟踪训练 2已知 a(1,1,2)，b(6,2m1,2) (1)若 ab，分别求 与 m 的值； (2)若|a| 5，且与 c(2，2，)垂直，求 a. 【导学号：46342155】 解 (1)由 ab，得 (1,1,2)k(6,2m1,2)， ? ? ? ? ? 16k， 1k?2m1?， 22k， 解得 ? ? ? ? ? k1 5， m3. 实数 1 5，m3. (2)|a| 5，且 ac， ? ? ? ? ? ?1? 212?2?25， ?1，1，2?2，2，?0， 化简，得 ? ? ? ? ? 5 223， 22 20， 解得 1. 因此

11、，a(0,1，2). 空间向量夹角与长度的计算空间向量夹角与长度的计算 探究问题 1已知 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段 AB的中点 P 的坐标是多少？ 提示：P ? ? ? ? ? ? ? ? x1x2 2 ，y 1y2 2 ，z 1z2 2 2设异面直线 AB，CD 所成的角为 ，则 cos cosAB ，CD 一定成 立吗？ 提示：当 cosAB ，CD 0 时，cos cosAB ，CD 当 cosAB ，CD 0 时，cos cosAB ，CD 如图 3-1-38 所示，在直三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，CACB1， BCA90 ，棱 AA 12，M，N

12、 分别为 A1B1，A1A的中点 图3-1-38 (1)求 BN的长； (2)求 A1B与 B1C 所成角的余弦值； (3)求证：BN平面 C1MN. 思 路 探 究 建系Cxyz 得各点的坐标数量积运算 夹角、长度公式 几何结论 解 (1)如图所示，建立空间直角坐标系 Cxyz. 依题意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)， |BN | ?10? 2?01?2?10?2 3， 线段 BN的长为 3. (2)依题意得 A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， BA 1 (1，1,2)，CB1 (0,1,2)， BA 1 CB1 10(1)1223. 又|BA 1 | 6，|

13、CB1 | 5. cosBA 1 ，CB1 BA 1 CB1 |BA 1 |CB1 | 30 10 . 故 A 1B 与 B1C 所成角的余弦值为 30 10 . (3)证明：依题意得 A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)， N(1,0,1)，M ? ? ? ? ? ? 1 2， 1 2，2 ， C1M ? ? ? ? ? ?1 2， 1 2，0 ，C1N (1,0，1)， BN (1，1,1)， C1M BN 1 21 1 2(1)010， C1N BN 110(1)(1)10. C1M BN ，C1N BN ， BNC1M，BNC1N， 又C1MC1NC1，C1M? 平

14、面 C1MN，C1N? 平面 C1MN， BN平面 C1MN. 规律方法 向量夹角的计算步骤 (1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多 的点落到坐标轴上 (2)求方向向量：依据点的坐标求出方向向量的坐标 (3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角 跟踪训练 3 如图 3-1-39 所示， 已知空间四边形 ABCD的各边和对角线的长都等于 a，点 M，N分别是 AB，CD 的中点 图3-1-39 (1)求证：MNAB，MNCD； (2)求异面直线 AN与 CM 所成角的余弦值 解 (1)证明：设AB p，AC q，AD r. 由题意可知，|p|q|

15、r|a，且 p，q，r 三个向量两两夹角均为 60 . MN AN AM 1 2(AC AD )1 2AB 1 2(qrp)， MN AB 1 2(qrp)p 1 2(qprpp 2) 1 2(a 2cos 60 a2cos 60 a2)0. MN AB ，即 MNAB 同理可证 MNCD (2)设向量AN 与MC 的夹角为 . AN 1 2(AC AD )1 2(qr)， MC AC AM q1 2p， AN MC 1 2(qr)? ? ? ? ? ? q1 2p 1 2? ? ? ? ? ? q 21 2qprq 1 2rp 1 2? ? ? ? ? ? a 21 2a 2cos 60 a

16、2cos 60 1 2a 2cos 60 1 2? ? ? ? ? ? a 2a 2 4 a 2 2 a 2 4 a 2 2 . 又|AN |MC | 3 2 a， AN MC |AN |MC |cos 3 2 a 3 2 acos a 2 2 . cos 2 3. 向量AN 与MC 的夹角的余弦值为 2 3，从而异面直线 AN与 CM 所成角的 余弦值为 2 3. 当当 堂堂 达达 标标固固 双双 基基 1已知向量 a(1,1,0)，b(1,0,2)，则|3ab|为( ) A 15 B4 C5 D 17 D 3ab3(1,1,0)(1,0,2)(3,3,0)(1,0,2)(2,3,2)，故|

17、3ab| 494 17. 2已知 A(3,3,3)，B(6,6,6)，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是( ) A0 B C3 2 D2 B OA (3,3,3)，BO (6，6，6) 则OA BO33(6)54，|OA |3 3，|BO |6 3 所以 cosOA ，BO OA BO |OA |BO | 54 3 36 31，所以OA ，BO . 3已知 a(1，x,3)，b(2,4，y)，若 ab，则 xy_. 4 ab，ba. ? ? ? ? ? 2， x4， 3y， ? ? ? ? ? 2， x2， y6. xy4. 4若 a(2,3，1)，b(2,1,3)，则以 a，b 为邻边的平

18、行四边形的面 积为_. 【导学号：46342156】 6 5 ab2(2)31(1)34，|a| 14，|b| 14， cosa，b 4 14 14 2 7. sina，b1? ? ? ? ? ? 2 7 2 3 5 7 . 因此以a， b为邻边的平行四边形的面积为|a|b|sin a， b 14 143 5 7 6 5. 5在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 D1D，BD 的 中点，G 在棱 CD 上，且 CG1 4CD，H 是 C1G 的中点利用空间向量解决下 列问题： (1)求 EF 与 B1C 所成的角； (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值； (3)求