量子力学课后习题答案

1、量子力学课后习题详解 第二章波 函数和薛定谔方程 2.1证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 ?(r)f(t)(r，t)i?Et? ?er ()?i? ?*)(J m2iiii?i?EtEtEtEt? *?） （()r(er)）e(（e(rr)e m2?i?*r)(r)()(rr m2?J与t无关。 可见 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： 11?ikrikre (e(1)2) 21rr?表示向内(即向原点) 传播的球面波。表示向外传播的球面波， 从所得结果说明 21?J和J只有r分量 解： 21?11?ere 在球坐标中 ? ?0?sinrrr?i?*?)() J(1

2、11111m2?1111i?ikrikrikrikre(e)e( re 0?rrrr2mrr? 1111i11?ik() rik) 022rrr2mrrr?kk?r r 032mrmr?与rJ同向。表示向外传播的球面波。 1?i?*?) (2)(J 2222m2?111i1?rikikikrrikrree)e)(e( 0?rrrrrrm2 ?1111i11?ik)ik)( r( 022rr2mrrrr?kk?rr 032mrmr 1 ?与rJ反向。表示向内(可见，即向原点) 传播的球面波。 2ikx?e?x)(，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？补充：设 ?dx?*?dx? ?2?

3、 1)dx(x方式归一化。 波函数不能按 ? 其相对位置几率分布函数为 2? 1表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3 一粒子在一维势场 ?0x，?a0x0，U(x) ? ?ax，?中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 U(x)与t无关，是定态问题。其定态S解：方程 ?22d?(xx)U(x)E(x 2m2dx 在各区域的具体形式为 ?22d?(x)?E(x0 ?) (x)(x)?Ux?： 1112m2dx?22d? ) )?x?a ?E (x(x 0 ： 222m2dx?22d? ?Ex(x)?U(xax? ?)(x)( ： 3332m2dx?x)?U( 方程中，由于，要等式成立，必须由

4、于(1)、(3)?x0)( 1?x0)( 2 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。?2)(dxmE2?x20() 方程(2)可变为 2?22dxmE2 ，得 令 2?k ?2?2)dx(?kx2 20() 22dx?kxBcos(x)Asinkx 其解为2 根据波函数的标准条件确定系数B，A，由连续性条件，得 2 ? )(0)0 12? a)?)(a( 320?B 0?Asinka? ?0A?0kasin ?),n (n31, 2ka?n?sin()?xxA 2a 由归一化条件 ?2? x1)(dx ?an?221Axdxsin 得 a0?anma?xdxsinsinx 由 mn2aab2?Aa

5、 ?n2?sin?x(x) 2aamE2?2?k ?2?22?n?n2)E,1,2, (3 E 是量子化的。可见 n2ma2E 的归一化的定态波函数为对应于n?in2?tE?n ?axxe, sin0? )x,t(?aa n?aa, 0, xx?1?A ）式中的归一化常数是证明（2.6-14 2.4. ?naa?2?22 dxasindx1)A(x na?a?n1na?2 sinA xa(x),adx)1(cosAxa? 2.6-14 证：（） ? a?a2?an? a , x 0a? 22nAAa?dxxcosa)(x a22? 由归一化，得 a?a a?2nAa ?2)xaa(Asin ?

6、an21?a?A 归一化常数 ?2aAa 2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 3 ?1?22?x? xex)2(2 解： ?2?2?22?x22 ex()x4(x)11?2 ?32?22?x2e x?3)dx(222?x321e2x 2x ?dx?)(dx?10 令 ，得 dx1?x?0 x? x ?x?0()(x)?x?x?0 ， 。显然不是最大几率的位置。时， 由的表达式可知，11?23)(dx222?而?x322221e22x6)x)x2(x 2(?2dx ?34?22?x2244exx(125)? 23)xd(14?10 2 ?2edx1?x 2?1?x是所求几率最大的位

7、置。 可见 # ? U(?x)?U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称： 证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为?22d?(x)(x)E(x(x)U ?22dxx以(?x)代换，得将式中的 ?22d?x)(x)E()(xx)U ?22dxU(?x)?U(x)，得 利用?22d?xEx)(x)(x)(U ?22dx?(x)?(x和都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状 比较、式可知， 4 ?)(?x)和x(c)?x(x?而得其对方，由经态，因此之间只能相差一个常数 。方程、可相互进行空间反演x?x 反演，可

8、得，?)(x)?c? x(? x?x 反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 由再经?)cx(? ?(x)? ，得 乘 ?2)c(x (x)(xx) ?c21 可见， 1c? ?)(x(x)? x(?)?1?c? 当，时，具有偶宇称，?)(x)? ?(?x)?x1?c? ，时， 当具有奇宇称，)(x?x)?U U(# 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 当势场满足 一粒子在一维势阱中2.7 ? ax0, U?0?)xU(? ? ax 0,?U?0?E 运动，求束缚态(的能级所满足的方程。)0 平移坐标轴法）解法四：（最简方法-?2?EU? ：） （0? 10112?2?E?a ：

9、2） （0 ?222?2?E?Ua ） ： （2 ?33032?E2)(U?00? 11?2?E2?0? 22?2?E)2(U?00? 33?2?222)(Uk0 (1) Ek201111?222E0 kk(2) 2U0E? 束缚态02222?20 k(3)?331 5 ?xkxkBeAe111?xcossinkxkDC 222?xxkkFeEe113?0B)有限( 1 ? (0有限E)3 因此?xkAe11 ?xkFe 13 由波函数的连续性，有?)4 ), A(D (0) (021?) (Ak5kC(0) (0), 2112 ?a2k)ka6),coskC2k kFea(k(2a)Dsin

10、2(2a11232222?a2k)(Fe),7Csin2ka Dcos2k2(a)a (2a12232(6) (7)代入kk 22aDsin22ka?k?Ccos2kaDCsin2ka?cos 2222kk11 ，得 利用(4)、(5)kk?21akaDAasin2Acos2ksinA2kcos2ka 2222kk12kk?2102k)sin2kaA(a2cos 22kk12?0A kk?210a2)sin2k(ak2cos 22kk12?即得k)k两边乘上(21?220kkaa2k(kkcosk2)sin2222121 补充练习题一 122?x? ?)为常数Ae(x2 A = ？，求 1、设

11、 解：由归一化条件，有 1?2222?)d(x?e x2x2A d(1xA)e ? ? 11?22?y2y2?edyAAedy 利用? ? ?A? 量子力学中的力学量第三章 ?22?ix?t? e()x22 ，求：一维谐振子处在基态 3.1 ? 6 1 势能的平均值； (1) 22? xU? 2 2p 动能的平均值 (2)； ?T ?2 动量的几率分布函数。 (3)?11? ?22?dxx?U?xex2222 解：(1) ?22?11111?222 2? ?22242222?)3521n1(?1?2?ax2n ?dxxe? n1na2a40 21p?dxx?xp?2*?)T( (2) ?22?

12、112d1?2222?xx?dx?e?2 )(e 22 ?22dx?2?22?dxx?ex222 )(1?2?2?2222?dxdx?xee?x2x22 ?2?2?22 ?322?222?22 ?42241? ? 4111?U?T?E? ? 或 442?dxx?xcp*)( (3) p?1i1?22?Pxx?dxe?e ? 2 ?2?i11?22?Pxx?dxe?e ? 2?22pip1?1?22?)x(? dx?e?222?2 2?22ipp1?1?22?)(x? dxee?222 ?2 2?2 7 22pp?1?21? ? 22?22e?2e2? ?2 动量几率分布函数为2p1?2? ?2

13、2?e(pp()c ?# 1?r/ae,(r,)，求： 0氢原子处在基态 3.2.?3a0 (1)r的平均值； 2e?的平均值； 势能 (2) r (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 1?2?2?a/2r2? resin ,r)rdrdrd(r, 0 (1)解： ?3a0000 4n!?a/2r3axndrradxxe0 ?31naa00043!3?a 0432a?20? a?0 22ee1?2?a2r/2 d sin)drde(2)Ur( 0 ?3rra00002e?2?ra2/ersindrd d 0 ?3a00002e4 ?a/2redrr 0 3a00

14、22e4e1? 23aa?200? a?0 电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 (3)?42?22?d, )drr sindrd(r,)(rar/22 drer 0 3a0004 ?a?2r/2r)e(r0 3a0?2dr()4?a/2r rer2)(0 3adra00 8 ?)(rd?，?a0 r r,0, r 令 0321dr?时，rr?r?0)(0 , 为几率最小位置当 21?2448(dr)?a/2r2err(2)0 232aadra000?28(r)d?20e 32adr0?ar0ar? 是最可几半径。 0 ?111?21?22)(sin)(r?22?pT?r? (4)222sin

15、rsinr? ?22?21?2?ar/r/a22 dsine e)rTdrd(00 ? ?32a0000?211dd?2?ar/ar/22d )rerdrd(esin00 ? ?23drdr2ra0000?22r41?ar/)er (dr(20 ?3aaa20000?2222aa4?00)(2 24?44a22a00?*?d,(p)(r,(r)c ?(5) pi11?cospr2?a/r2 ?d eec(p)sinrddr0 ?2/3)2(?0003a0?i2?prcos?a/r2 ?)cos d(redre0 ?0033/2a)(20? ?i?2?cospr? /ar2?eerdr0 ipr

16、?0323/a)(200?ii? 2!n?prpr?a/r axn?dr)ere(edxex0 ?1nip?a?03/230a2()0?121? i11iip?323/a2()?22)(pp)0 ?aa00 9 ip41? 2p1?33ip2a?2)a(00?22a0?44a4?0 2?222?)(ap33?aa2000?2/3)2a(?0 ?2?222)(ap0 动量几率分布函数 ?53a82?0 )c(p)p ?4222)(ap0 时，粒子的状态为3.6 设t=02?1kx?kxcos(x)?Asin 2 求此时粒子的平均动量和平均动能。2?kxkx)?coscoskx?(1?cos(x)

17、?Asin2kx?A111 解： 222A? kx1coscos2kx 2A?ikxikxi2kx2kxi11)ee1()(ee 222?1A2ikx?ikxikxixikx?2021111eeeee 2222?22p? ?k? k? 0 2k? ?2k 可见，动量的可能值为n2p?k?k?kk2222222222n 0 动能的可能值为 ?2 ?2222222AAAAA?)?2 应为 对应的几率 ( n 161616164111112? A)(? ? 88882 为归一化常数，可由归一化条件，得 上述的A 222AAA?1)?2(42 n2416n?/A?1 p 动量的平均值为 ?pp nn

18、n2222AAAA?0k202222k2kk 16161616 10 22pp? ?n? T? n22n?kk?2222121? 202 ?882?k225 ? ?8 # 一维运动粒子的状态是 3.7 ?x0当x, Axe?)x(? ?0x0, 当 ?0? 其中，求： 粒子动量的几率分布函数； (1) 粒子的平均动量。 (2) 先求归一化常数，由解：(1) ?2?x222 dx1xAe(x)dx ?01?2A ?3423/?2A? ?)?0(xx223/xe)2(x ?)?00(x(x)? 11?xdxe?xexcp?dx?x1/2(ik3/ikx2)2()() ?2?2?312x?dxe?

19、xik(ik1/2)x)(e() ?ik2ik?0?331x22?21/21/)() p ?222)(ik?2)i( ? 动量几率分布函数为 ?33312122? )(p)pc ?22222)p(p?22)( ?2d?dxe?x3*x?)ixe4(dx(px)xp) (2) dx?dxx?iex?x32)4?(1? ?dx?ix?xe?x232)(4? ? 11 11?i?3)(4 ?22440? # 补充练习题二 6指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 2ddd4， ， i 2dxdxdxdd? dx* 解： dx ? -dxdx?00，当 x， ddd?dx)(* dx * *dx d

20、xdxdx?d?dx)*( dx?d?不是厄米算符 dxdd? dx* dx*i*ii? -dxdx? dd?dx dx* *i(i( ) dxdx?d?是厄米算符i dx?2dd*dd?dx 4* 4 * dx4? -2dxdxdxdx?2 *dddd*? 4dx dx44 2dxdxdxdx? 22dd?dx dx4 4)*( * 22dxdx?2d?是厄米算符4 2dx2d 、下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？7 2dxx2exxcosx?x3cosxsinsin ， ， ， 2d?x22() 解： 2dx2d2x 的本征函数。 不是 2dx2d?xxee 2dx 12 2d

21、xe的本征函数，其对应的本征值为1 。不是 2dx2dd?sinxx)x(cos(sin 2dxdx2dxsin 的本征函数，其对应的本征值为1 可见，。 是 2dx2dd?(3cosx3(cos3sinx)x)(3cosx) 2dxdx2dx3cos的本征函数，其对应的本征值为1。 是 2dx2dd?）?cosxx(cosxsinsin(sinxxcosx) 2dxdx ?cosx)(sinx2dx?cossinx的本征函数，其对应的本征值为 1。是 2dx d?ixieF的本征函数。 8、试求算符 dx?F的本征方程为 解： ?F?F d?即?ixFie dx?ddd?ixixix)dd(

22、Fe()iFeFedx ?dxdxd?ixlnFecln dx?ix?是FF?Fece（的本征值） 9、如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。 ?a? x 0,? 2?)(xU? 解： a? x, ? ?2 ： 方程（分区域） 13 a?)0)?(x?x?(?(x)?U ： I2a?)0?(x)?x()xU(? ： III2?22d?IIE ： ?II22dx?2dE2?II0 II?22dx?E2?2k 令 ?2?2d?2II0k II2dx?)kx?Asin( II?aa?)()(? III22? 标准条件：aa?)() IIIII?22?0)?sin(

23、kx?A 0A? ?0)kx?sin(? aa?k0k? 取 即 ， 22a?)()xAsink(x II20?sinkaA 0ka? sin ?)?2, n?1, (nka? ?nk a?ana? (sinA),xx? 22a?)(x? 粒子的波函数为 a? x ,0 ? ?2 14 ?2222kn?2kE)?, 2, 3(n?1, 粒子的能级为 ?22a 由归一化条件，得?an?2/a?2?22 dx(x)d1x)Asin 2a?2a/?a12n2a/?2dxxA1cos)( 22a?2/a?aa2n2a/?22dxA)cosA(x 2a2?2a/a?a2naa2?22)Asin(xA ?

24、222naa?2a?2A 22?A a 粒子的归一化波函数为 ?an2a? x(x),sin ? 2a2a?)(x? a? x0, ? ?2 、求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 11?1?22?x? xe)2(x2 解： 1?2?32222?x2 ex(x)(x) 11?3d422?x231e)x(x ?dx?3422?x22xex1() ?23d422?x42241e)21(5xx ?2dx 15 ?d?10 ，得 令 dx?1?x0x?x?， ?102202?d?x?100 为几率最小处。 ，12dx?x012?d1?10x?x 为几率最大处。 ， 0222dx1?x2 21r

25、?aaer,),(的态（0 为第一玻尔轨道半径） 6，求设氢原子处在 0?3a0r 的平均值； 2e? 的平均值。势能 r1r2?2?a3dsinddrr er0 解： ?3a0000aa1?300?41()3)2( ?322a03a? 02r2 2e?1? ?a2sdr4ree0 ?3ra002aea?0s0)4( 322a02e?s a0?BA 14、说明：如果算符和都是厄米的，那么?BA 也是厄米的+) ( ?d?B?dB?AdA*)( 证： 222111?d?)AdB?*(*)( 1122?d*B?A?)( 12 16 ?BA也是厄米的。 + 15、问下列算符是否是厄米算符： 1?px

26、)(xppx xxx2?ddxp?px*?)( 解： 221xx1?ddp?xxp?*)*（() 212xx1?p?px 因为 xx?px 不是厄米算符。 x111?d?xx?ppp?pxxdd*?)()() 2121x12xxx22211?dpdpx?x?*?)()( 22xx11221?d?pxxp?*?)( 2x1x21?d?xppx?*?() 21xx21?)pp(xx# 是厄米算符。 xx2?1?、? 满足关系式，求证、如果算符16 ?22?2 ?233?3 ?2222?)1( 证： ?22? ?22?1() ?2? ?3332?)2( ?322?2 17 ?322?)1(2 ?2?

27、3? ?PLLP 17、求xxxx?PLLP yyxx?PLPL zzxx?()?PPyP?zzPyL)P?PPLP? 解： yzxyxxxxzx?)PzPy?zPPPP?PyP yyxzxxzx?)PP?zPPPP?zyPyP xxzzxyxy = 0 ?()zPx)LPPP?P?L?PzPP?x zxzyxxxyxx?2)zPP?z?PP?xxP?PP zzxzxxx?22)x?z?PzP?xPPPP? zzxxxx?(?PxxPP) zxx?Pi z?()?yP)PLPP?PLP?PxyPx xxxyxzxxzy?2PPPyxPPPxPy xxxyxyx?22Px?xPP?PP?yyP

28、xxxxyy?(P)xPPx yxx?Pi y?xLLx 18、 xx?LxxL yy?LxLx zz?()zyPxLxx?L?xyP?zPP? 解： yxzxzy?PyxPzyxPxPzx yzyz 18 ?xyPyxzPzPPxx yyzz = 0 ?()()?zxPP?x?PLzxx?xxLP zzxyyx?2PzxxzPPxxxP zzxx?)?(PxxP?z xx?z?i ?()?y?PxLyxx?xPL?xxPP xyxzyz?22PxxPxyxPyP xxyy?xP(xPy) xx?y?i? 第四章 态和力学量的表象 2LL的矩阵元。 4.1.求在动量表象中角动量的矩阵元和xx?

29、ii1?rprp? 3?d()zp(yp)(Lee 解： ? ?yxppz?2?ii?1?rprp? 3?d(eype(zp) ?yz?2?ii?1?rprp?3 ?de(pi()(pe ? yz?p2pzy?i?1?r（p）p?3 ?die)(pp)() ?yz?2ppzy?)pp(ip(p) zy?ppyz?dLL?x22*)()(? ?pppxxp?ii?1?rrpp? 23?dz)()(yepep ?yz?2?ii?1?rrpp? 3?dpypz)(p(p()eyz)e ?yyzz?2 19 ?ii?1?rrpp? 3?d)(pepp)(e(ypi)(z ?zyzy?p2pyz?ii?

30、1?rprp?)?)(? 3?dzp(ip)(yp)(pee ? yyzz?2ppyz?i?1?r（p）p?322 ?d)()ep(p ? zy?2ppyz?22)p)(pp(p zy?ppyz?2L和LLL和 的矩阵分别为4.5 设已知在的共同表象中，算符Zyx?001i00?2?i0i101LL? xy22?00100i?L和L 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。yxL 的久期方程为 解：x?02?2300 22?02?，?，?0 321?L?，0， 的本征值为 x?L 的本征方程 x?aa001?11?a110a? 222?010aa?33?a?1?2?aLL和L设为共

31、同表象中的矩阵其中 的本征函数 Z2x?a?3?0时，有 当 1 20 ?a0010?1?0101a? 22?0001a?3?a0?2?a?a?a0，aa0 ? 132132?0a?2?a?1?0? 0?a?1 由归一化条件 ?a?12?* a0?(a,0,2a)1? 10101?a?11?a 取 12?1?2?0L对应于 。 的本征值 0 ?0x1?2? 时，有当 2?aa010?11?aa011? 222?010aa?33?1?a2?2?aa2?a12?1?1?a2)(aaaa? 32132?2?aaa?3311?a2?2?a?1?a2 ?1?a?1 由归一化条件 ?a?12?* ?4a),2aa1(aa2 11111?a?1 21 1?a 取 12?1? 2?1?L?对应于 归一化的的本征值 ?x2?1? ?2? 时，有当 2?aa001?11?aa110? 222?001aa?33?1?a1?2?a2a?a?12?1?1?a(aaa)a2? 32312?2?aaa?3131?a?2?2?a?1?a2 ?1?a?1 由归一化条件 ?a?12?* aa,1a(,a2a)4?2 11111?a?11?a 取 12?1? 2?1?L?对应于 归一化的 的本征值?x2?1? ?2?2LL和L表象的变换矩阵为 的共同表象变到由以上结果可知，从 Zx 22