排列与排列数公式[教育类别]

1、边城高级中学边城高级中学 张秀洲张秀洲 1、理解排列的概念、理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列能正确写出一些简单问题的所有排列. 2、会用排列数公式进行求值和证明、会用排列数公式进行求值和证明. 2内容参考 自学教材自学教材 P14P20 解决下列问题解决下列问题 一、一、会用排列数公式进行求值和证明会用排列数公式进行求值和证明. 二、二、教材教材 P20 练习练习. 3内容参考 问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活动，名参加一项活动， 其中其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活名同学参加下午的活 动，有

2、多少种不同的选法？动，有多少种不同的选法？ 分析：分析：把题目转化为从甲、乙、丙把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名，按名，按 照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排 列，求一共有多少种不同的排法？列，求一共有多少种不同的排法？ 上午上午下午下午 相应的排法相应的排法 甲甲 乙乙 丙丙 乙乙 甲甲 丙丙 丙丙 甲甲 乙乙 甲丙甲丙 甲乙甲乙 乙甲乙甲 乙丙乙丙 丙甲丙甲 丙乙丙乙 第一步：确定参加上午活动的同学即从第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任选名中任选1名，名， 有有3种选法种选法. 第二步：确定参加下午活动

3、的同学，有第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法种方法 根据分步计数原理：根据分步计数原理：32=6 即共即共6种方法。种方法。 问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活动，名参加一项活动， 其中其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活名同学参加下午的活 动，有多少种不同的选法？动，有多少种不同的选法？ 把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,于是问题于是问题1就可以就可以 叙述为：叙述为： 从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一定的顺个，然后按照一定的顺 序排成一列，

4、一共有多少种不同的排列方法？序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb 问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成一个个排成一个 三位数，共可得到多少个不同的三位数？三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 1 234 443322 4 44 3 33 1 11 2 4 4 4 3 1 11 2 22 4 3 33 1 11 2 22 有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243; 312，314，321，324，341

5、，342; 412，413，421，423，431，432. 从从4个不同的元素个不同的元素a,b,c,d 中任取中任取3个，然后按照一定的个，然后按照一定的 顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ abc，abd，acb，acd，adb，adc； bac，bad，bca，bcd，bda，bdc； cab，cad，cba，cbd，cda，cdb； dab，dac，dba，dbc，dca，dcb。 问题问题2可以叙述为：可以叙述为： 共有共有432=24（种）（种） 上述问题上述问题1、2的共同特点是什么？你能将它们的共同特点是什么？你能将它们 推广到一

6、般情形吗？推广到一般情形吗？ 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素，按照）个元素，按照 一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方 法？法？ 1、排列：、排列： 一般地，从一般地，从n个不同中取出个不同中取出m (mn)个元素，按照一定个元素，按照一定 的顺序排成一列，叫做从的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的 一个排列。一个排列。 说明：说明： 1、元素不能重复。、元素不能重复。n个中不能重复，个中不能重复，m个中也不能重复。个中也不能重复。 2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断

7、一个问题是否是排就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排 列问题的关键。列问题的关键。 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且 元素的排列顺序也完全相同。元素的排列顺序也完全相同。 4、mn时的排列叫选排列，时的排列叫选排列，mn时的排列叫全排列。时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树树 形图形图”。 练习一练习一:下列问题中哪些是排列问题？下列问题中哪些是排列问题？ （1）10名学生中抽名学生中抽2名学生开会名学生开会 （2）1

8、0名学生中选名学生中选2名做正、副组长名做正、副组长 （3）从）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘 （4）从）从2,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除 （5）20位同学互通一次电话位同学互通一次电话 （6）20位同学互通一封信位同学互通一封信 （7）以圆上的）以圆上的10个点为端点作弦个点为端点作弦 （8）以圆上的）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线 （9）有）有10个车站，共需要多少种车票？个车站，共需要多少种车票？ （10）有）有10个车站，共需要多少种不同的票价？个车站，共需要多少种不同的票价？

9、是是 是是 是是 是是 是是 否否 否否 否否 否否 否否 教材教材P20 练习练习1. 1、写出、写出 （1）从）从4个不同元素个不同元素a、b、c、d中任取中任取2个元素的所有排个元素的所有排 列；列； （2）从）从5个不同元素个不同元素a、b、c、d、e中任取中任取2个元素的所有个元素的所有 排列；排列； ab，ac，ad，bc，bd，cd， ba，ca，da，cb，db，dc. ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de, ba，ca，da，ea，cd，db，eb，dc，ec，ed. 2、排列数：、排列数： 从从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)个元素的所

10、有排列的个元素的所有排列的 个数，叫做从个数，叫做从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m个元素的排列数个元素的排列数.用用 符号符号 表示。表示。 m n A 问题问题1:中是求从中是求从3个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素的排列数，记个元素的排列数，记 为为 ,已经算得已经算得 2 3 A 2 3 3 26A 问题问题2:中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的排列数，记个元素的排列数，记 为为 ,已经算出已经算出 3 4 A 3 4 4 3 224A 探究探究:从从n个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素的排列数个元素的排列数 是多少？是多少？ 2 n A

11、2 (1) n An n 呢呢？ m n A 呢呢？ 3 n A 第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位 n种种(n-1)种种(n-2)种种(n-m+1)种种 3 (1)(2) n An nn (1)(2)(1) m n An nnnm 例例1:计算：计算： 4 10 ; (1)A109875 040 12 11 1098765 5 12 11 109876 6！=654321=720 8 12 7 12 (2) ; A A 6 6 (3) . A 类型类型1：排列数的计算或证明排列数的计算或证明 (1)排列数公式：排列数公式： (1)(2)(1)(,*,) m n An nnnmm nNm

12、n 当当mn时，时，(1)(2)3 2 1 n n An nn 正整数正整数1到到n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n的阶乘，用的阶乘，用 表示。表示。!n n个不同元素的全排列公式：个不同元素的全排列公式：! n n An 1212 1! ()!2 1 n nnnmnmn nmnm 121n nnnm m n A ! ()! n mn nn m n m An A Anm (1)排列数公式：排列数公式： (1)(2)(1)(,*,) m n An nnnmm nNmn 当当mn时，时，(1)(2)3 2 1 n n An nn 正整数正整数1到到n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n的阶乘，用的阶乘，用

13、 表示。表示。!n n个不同元素的全排列公式：个不同元素的全排列公式：! n n An (2)排列数公式：排列数公式： ! ()! m n n A nm 说明：说明： 1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。 为了使当为了使当mn时上面的公式也成立，规定：时上面的公式也成立，规定：0!1 2、对于、对于mn这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。 1 54254 3 425 4)(1)! 111 (5) !(1)!(1)! nm nm nnn 化化简简：（ ）！， （ ）（）！ （ ）！，

14、 （ ）（ 1 5（ ）！ (2)20! (4)()!nm 2 2 (5) (1)! nn n (3)7 类型类型2：简单的排列问题简单的排列问题 例：某年全国足球甲级例：某年全国足球甲级(A组组)联赛共有联赛共有14队参加队参加,每队都要每队都要 与其余各队在主客场分别比赛与其余各队在主客场分别比赛1次次,共进行多少场比赛共进行多少场比赛? 有有5本不同的书本不同的书,从中选出从中选出3本给本给3名同学名同学,每人一本每人一本,共有共有 多少种不同的选法多少种不同的选法? 7 14 14 13182A 3 5 5 4360A 有有5种不同的书种不同的书,从中选出从中选出3本给本给3名同学名同

15、学,每人一本每人一本,共有共有 多少种不同的选法多少种不同的选法? 5 5 5125 排列数排列数 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 2021年年4月月25日星期日日星期日 二、二、教材教材 P20 练习练习2-5. 15 69 n A 32 7605 040 1 568 5 26241207205 040 40 320 6从从4种蔬菜品种中选出种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的种，分别种植在不同土质的3 块土地上进行试验，有块土地上进行试验，有种不同的种植方法？种不同的种植方法？ 7从参加乒乓球团体比赛的从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出名运动员中选出3名进行某名进行某 场比赛，

16、并排定他们的出场顺序，有场比赛，并排定他们的出场顺序，有种不同的方法？种不同的方法？ 24 60 3 4 43224A 3 5 5 4360A 8、某段铁路上有、某段铁路上有12个车站，共需要准备多少种普个车站，共需要准备多少种普 通客票？通客票？ 每张票对应着每张票对应着2个车站的一个排列个车站的一个排列 2 12 12 11132NA 解：解： 9、某信号兵用红、某信号兵用红,绿绿,蓝蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗面旗从上到下挂在竖直的旗 杆上表示信号杆上表示信号,每次可挂一面每次可挂一面,二面二面,三面三面,并且不同的顺并且不同的顺 序表示不同的信号序表示不同的信号,一共可表示多少种不同的

17、信号一共可表示多少种不同的信号? 解：解：信号分三类，信号分三类， 第一类为第一类为3面旗组成的信号，共面旗组成的信号，共 种，种， 第二类为第二类为2面旗组成的信号，共面旗组成的信号，共 种，种， 第三类为第三类为1面旗组成的信号，共面旗组成的信号，共 种，种， 由加法原理得由加法原理得 3 3 A 2 3 A 1 3 A 排列的性质：排列的性质： 2021年年4月月25日星期日星期 日日 你学会了吗你学会了吗? 对自己说，你有什么收获？对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么提示？对同学说，你有什么提示？ 对老师说，你有什么疑惑？对老师说，你有什么疑惑？ 29内容参考 2、当元素较少时，可以根据排列的意义列出所有的、当元素较少时，可以根据排列的意义列出所有的 排列排列( (枚举法枚举法）, ,那么怎样更快地写出排列数呢那么怎样更快地写出排列数呢? ? “一定顺序一定顺序”就是与就是与位置位置有关，这也有关，这也是判断一个问是判断一个问 题是不是排列问题的重要标志题是不是排列问题的重要标志. 一是一是“取出元素取出元素”； 二是二是“按照一定顺序排列按照一定顺序排列”， 1、排列的定义中包含两个基本内容：、排列的定义中包含两个基本内容： 必做题必做题:教材教材 P27 A组组 第第1