§4 功能关系 动量能量综合

1、 第一阶段高考总复习 2006年 动量能量综合 4 功能关系 教学目标： 理解功和能的关系，能够应用动量观点和能量观点解决有关动量和能量的综合问题。 动量能量综合问题的解决方法教学重点： 应用动量观点和能量观点解决动量能量综合问题教学难点： 讲练结合，计算机辅助教学教学方法： 教学过程： 一、功能关系 做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度。能量守恒和转化定律是自然界最基本的定律之一。而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着 重要的角色。本章的主要定理、定律都是由这个基本原理出发而得到的。需要强调的是：功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它个一个时

2、刻 ，但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。相对应。两者的单位是相同的（都是J）“功是能量转化的量尤其是功和机械能的关系。突出：复习本章时的一个重要课题是要研究功和能的关系， 度”这一基本概念。 E，这就是动能定理。W=物体动能的增量由外力做的总功来量度：k外 ，这就是势能定理。W= -E物体重力势能的增量由重力做的功来量度：PG表示除重力以外的其它力做W（=物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：WE，其它其它机 的功），这就是机械能定理。 时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。当W=0其它一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也

3、就是系 。dd?=Q（为这两个物体间相对移动的路程）统增加的内能。f 下列说法中正确的有，在这个过程中，作用下减速上升了质量为【例1】 m的物体在竖直向上的恒力FH mgHA.物体的重力势能增加了 物体的动能减少了B.FH F v 物体的机械能增加了C.FHa 物体重力势能的增加小于动能的减少D.G C 、A解析：由以上三个定理不难得出正确答案是位置有一只小球。小球从静止A 【例2】 如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方 页13 共 页1 第 第一阶段高考总复习 2006年 小位置小球速度减小到零。位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D开始下落，在B 球下

4、降阶段下列说法中正确的是 位置小球动能最大A在B A 在C位置小球动能最大 BB 位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加 C从AC C D 位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加AD D从CC小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；解析：小球动能的增加用合外力做功来量度，A小球重力势能的减少等于小球ACD小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确。从DD两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以动能的增加和弹性势能之和，所以C正确。A、 D。正确。选B、C、 二、动量能量综合问题它们分别反映了力的瞬时作用效应、动量定理和动量守恒、动能定理和机械能守恒。

5、我们已经复习了牛顿定律、力的时间积累效应和力的空间积累效应。解决力学问题离不开这三种解题思路。在比较复杂的题目中，这三种手段 往往是交替使用的。下面举几个例题说明这一点。从同一ca从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、b】 如图所示，a、c三个相同的小球，【例3 高度分别开始自由下落和平抛。下列说法正确的有 它们同时到达同一水平面Aa b c 重力对它们的冲量相同B C它们的末动能相同 D它们动量变化的大小相同h2）的比较，两者平均速度大小相同（末动能相同）；但显然ac飞行时间相同（都是；a与b解析：b、g，到地面时末动能的机械能最大（有初动能）B都不对。由于机械能守恒，c位移大，所以用的

6、时间长，因此A、所受冲量相同，cb、也不对。a、b的初动量都是零，末动量大小又相同，所以动量变化大小相同；也大，因此C D所以动量变化大小也相同，故正确。、为中介：a点评：这道题看似简单，实际上考察了平均速度、功、冲量等很多知识。另外，在比较中以b，c飞行时间相同（都等于自由落体时间）的初、末动能相同，平均速度大小相同，但重力作用时间不同；b、b 球可能更难做一些。b但初动能不同。本题如果去掉。若司机突然减小油门使Pv匀速行驶，发动机实际功率为m【例4】 质量为的汽车在平直公路上以速度P并保持下去，汽车所受阻力不变，则减小油门瞬间汽车加速度大小是多少？以后汽车将怎样运实际功率减为 2 动？将减

7、半，合力，Fv等于阻力f，减小油门瞬间未变，由P=FvFP=Fv f=maF解：由公式-和，原来牵引力 页13 共 页2 第 第一阶段高考总复习 年2006 PPF又逐渐增大，变为，方向和速度方向相反，加速度大小为；以后汽车做恒定功率的减速运动，F? mv2v22 =0，速度减到最小为v/2，再以后一直做匀速运动。a当增大到F=f时， 点评：这道题是恒定功率减速的问题，和恒定功率加速的思路是完全相同的。从右A左端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m的小物块B【例5】 质量为M的小车冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车右端时刚好与车保持相对静止。求这过程弹簧的最大端以速度v0 和

8、全过程系统摩擦生热Q各多少？简述B相对于车向右返回过程中小车的速度变化情况。弹性势能EP解析：全过程系统动量守恒，小物块在车左端和回到车右端两个时刻，系统的A B ；第二阶段初、末系统动能相同，说明小v速度是相同的，都满足：mv=（m+M）0即弹簧物块从车左端返回车右端过程中弹性势能的减小恰好等于系统内能的增加，是全过程E的最大弹性势能E恰好等于返回过程的摩擦生热，而往、返两个过程中摩擦生热是相同的，所以PPE=2摩擦生热Q的一半。又因为全过程系统的动能损失应该等于系统因摩擦而增加的内能，所以E=QP K222MmvMmvMmvF 而 ， A 000?E,?Q?E?f B ? pkmM?mM2

9、?4m2M?相对于车向右返回过程中小车的速度变化，则应该用牛顿运动定律来分析：刚开始向右返回时刻，B至于，小车向左加的弹力一定大于滑动摩擦力，根据牛顿第三定律，小车受的弹力弹簧对BF也一定大于摩擦力f速运动；弹力逐渐减小而摩擦力大小不变，所以到某一时刻弹力和摩擦力大小相等，这时小车速度最大；以后脱离弹簧后，小车在水平方向只受摩擦力，继弹力将小于摩擦力，小车受的合外力向右，开始做减速运动；B 续减速，直到和B具有向左的共同速度，并保持匀速运动。当炮身固定时，炮弹】 海岸炮将炮弹水平射出。炮身质量（不含炮弹）为M，每颗炮弹质量为m【例6 水平射程为s，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将

10、是多少？ 第一次化学能全部转化为是相同的。解析：两次发射转化为动能的化学能E炮弹的动能；第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水平动量守2p物体的动能由动能和动量的关系式知，在动量大小相同的情况下，恒，?E Km2M11，由于平抛的射高相等，两次射程的比等和质量成反比，炮弹的动能22E?mv?E,E?Emv 2121m?M22vsMM 于抛出时初速度之比，22ss? 2mvs?M?mM1点评：这是典型的把动量和能量结合起来应用的应用题。要熟练掌握一个物体的动能和它的动量大小的关 系；要善于从能量守恒的观点（本题是系统机械能增量相同）来分析问题。的左右两B、C同时从Am【例7】 质量为

11、的长木板A静止在光滑水平面上，另两个质量也是m的铁块滑上长木、CA、C与间的动摩擦因数均为。试分析BB和端滑上A的上表面，初速度大小分别为v2v， 不相撞，B、CA木板至少多长？的运动状态如何变化？为使板A后，Av静止B所受合力为零，保持静止。这段时间为都相对于CA滑动时，A。刚好相对于A 、解析：B?t? 1?g 页13 共 页3 第2006年 第一阶段高考总复习 时，C的速度为v，A开向左做匀加速运动，由动量守恒可求出A、B、C最终v 2v v v2v做匀速将以的共同速度，最终，这段加速经历的时间为A?vC B ?t?v 2 3?g33A 运动。?mgd?Q?fd，由能量守恒定律列式：全过

12、程系统动能的损失都将转化为系统的内能，而摩擦生热22v17v11?22? 。这就是A木板应该具有的最小长度。?,解得vd?3mgd?mv?mm2? ?g33222?的位移就B对A、C与A摩擦生热之比：第一阶段点评：本题还可以求系统机械能损失（摩擦生热）和B22BA、/2g；第二阶段的位移是其3倍因此C对A3倍：s=3s是对地的位移：=vv/2g，C的平均速度是其CB22，相对4vg/9sg，C平均速度是其4倍，对地位移是/=共同向左运动的加速度是g/2，对地位移是s=v /9222于是系统摩擦生热为，/6g vg/2和d=11v于A位移是v/3g，故B、C与A间的相对位移大小依次是d=CB21

13、1 dd d）=7mv=3/3，+mg（dCCBB沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞v的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度【例8】 质量M，铁块不会到达车的右端。到最终相对静止为止，摩擦生L的时间极短，不计动能损失。动摩擦因数，车长 热多少？v m ，而铁块的速度未变，仍解析：车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是vM 与车与铁块相对静止时的速度方向决定于M，方向向左。根据动量守恒定律，是v时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，Mmm的大小关系：当2Mmv2时，相对静止时的共同速度必Mm可求得摩擦生热是；当M=m时，显然最终共同速度为零，当?Q mM?1?2vM?m?Q 向右，

14、再次与墙相碰，直到小车停在墙边，后两种情况的摩擦生热都等于系统的初动能 2（圆BC区域时变为圆弧形一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过【例9】 的m相切。现将大量的质量均为和CD都与BC弧由光滑模板形成，为画出），经过CD区域时是倾斜的，AB。稳定工hD和A的高度差为小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，之前B。每个箱子在A处投放后，在到达段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为作时传送带速度不变，CDL内，共TBC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对

15、滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的N运送小货箱的数目为 平均输出功率P。D 解析：电动机做功的过程，电能除了转化为小货箱的机械能，还有A L 一部分由于小货箱和传送带间的滑动摩擦而转化成内能。摩擦生热可以C B L 是这两是相对滑动的两个物体间的摩擦力大小，df由Q=f?d求得，其中，则相对滑动个物体间相对滑动的路程。本题中设传送带速度一直是v大小相同，故摩擦生热和s2过程中传送带的平均速度就是小货箱的倍，相对滑动路程d和小货箱的实际位移22内，共运送小货箱+。又由已知，在一段相当长的时间。因此有/2W=mvT=小货箱的末动能大小相同Qmvmgh22?NmNL NW?PT，带入后得到。 ，所以

16、有，的数目为NvT=NL ?ghP? 2TT? 页13 共 页4 第2006年 第一阶段高考总复习 【例10】 用轻弹簧相连的质量均为2 kg的A、B两物块都以v 6 ms的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4 kg的物块C静止在前方，如图所示.B与C碰撞后二者粘在一起运动.求：在以后的运动中： ? A的速度多大（1）当弹簧的弹性势能最大时，物体? 2）弹性势能的最大值是多大（? 为什么A的速度有可能向左吗?3（）、. B三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大解析：（1）当AC、 m）v（m+mA+BvC三者组成的系统动量守恒，（m+m）由于ABAACB6?2)(2m/s=3 m/s

17、= 解得 vA 4?2?2、 ，则两者速度为C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B（2）BvC碰撞时BC6?2=2 m/s v=）v=（m+mv mCBB 4?2 ，时弹簧的弹性势能最大为E设物A速度为vpA1112?22?vv ）+m+m +mv-（根据能量守恒E=（m+m）mCpCABBA A222111222=12 J 3（2+2+42=6）-（2+4）2+ 222 不可能向左运动3）A（ v+m）mv+（mv系统动量守恒，mv+m=BAACABB4 m/s ，vA向左，v0设 BA 动能之和、C则作用后A、B111222=48 J v+m）m+m）v=E（mmv+（BBBCBAAC 222

18、 实际上系统的机械能12?v=12+36=48 J ）m（m+m+E=ECBpA A2?E 是不可能的根据能量守恒定律，E，用细线悬挂的小球=0.20.01 kg，与水平地面间的动摩擦因数11【例】 如图所示，滑块A的质量m、LLs只小球及相邻两小球间距离均为=2 m，线长分别为L、A=0.01 kg质量均为m，沿x轴排列，与第1312轴正方向运动，设滑块与小xv10 m/s沿（图中只画出三只小球，且小球可视为质点），开始时，滑块以速度02，10 m/s取球碰撞时不损失机械能，碰撞后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动并再次与滑块正碰，g 求： 页13 共 页5 第2006年 第一阶段高考

19、总复习 （1）滑块能与几个小球碰撞? . 的表达式个小球悬线长L（2）求出碰撞中第nn）因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能守恒，滑块与小球相1解析：（ ，有碰撞会互换速度，小球在竖直平面内转动，机械能守恒，设滑块滑行总距离为s012?mv0?mgs? 00225 m s得0s0（个）n?12 s v）滑块与第n个球碰撞，设小球运动到最高点时速度为（2n1122?v?m2mgLmv? 对小球,有: nnn222?vnm?mg Ln1122?mv?mgns?mv? 对滑块，有： 0n22: 解三式 2?gsnv?2n450?0?L? n255g点，M球A静止在光滑水平面上的mB质量分别是=2.0

20、kg，m=1.6 kg.】【例12 如图所示，两个小球A和BA18 m，LL18 m时存在着恒定的斥力F运动球B在水平面上从远处沿两球的中心连线向着球A.假设两球相距 s.求：B的速度是4 m时无相互作用力.当两球相距最近时，它们间的距离为d2 m，此时球 B的初速度；（1）球 ）两球之间的斥力大小；（2. ）两球从开始相互作用到相距最近时所经历的时间（3 当两球相距最tF，两球从开始相互作用到两球相距最近时的时间是解析：（1）设两球之间的斥力大小是0 4 m/s. B，此时球A的速度与球的速度大小相等，vv=4 m/svB近时球的速度是BBA 页13 共 页6 第2006年 第一阶段高考总复

21、习 由动量守恒定律可得：mvmv+mv B BAB0BA 9 m/s（1分）代人数据解得v0B（2）两球从开始相互作用到它们之间距离最近时它们之间的相对位移sL-d 由功能关系可得： 111222） -（mv Fs=+mvmvBBAB0BA 222代人数据解得F=2.25 N （3）根据动量定理，对A球有： mvAA t= Ft=mv-0 AA F32 =s=3.56 s 代入数值解得t 9【例13】 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”，这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似.两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态.在它们左边有一垂直于

22、轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v射向B球，如图所示.C与B发生碰撞并立0即结成一个整体D.在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变.然后，、D都静止不动，A与P球与挡板P发生碰撞，然后A接触但不粘接，过一段时间，突然解除锁定（锁定及A、C三球的质量均为m已知A。求：B 解除锁定均无机械能损失）.（1）弹簧长度刚被锁定后A球的速度； 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。球离开挡板P（2）在A ,由动量守恒定律有,D的速度为v1）设C球与B球碰撞结成D时（解析：1 =2mvmv10 由动量守恒定律有,设此速度为v当弹簧压至最低时,D与A有共同速度2

23、 mv2mv=3211 =vv两式联立求得A的速度 02 3 ,E由能量守恒有2）设弹簧长度被锁定后,储存在弹簧中的弹性势能为（p1122 -E=32mvmv2p1 22、DD球的动能，设此时.D均静止解除锁定后，当弹簧刚恢复到原长时，弹性势能全部转为A撞击P后, v，由能量守恒有的速度为312 =E2mvp3 2 页13 共 页7 第 第一阶段高考总复习 年2006 、由动量,D速度为D速度相等时，弹簧伸长到最长，设此时Av以后弹簧伸长，A球离开挡板P，当A4 守恒定律有 mv2mv=243 ，由能量守恒有当弹簧最长时，弹性势能最大，设其为Ep1122 32mvmvE=-43p 2212=

24、mvE 联立以上各式，可得p0 36静止在光滑水平面AA相联，原来 m 的小物块【例14】如图所示，一轻质弹簧一端固定，一端与质量为处从静止开始沿光滑水平面向右运CF的水平恒力作用下由m的物块B在大小为上，弹簧没有形变，质量为，=4s点时，将外力F撤去，已知COA动，在O点与物块相碰并一起向右运动（设碰撞时间极短）。运动到D的最大值？你能求得哪些物理量（弹簧的弹性势能等）s,则撤去外力后，根据力学规律和题中提供的信息，OD= 并求出定量的结果。 v，由动能定理得：B到达O点的速度为在F的作用下，从C运动到O点的过程中，设解析：物块B012mv s= F 4 s4 0 s2 F 点的碰撞动量守恒

25、，设碰后的共同速度B在O对于A与A B 为v，由动量守恒定律可得： D O C mv=2mv 0 ,据能量守恒定律可得：、B一起向右运动停止时，弹簧的弹性势能最大。设弹性势能的最大值为E当Apm12Fs2mv3? Fs+ E= pm 2 的最大速度为：A、B撤去外力后，系统的机械能守恒。根据机械能守恒定律可求得Fs3?vv 。 BmAmm 三、针对训练与地面间接触MM及的左端，右端与小木块m连接，且m、如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板1M，从两物体开始运动以后的整和F、M施加等大反向的水平恒力FM光滑.开始时，m和均静止，现同时对m21 M和弹簧组成的系统个运动过程中，弹簧形变不超过其弹性限

26、度，对于m、 等大反向，故系统机械能守恒F、FA.由于21 M各自的动能最大F、大小相等时，m、当弹簧弹力大小与B.F 21 各自一直做匀加速运动m、由于FF大小不变，所以、MC.21 页13 共 页8 第2006年 第一阶段高考总复习 D.由于F、F等大反向，故系统的动量始终为零 212物体在恒定的合力作用下做直线运动，在时间t内动能由0增大到E，在时间t内动能由E增大1121到E.设合力在t内做的功是W、冲量是I；在t内做的功是W、冲量是I.那么 2212121A.II，WW B.II，WW 21212121D.I ，C.IIWW I ， WW 222112113有一种硬气功表演，表演者平

27、卧地面，将一大石板置于他的身体上，另一人将重锤举到高处并砸向石板，石板被砸碎，而表演者却安然无恙.假设重锤与石板撞击后二者具有相同的速度.表演者在表演时尽量挑选质量较大的石板.对这一现象，下面的说法中正确的是 A.重锤在与石板撞击的过程中，重锤与石板的总机械能守恒 B.石板的质量越大，石板获得的动量就越小 C.石板的质量越大，石板所受到的打击力就越小 D.石板的质量越大，石板获得的速度就越小 4如图所示，分别用两个恒力F和F先后两次将质量为m的物体从静止开始，沿着同一个粗糙的固定斜21面由底端推到顶端，第一次力F的方向沿斜面向上，第二次力F的方向沿水平向右，两次所用时间相同.在这21两个过程中

28、 A.F和F所做功相同 21B.物体的机械能变化相同 C.F和F对物体的冲量大小相同 21D.物体的加速度相同 一质量的平板，处在平衡状态.5一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为M已知碰.的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为h，如图所示，让环自由下落，撞击平板为m 后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长 若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒A. 若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒B. h的大小无关C.环撞击板后，板的新的平衡位置与 D.在碰后板和环一起下落的过程中，它们减少的动能等于克服弹簧力所做的功=1.6 已知小车质量Mv=0.4 kg，它以速度=20 m/

29、s水平地滑上一辆静止的平板小车，m如图所示，6木块质量 页13 共 页9 第2006年 第一阶段高考总复习 2，求： g取10 m/skg，木块与小车间的动摩擦因数为=0.2，木块没有滑离小车，地面光滑，（1）木块相对小车静止时小车的速度； （2）从木块滑上小车到木块相对于小车刚静止时，小车移动的距离. A、BAM上固定一根轻质细杆，轻杆上端的小的木块如图所示，质量均为并排放在光滑水平面上，7mCC球的细线拉至水平，L的细线，细线的另一端系一质量为，现将的小球钉（质量不计）O上系一长度为由静止释放，求： A、B、C速度各为多大？（1）两木块刚分离时， （2）两木块分离后，悬挂小球的细线与竖直方

30、向的最大夹角多少？ ?mM，它们一8如图所示，小车的质量为的铁块，铁块与小车之间的动摩擦系数为，后端放一质量为v沿光滑地面向右运动，小车与右侧的墙壁发生碰撞且无能量损失，设小车足够长，则小车被弹回向起以速度左运动多远与铁块停止相对滑动？铁块在小车上相对于小车滑动多远的距离？ 页13 共 页10 第 第一阶段高考总复习 年2006 参考答案：BD 1A 2D 3BD 4AC 5 1）设木块相对小车静止时小车的速度为V，6解:（ （m+M）V根据动量守恒定律有：mv20?4mv0.sV?4m?ms? 6.4?1m?M0 根据动能定理有：（2）对小车,12?0MV?smg? 2224MV?1.6m?

31、16s?m ?10?00.2?.24mg2?B、CA同时达到最大速度，且：7分析：球下摆过程中，在达到最低位置之前，悬线拉力的水平分量使P?P?PCB、CA、球摆过最低位置后，悬线，三者组成一个系统，满足系统机械能守恒和动量守恒；BCAPP?BA、AA速以原速度做匀速直线运动，所以，分离，分离后，拉力使B向右做减速运动，致使ACCA、CA组成的系统动量守恒、此过程度减为零后改为反方向向左运动，当球摆到最高点，、C速度相等时， 机械能守恒。0?EC、CA、B球到达最低点1），三者组成的系统满足动量守恒和机械能守恒，选取最低点解：（PvvC、BA 速度时共同速度为为，规定向左为正方向：，cA1122)12Mv(0?m