61 2多元函数微分学的几何应用

1、第六节第六节 多元函数微分学多元函数微分学 的几何应用的几何应用 数学系贺 丹 第五章 多元函数微分学及其应用 2 定义 6.1 ：设 0 M 是空间曲线 ?上的一点，M是 ?上的 另一点。当点 M沿曲线 ? 趋近于点 0 M 时，割线 MM0 的极限位置 TM 0 ，称为曲线 ?在点 0 M 处的切线。过点 0 M 且与切线 TM 0 垂直的平面 称为曲线 ?在点 0 M 处的法平面。 6.1空间曲线的切线与法平面 x y z o M M0 第五章 多元函数微分学及其应用 3 设空间曲线 ? 的参数方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? )( )( )( tzz tyy txx ，其中 )(

2、tx 、 )(ty 、 )(tz 可微。 当 0 tt? 及 ttt? 0 时，曲线 ?上对应的两点为 ),( 0000 zyxM 及 ),( 000 zzyyxxM? ，则割线 MM 0 的方程为 z zz y yy x xx ? 000 ? ? ? ? ? ， 上式分母除以 t? ，得 t z zz t y yy t x xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 第五章 多元函数微分学及其应用 4 当点 0 MM ? 时，有 0?t? ，得 )()()( 0 0 0 0 0 0 tz zz ty yy tx xx ? ? ? ? ? ? ? ? 即为曲线 ?在点 0 M 处

3、的切线 TM 0 的方程。 曲线?在点 0 M 处的法平面方程为： . 0)()( )( 000000 ?zztzyytyxxtx 切线的方向向量? 000 ( ), ( ), ( )ax ty tz t? r 。 第五章 多元函数微分学及其应用 5 例 1 求螺旋线 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin2 cos2 tz ty tx 上对应于 4 ? ?t的点 M 处的切线 与法平面方程。 例 2求曲线 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 12 16 : xz xy ?在对应于 2 1 ?x 的点 M处 的切线方程与法平面方程。 例 3求抛物柱面 2 xz? 及圆柱面 1 22 ? y

4、x 相交所成的 空间曲线在) 25 9 , 5 4 , 5 3 ( 0 M 处的切线方程和法平面方程。 第五章 多元函数微分学及其应用 6 例 1 求螺旋线 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin2 cos2 tz ty tx 上对应于 4 ? ?t的点 M 处的切线 与法平面方程。 解：当 4 ? ?t 时，点 M的坐标为) 4 2 ,2 ,2(? 。 ttxsin2)(? ， ttycos2)(? ， 2)(? ?t z ， 螺旋线在点 M 处的切线方程为 2 4 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? z yx ， 即 1 4 2 1 2 1 2 ? ? ? ? ? ? z yx

5、 ； 2) 4 (? ? x ， 2) 4 (? ? y ， 2) 4 (? ? z ， 第五章 多元函数微分学及其应用 7 注： （1）只要与 ?)( ),( ),( 000 tztytx? 成比例的向量均 可作为切线的方向向量。 （2 ）若曲线方程为 )(xyy? ， )(xzz? ，则以 x为 参数，曲线),( 0000 zyxM 处的切线方程为 )()(1 0 0 0 00 xz zz xy yyxx ? ? ? ? ? ? ? 。 螺旋线在点 M处的法平面方程为 0) 4 2 (2)2(2)2(2?zyx ， 即 02444?zyx 。 第五章 多元函数微分学及其应用 8 例 2求曲

6、线 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 12 16 : xz xy ?在对应于 2 1 ?x 的点 M处 的切线方程与法平面方程。 解：以 x为参数，得曲线 L 的参数方程： ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 12 16 xz xy xx ， 当 2 1 ?x 时，点 M 的坐标为 )3 ,4 , 2 1 ( 。 1) 2 1 (?x ， 16) 2 1 (?y ， 12) 2 1 (?z ， 曲线在点M处的切线方程为 12 3 16 4 1 2 1 ? ? ? ? ? zy x ； 法平面方程为0)3(12)4(16) 2 1 (?zyx ， 即 020124322?zyx 。 第五章

7、 多元函数微分学及其应用 9 例 3 求抛物柱面 2 xz? 及圆柱面 1 22 ? yx 相交所成的 空间曲线在) 25 9 , 5 4 , 5 3 ( 0 M 处的切线方程和法平面方程。 解：曲线的参数方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 cos sin cos z y x ， 则 ?sin)(?x ， ?cos)(?y ， ?cossin2)(?z ， 点 0 M 对应于 0 3 arccos 5 ? ， 故 0 4 () 5 x? ? ， 0 3 () 5 y? ， 0 24 () 25 z? ? ， 第五章 多元函数微分学及其应用 10 故切线方程为 25 24 2

8、5 9 5 3 5 4 5 4 5 3 ? ? ? ? ? ? ?zyx ， 法平面方程为0) 25 9 ( 25 24 ) 5 4 ( 5 3 ) 5 3 ( 5 4 ?zyx ， 即0 25 216 241520?zyx。 即 24 25 9 3 5 4 4 5 3 ? ? ? ? ? ? ?zyx 。 第五章 多元函数微分学及其应用 11 说明： （1）只要与 ?)( ),( ),( 000 tztytx? 成比例的向量均 可作为切线的方向向量。 （2 ）若曲线方程为 )(xyy? ， )(xzz? ，则以 x为 参数，曲线),( 0000 zyxM 处的切线方程为 )()(1 0 0

9、0 00 xz zz xy yyxx ? ? ? ? ? ? ? 。 第五章 多元函数微分学及其应用 12 定义 6.2 若曲面? 上过 点 0 M 的任意一条光滑 曲线在点 0 M 处的切线 都在同一个平面上，则 称该平面为曲面?在点 0 M 处的切平面，过点 0 M 且垂直于切平面的直线称为曲面?在点 0 M 处的法线。 ? M T n ? x y z o o 6.2曲面的切平面与法线 第五章 多元函数微分学及其应用 13 ? ? ? ? ? ? ? ? )( )( )( tzz tyy txx ， ? 0 tt) , ,( 0000 zyxM 。 由于?在曲面?上，故 0)(),(),(

10、?tztytxF ， 0)(),(),( 0 ? ?tt tztytxF dt d ， 过点 0 M 任作一条位于?上的光滑曲线?，设其方程为 设曲面?的方程为 0),(?zyxF ， ?) , ,( 0000 zyxM ， 并设函数 ),(zyxF 的偏导数在该点连续且不同时为零。 第五章 多元函数微分学及其应用 14 即 0)()()()()()( 000000 ?tzMFtyMFtxMF zyx ， 令 )(),(),( 000 MFMFMFn zyx ? ? ， )(),(),( 000 tztytxa? ? ， 则0 ? ? ?an ，故 an ? ? 。 由于a ? 为曲线?在点

11、0 M 处的切线的方向向量，而曲线 ?是曲面?上任意一条过点 0 M 的曲线，因此上式表明， 过点 0 M 的任一位于曲面?上的曲线在 0 M 处的切线都与 n ? 垂直，因而它们都在过点 0 M 以n ? 为法向量的同一平面 内，该平面即为曲面 ? 在点 0 M 处的切平面， 第五章 多元函数微分学及其应用 15 曲面? 在点 ) , ,( 0000 zyxM 处的法线方程为 000 000 MzMyMx F zz F yy F xx? ? ? ? ? 。 0)()()( 000 000 ?zzFyyFxxF MzMyMx ， 则曲面? 在点 ) , ,( 0000 zyxM 处的切平面方程

12、为： 第五章 多元函数微分学及其应用 16 若曲面方程由显函数) ,(yxfz? 给出，令 zyxfzyxF?) ,(),( ，于是 0) ,(),(?zyxfzyxF ， xx fF ? ， yy fF ? ， 1? z F ， 曲面? 在点 ) , ,( 0000 zyxM 处的切平面方程为 )( ,()( ,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ? ， 曲面? 在点 ) , ,( 0000 zyxM 处的法线方程为 1) ,() ,( 0 00 0 00 0 ? ? ? ? ? ?zz yxf yy yxf xx yx 。 第五章 多元函数微分学及其应用 17 yyxfxy

13、xfzz yx ?) ,() ,( 00000 ? ， 得全微分的几何意义： 把方程)( ,()( ,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ? 变形为 函数),(yxfz? 在点 ),( 00 yx 处的全微分，在几 何上表示曲面 ),(yxfz? 在点 ),( 000 zyx 处的切 平面上点的竖坐标的增量。 第五章 多元函数微分学及其应用 18 例4求圆锥面 22 yxz? 在点（3，4，5）处的 切平面及法线方程。 例 5 问球面 104 222 ?zyx 上哪一点的切平面与 平面 243?zyx平行？并求此切平面方程。 例 6 求曲线 ? ? ? ? ? 04532 03

14、 222 zyx xzyx 在点)1 ,1 ,1( 处的 切线方程与法平面方程。 第五章 多元函数微分学及其应用 19 例4求圆锥面 22 yxz? 在点（3，4，5）处的 切平面及法线方程。 解：设 22 y) ,(yxxfz? ， 则 22 ) ,( yx x yxf x ? ? ， 22 ) ,( yx y yxf y ? ? ， 5 3 )4 ,3(? x f ， 5 4 )4 ,3(? y f ， 圆锥面在点（3 ，4，5）处的切平面方程为 )4( 5 4 )3( 5 3 5?yxz ，即 0543?zyx 。 圆锥面在点（3,4,5 ）处的法线方程为 5 5 4 4 3 3 ? ?

15、 ? ? ? ?zyx 。 第五章 多元函数微分学及其应用 20 例 5 问球面 104 222 ?zyx 上哪一点的切平面与 平面 243?zyx平行？并求此切平面方程。 解： 令 104) , ,( 222 ?zyxzyxF ， 则xF x 2? ， yF y 2? ， zF z 2? ， 设切点为 0000 (, , )Mxyz ， 则该点处切平面的法向量为 000 2 , 2 , 2 nxyz? r ， 切平面与平面243?zyx 平行， 它们的法向量平行， 第五章 多元函数微分学及其应用 21 点 0000 (, , )Mxyz在球面104 222 ?zyx 上， 222 000 1

16、04xyz? ， 即 222 000 916104zzz? ， 解得 0 2z ? ? ， 0 6x ? ? ， 0 8y ? ? ， 000 222 341 xyz ? ， 解得 00 3xz? ， 00 4yz? ， 切点为 )2 ,8 ,6(M 和 )2 ,8 ,6(?M ， 相应的切平面方程为 0)2()8(4)6(3?zyx ， 和0)2()8(3)6(3?zyx 。 第五章 多元函数微分学及其应用 22 例 6 求曲线 ? ? ? ? ? 04532 03 222 zyx xzyx 在点)1 ,1 ,1( 处的 切线方程与法平面方程。 所求切线的方向向量 1 ,9 ,16 21 ?nna ? ， 切线方程为 1 1 9 1 16 1 ? ? ? ? ? ?zyx ， 法平面方程为0)1()1(9)1(16?zyx ， 即 024916?zyx 。 解：曲面 03 222 ?xzyx 在点 )1 ,1 ,1( 处的法向量为 2 ,2 ,12 ,2 ,32 )1,1,1(1 ?zyxn ? ， 平面 04532?zyx 的法向量为 5 ,3 ,2 2 ?n ? 。 第五章 多元函数微分学及其应用 23 例 7 设),(vuF可微，试