直线和圆锥曲线的一些题型

1、直线和圆锥曲线的一些题型解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y，k（斜率）的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：1、 中点坐标公式：xZy迪，其中x, y是点A（x1,y1），B（X2,y2）的中 点坐标。2、弦长公式：若点 A（x.|, y-j），B（x2, y2）在直线 y kx b（k 0） 上, 则y kx1 b, y kx? b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变

2、换技巧之一,AB 応X2)2 x2)2 (kx1 kx2)2J(1 疋)(洛 X2)2(1 k2)(X1 X2)2 4x1X2或者AB.(X1 X2)2 (y1 y2)27X2)2 (y1ky2)2(1 ：2)(y1y2)2(1k，2)(y1y2)2 4y1y2。3、两条直线 l1 : y k1x bj2：y k2x d 垂直：则 k1k2两条直线垂直，则直线所在的向量 V1cf204、韦达定理：若一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0）有两个不同的根X1,X2，则bcx1 x2, x1 x2aa常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线丨:y2 21始终

3、有交点，求 m的取值范围kx 1与椭圆C： x M练习：1、过点P(3,2)和抛物线yx2A . 4 B . 3 C . 2 D . 13x 2只有一个公共点的直线有)条。题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴,用到的知识是：垂直(两直线的斜率之积为-1 )和平分(中点坐标公式)。例题2、过点T(-1,0)作直线丨与曲线N : y2 x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(X,O),使得 ABE是等边三角形，若存在，求出X。；若不存在，请说明理由。2例题3、已知椭圆y2 1的左焦点为F, 0为坐标原点。2(I)求过点 O F,并

4、且与x2相切的圆的方程；(H)设过点 F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段 AB的垂直平分线与 x轴交于点G求点G黄坐标的取值范围。x2练习1 :已知椭圆C :右a(I)求椭圆方程；(n)若直线丨：y kxy31b71(a0)过点X)，且离心率e 2。m(k 0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直1 _平分线过定点G( ,0)，求k的取值范围。84 m练习2、设Fi、F2分别是椭圆 -1的左右焦点.是否存在过点 A(5,0)的直线I与椭54圆交于不同的两点 C、D，使得|F2C| |F2D| ?若存在，求直线I的方程；若不存在，请说 明理由.题型三：动弦过定点的问题例题4

5、、已知椭圆C:2 x -2 a2I?1(abb 0)的离心率为3，且在x轴上的顶点分别为2A1(-2,0),A 2(2,0)。(I)求椭圆的方程;(II)若直线l : xt(t2)与x轴交于点T,点P为直线I上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于 M、N点，试问直线 MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。例题5、( 07山东理)已知椭圆 C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，椭圆C上的点到 焦点距离的最大值为 3;最小值为1;(I)求椭圆C的标准方程；(n)若直线I: y kx m与椭圆C相交于A, B两点(A, B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点。求证：直线

6、I过定点，并求出该定点的坐标。练习：直线丨：y kx m和抛物线 寸 2px相交于A、B，以AB为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线l: y kx m过定点，并求定点的坐标。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题6、已知点A、B、2C是椭圆E:冷a2y1 (a b0）上的三点，其中点A (2.3,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心uur uuu 且 AC gBCuuu0， BC2AC，如图。（I）求点C的坐标及椭圆E的方程;（II）若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线 QC关于直线x求直线PQ的斜率。练习1、已知椭圆C:2 x2 a2I?1(abb 0）的离心率为一3，且在x轴上

7、的顶点分别为2A1(-2,0),A 2(2,0)。（I）求椭圆的方程;（II）若直线l : xt(t2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于 M、N点，试问直线 MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。3练习2、( 2009辽宁卷文、理)已知，椭圆 C以过点A( 1 ,-),两个焦点为(一1, 0) ( 1,20)。(1) 求椭圆C的方程；(2) EF是椭圆C上的两个动点，如果直线 AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。题型五：共线向量问题uuu uuu1于P、Q两点，且DP = l DQ，求实数l22例题7、设

8、过点D(0,3)的直线交曲线 M:94的取值范围。例题8已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y丄x2的4焦点，离心率为 (1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA 1 AF，MB 2 BF，求12的值.2 2练习：1。设椭圆C:笃 1 (a 0)的左、右焦点分别为 Fl、F2, A是椭圆Ca 21上的一点，且AF2 F1F2 0，坐标原点0到直线AFi的距离为|OFi| .3(1) 求椭圆C的方程；(2) 设Q是椭圆C上的一点，过 Q的直线I交x轴于点P( 1 , 0)，较y轴于点M，若MQ 2QP，求直线I的

9、方程.2 22双曲线C与椭圆自冷1有相同的焦点，直线y3x为C的一条渐近线。(I)求双曲线C的方程；(II)过点只0,4)的直线I，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)iuruun uuu8当PQ 1QA 2QB，且12时，求Q点的坐标。3练习3:已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2 4y 的焦点，离心率等于2-55(1)求椭圆C的标准方程;(2)点P为椭圆上一点，弦UUTP的纵坐标不为0),若PF1PA、PB分别过焦点F1、F2, ( PA、PB都不与x轴垂直，其点uuu uiiuuuu1F1 A, PF22 F2B，求 12 的值。题型

10、六：面积问题例题8、(07陕西理)已知椭圆C: 2X22yj61 ( a b 0)的离心率为 ,短轴一个3端点到右焦点的距离为.3。(I)求椭圆C的方程;设直线I与椭圆C交于A、B两点,73坐标原点O到直线I的距离为 ,求厶AOB2面积的最大值。2X2练习1、如图，直线y kx b与椭圆 y 1交于a、B两点，记 ABC的面积为S。4(I)求在k(n)当 AB 2,S1时，求直线AB的方程。练习2、已知椭圆的中心在坐标原点0,焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。(I )求椭圆的方程；(n )直线I过点P(0,2)且与椭圆相交于 A、B两点，当 A0B面积取得最大值时，求直 线I的方程。题型七：弦或弦长为定值问题例题9、在平面直角坐标系 xOy中，过定点C ( 0, p)作直线与抛物线 x2=2py ( p0)相交于A、B两点。(I)若点N是点C关于坐标原点 0的对称点，求 ANB面积的最小值；(n)是否存在垂直于 y轴的直线I，使得I被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出 I的方程；若 不存在