工程电磁场 第六章电磁场的边值问题

1、1 第六章 电磁场的边值问题 2 maxwell 方程 微分形式 积分形式 全电流定律 t J D D S t dsJdlH L D D （1-1） 电磁感应定律 t B E S t dsdlE L B B （1-2） 高斯定律 D VS dvdsD （1-3） 磁通连续性原理 0 B 0 S dsB (1-4) 电流连续性方程 t J VS dv t dsJ （1-5） 一、麦克斯韦方程组 3 1、四个方程的物理意义，电生磁，磁生电，预言电 磁波；积分形式（环量与旋度，通量与散度之间的关 系）、复数形式（可作为稳态场计算）；梯度、散度、 旋度的概念（描述“点”上电磁场的性质）。 2、方程（1

2、-1）、（1-2）、（1-5）是一组独立方程， 其它两个方程可以由此推出。但独立方程有6个变量 （ ），因此，方程数少于未知量，是非 定解方式，必须加本构方程才为定解形式，对于简单媒 质，本构方程为 (1-6) 、JDEHB EDHBEJ 4 3、材料性质 材料是均匀的 const，const ，const 材料是非均匀： zyx,，zyx,，zyx, 材料是各向异性：材料参数用张量形式表示 ， 材料为非线性：材料参数是未知函数的函数 E， B， E dE dJ dH dB dE dD （1-7） 4、直接求解矢量偏微分方程不易：一般矢量方程要转化为标量方程才能求解， 另外，在边界上不易写出场

3、量边界条件，因此，常化为位函数的定解问题（位函 数容易确定边界条件） ，通过位函数与场量的关系 t m A EHABE （1-8） 得到场量。 5 二、定解问题 1、初值问题 只有初始条件，没有边界条件的定解问题。如电路中的过渡过程问题、无界空间电磁 波传播问题等。 2、边值问题 只有边界条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、恒定磁场等问题。 3、混合问题 既有边界条件，又有初始条件的定解问题，又称定解问题。如电气设备中的瞬态电磁 场问题等。 4、解的稳定性问题 如果定解条件的微小变化只引起方程的解在整个定义域中的微小变化，称其解是稳定 的。反之称为不稳定解。 6 三、电磁场中的定

4、解问题 定解问题 = 泛定方程+定解条件（初始条件+边界条件） 下面先介绍各种场的泛定方程，然后介绍各类边界条件。 3.1静态、稳态电磁场中的泛定方程 1、静电场方程、静电场方程 静电场的基本方程 0E , D 泊松方程 三维方程 zzyyxx 若是均匀、各向同性介质，上式为 2 椭圆型方程 静电场方程是椭圆型方程，只有边值问题。 7 2、 稳态电流场问题稳态电流场问题 稳态（直流）电流场满足的基本方程： 0E0J , E 说明在导电媒质中， 电流不会自成闭合回路 （从电源正极出发到电源负极终止） ， 电位满足 拉普拉斯方程 0 椭圆型方程 若是均匀、线性、各向同性介质，上式为 0 2 产生该

5、电流场的源往往需要借助边界条件引入。 2、 稳态磁场稳态磁场 稳态（直流）电流产生的磁场满足的基本方程 HB , B , JH0 3、稳态磁场 8 1） 矢量磁位的泊松方程矢量磁位的泊松方程 根据AB0BJH , , ，有双旋度方程 JA 1 取库伦规范0 A，及矢量恒等式 AAA，得 JA 1 矢量泊松方程 J A1A1A1 zzyyxx 若为线性、均匀媒质 JA 2 若存在铁磁质， 可将其作用等效为磁化电流的作用，它与磁化强度的关系为 m JM 磁矢位 A 的方程可以写为真空中的泊松方程 m JJA 0 2 9 时变场中0 t ， （下面分段没有绝对的分界线） 缓慢变化 ( f 10 KH

6、z ) 快速变化 准静态场 准静态场 电磁波 MQS：00 D t B EBJH , , , EQS： 000 DEB t D JH , , , 0 0 D t B E B t D JH , , MQS 场求解时， 磁场可以用稳态磁场的方法求解， 然后用上述公式求电场； EQS 场求解时，电场可以用静电场的方法求解，然后用上述公式求磁场。 4、交变电磁场中的泛定方程 10 00 D t B EBJH , , , J t A A 1 0 t J t A A 2 0 2 t JAjA 2 0 2 j （1）扩散方程（抛物型方程） 忽略位移电流，MQS场的方程为 由此得到的扩散方程为（对第一式再取旋

7、度） 非线性介质 ， 线性介质 涡流损耗是引起导体发热的主要原因。 若为正弦交变场，扩散方 程为 11 、 波动方程（双曲型方程）波动方程（双曲型方程） 一般不考虑非线性问题，因为如果在铁磁材料中传播电磁波，高频下的涡流 损耗及磁滞损耗很大，电磁波很快衰减，能量不可能传递很远。因此，场量的波 动方程 0 2 2 2 t H t H H 0 2 2 2 t E t E E 取洛伦兹规范 t A，则位函数满足的波动方程 J t A t A A 2 2 2 2 2 2 tt （2）波动方程（双曲型 方程） 12 3.2定解条件 1、初始条件（柯西问题）、初始条件（柯西问题） 在瞬态电磁场中，初始条件

8、是整个系统初始状态的表达式 扩散方程初始条件： 01 0 tzyxftzyxu tt , 波动方程初始条件： 01 0 tzyxftzyxu tt , 02 0 tzyxftzyxu t tt , 如：初始的速度、电流、电压等。 （1）第一类边界条件）第一类边界条件（Dirichlet 狄利赫里条件） t , z , y, xgt , z , y, xu 1 1 强加边界条件 2、边界条件 13 例 1 铁磁体的磁场和电容器的电场（二维） 图 1-1 第一类边界条件 （a）磁场问题； （b）静电问题 在距离磁体足够远的地方，设磁力线平行于边界，因此可以假设0A。在距离 电容器足够远的地方，设等

9、位线平行于边界，可以假设0。关键问题是第一 类边界条件取得多远，才能保证计算精度。 14 例 2 电机的磁场 图 1-2（a） 、 （b） ：需要考虑定子外的漏磁，因此，第一类边界条件取在大于 定子外径 20%之处，磁力线于边界平行，可以设 A=0。 图 1-2（c） 、 （d） ：如果定子深度饱和，漏磁很小，可以忽略，可将第一类边 界条件取在定子外径，减少计算量。 图 1-2（e） 、 （f） ：如果要分析远场，第一类边界条件可以取在大于定子外径 56 倍之处，如图（e）所示。或者用开于边界条件，如 Kelvin-transformation 边界（后面介绍） ，边界可以小一些，如图（f）所

10、示。 (a) (b) 15 (c) (d) (e) (f) 图 1-2 电机的磁场计算（第一类边界条件） 16 电磁场数值计算 当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析 法分析较困难，这时可以采用数值计算（科学计算） 的方法。 1. 电磁问题的划分 场源问题 已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。 直接求积分方程。 V r V r er d 4 )( j J A V r V r er d 4 )( j 17 R R q eE 2 0 4 d d 体电荷的电场 静电场中元电荷产生的电场 SdldVqdd， 12 2 1 1 01k2V 34 k3k4VV 1d ( ) 4 dd N k kk

11、 k k kk qV RR Sl RR E ree ee 矢量的积分( ) d 4 V r V r 18 ( ) d 4 V r V r J A 静磁场中元电流产生的电场 V R erJ B V R d 4 2 0 )( 体电流 S 2 R S R erK Bd 4 0 )( 面电流 边值问题 已知空间介质分布，电极形状、位置和电位， 场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给 定边界条件的电位微分方程的解。 19 静电场的边值问题（Boundary Problem) 边值 问题 场域边界条件 分界面衔 接条件 强制边界条件 有限值 lim 0r 自然边界条件 有限值 r r lim 微分

12、方程 边界 条件 初始 条件 21 nn 2 2 1 1 泊松方程 / 2 拉普拉斯方程0 2 下 页上 页 20 场域边界条件 1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet) 2）第二类边界条件（聂以曼条件 Neumann) 3）第三类边界条件 已知边界上电位及电位法向导数的线性组合 已知边界上的电位)(| 1 sf s )( 2 sf n S )() 3 sf n S （ 21 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法 积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法 计算法 实验法 解析法 数值法 实测法 模拟法 电 磁 问 题 22 1. 镜像法 实质:是以

13、一个或几个等效电荷代替边界的影响， 将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由 空间，从而使计算过程大为简化。 依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须 维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电 场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依 据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像 电荷，而这种方法称为镜像法。 关键：确定镜像电荷的大小及其位 置。 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的 电荷才有可能确定其镜像电荷。 23 镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应 用唯一性定理， 使某些看来难解的边值问题容易地得到解 决。 使用镜像法时要注意以下三点： （1）镜

14、像电荷是虚拟电荷; （2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域; （3）导电体是等位面。 24 （1）点电荷与无限大的导体平 面。 介质 导体 q r P 介质 q r P h h r q 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响， 使整个空间变成均匀的介电常数为 的空间，则空间 任一点 P 的电位由 q 及 q 共同产生，即 r q r q 4 4 考虑到无限大导体平面的电位为零，求得 qq 25 电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极 子的上半部分完全相同。 由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位 面与导体表面吻合。 电场线 等位线 z 26 f q o （2）点电荷与导体

15、球。 P a d r q 若导体球接地，导体球 的电位为零。为了等效导体 球边界的影响，令镜像点电 荷q 位于球心与点电荷 q 的 连线上。那么，球面上任一 点电位为 r q r q 4 4 可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择 镜像电荷为 q r r q 27 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要 求三角形 OPq 与 OqP 相似，则 常数。 由此获知镜像电荷应为 r r f a r r q f a q 镜像电荷离球心的距离d 应 为 f a d 2 这样，根据 q 及 q 即可计算球外空间任一点的电 场强度。 f q O

16、P a d r q 28 2 分离变量法 分离变量法是把一个多变量的函数表示成几个单变量函 数乘积的方法。它首先要求给定边界与一个适当坐标系的坐 标面相合；其次要求在坐标系中，待求偏微分方程的解可表 示为三个函数的乘积，且其中的每个函数仅是一个坐标的函 数。在直角、圆柱、球等坐标系中都可以应用分离变量法。 29 直角坐标系中的平行平面场问题 平行平面场中位函数U(x，y) 在场域内满足拉普拉斯方程 0, 2 2 2 2 2 y U x U yxU 设定分离变量形式的试探解，即令U(x，y) =X(x)Y(y)，代入 方程得 30 2 2 2 2 d d1 d d1 y Y Yx X X 在x和

17、y取任意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现 记该常数为 (称为分离常数) ： 0 d d 2 2 X x X 0 d d 2 2 Y y Y 取不同值时，两个常微分方程得到不同形式的解： =0 时， xAAxX 2010 )(yBByY 2010 )( 时，0 2 n m )sinh()cosh()( 21 xmAxmAxX nnnn )sin()cos()( 21 ymBymByY nnnn 0 2 n m 时， )sin()cos()( 21 xmAxmAxX nnnn )sinh()cosh()( 21 ymBymByY nnnn 31 位函数U的一般解可记作： yBBxAA y

18、mBymBxmAxmA ymBymBxmAxmAyxU nnnn n nnnn nnnn n nnnn 20102010 21 1 21 21 1 21 shchsincos sincosshch, 32 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分离 变量法。 下面通过例子具体说明该方法。 例 求如图所示二维长方形内的电位函数。 解：根据题意，所求区域的电位函数满足 的方程及边界条件为 2 0 00 00,0 0 0, x x a yy b xayb U x a y b 0 U 0 0 0 ? 33 12 sincos xx fxAk xAk x 只与x有关只与y有关

19、在直角坐标系中方程 可写为 2 0 22 22 0 xy （二维问题，与z无关） 分离变量法的前提即假设 待求函数有分离变量形式的解： , x yfx g y 22 22 0 d fxd g y g yfx dxdy 上式两端同除以 g y fx 22 22 11 0 d fxd g y fxdxg ydy 因此该式成立的条件： 2 2 2 2 2 2 1 1 x y d fx k fxdx d g y k g ydy 且 22 0 xy kk x k为实数 y k为虚数 x k为虚数 y k为实数 x k为零 y k为零 x k为实数 x k为虚数 xx kj x k为零 1 fxC xC

20、12 12 sinhcosh xx xx xx fxBxBx fxBeB e 或 34 同样的讨论适用于函数 。为满 足x=0和x=a的边界条件，应选取 g y 12 sincos xx fxAk xAk x 则 12 sinhcosh yy g yByBy 因为 22 2 2 0 0 xy xy yx kk kj k 将边界条件 0 0 00 00 x fg y f 将边界条件 0 0 0 x a f a g y f a 2 0A 1sin 0 1,2,3. x x Ak a n kn a 于是 1sin n fxAx a x n k a 称为边值问题 2 0 00 00,0 0 0, x

21、x a yy b xayb U 的本征值。它的意义是：在上述边界 条件下，分离常数 只有取这些特 定值时，方程才有非零解。其解的函 数形式 称为本征函数。 x k sin n x a 35 对于 12 sinhcosh yy g yByBy 因为 yx n k a 将边界条件 0 0 00 00 y fx g g 2 0B 于是 1sinh n g yBy a 得 11 , sinsinh sinsinh x yfx g y nn ABxy aa nn Cxy aa 由于 故 的一般形式 1,2,3.n , x y 1 ,sinsinh n n nn x yCxy aa 将边界条件 0y b

22、U 0 1 sinsinh n n nn UCxb aa 这实际上是将一已知函数展为傅里叶级 数。利用傅里叶级数的系数公式得 0 0 0 0 24 sinhsin 21 4 sinh21 a n n nnU CbUx dx aaan U C n bn a 原问题的解 0 1 4 ,sinsinh sinh21 n Unn x yxy naa bn a 36 3 有 限 差 分 法 图 3.1 差分网格 3.1 差分表示式 37 二维泊松方程的差分格式 (Difference Form of 2D Poissons Equation) F yx 2 2 2 2 （1） 二维静电场边值问题 基本思

23、想：将场域离散为许多网格 ，应用差分原 理，将求解连续函数 的微分方程问题转换为求解 网格节点上 的代数方程组的问题。 （2）)(Lf L 有限差分的网格分割 38 令 h = x - x0，将 x = x1 和 x3 分别代入式 ( 3 ) )(0)()( ! 1 0 0 00 n n K K K K x xxxx xK （3） 由式（4）+（5） 2 402 2 2 2 )( 0 hy yy （7） 同理, 沿 x方向在 x0 处的泰勒公式展开为 下 页上 页返 回 0 3 3 3 0 2 2 2 003 0 3 3 3 0 2 2 2 001 )( ! 3 1 )( ! 2 1 )( )

24、( ! 3 1 )( ! 2 1 )( x h x h x h x h x h x h （4） （5） 2 301 2 2 2 )( 0 hx xx （6） 39 将式(6)、式(7)代入式(1)，得到 2 04321 4Fh 当场域中0 04 04321 )( 4 1 2 43210 Fh 即 )( 4 1 43210 即 五点差分格式 下 页上 页返 回 40 )( 4 1 43210 上式表明，任一点的电位等于它周围四个点电位的平均值。显然， 当h越小，计算越精确。如果待求N个点的电位，就需解含有N个 方程的线性方程组。若点的数目较多，用迭代法较为方便。 41 矩形网格剖分 若场域离散为

25、矩形网格，差分格式为 F hhhh 0 2 2 2 1 42 2 2 21 2 1 2) 11 ()( 1 )( 1 42 3.2 边界条件离散化（Discrete Boundary Condition) 第二类边界条件 hf hn f 210 01 02 ,)( )2( 4 1 2 4210 Fh 第一类边界条件 分界面衔接条件 对称边界条件 , ) 1 2 1 2 ( 4 1 43210 K K K ba K其中 介质分界面 10 f 对称分界 43 3.3差分方程的数值解法 1. 简单迭代法 图 3.2 节点序号 )( 4 1 1, 11, 1 1 , n ji n ji n ji n ji n ji 44 2. 塞德尔(Seidel)迭代法 通常为节约计算时间，对简单迭代法要进行改进，每当算出 一个节点的高一次的近似值，就立即用它参与其它节点的差分方 程迭代，这种迭代法叫做塞德尔(Seidel)迭代法。塞德尔迭 代法的表达式为 )( 4 1 1 1, 1 , 11, 1 1 , n ji n ji n ji n ji n ji 此式也称为异步迭代法。由于更新值的提前使用，异步迭代法 比简单迭代法收敛速度加快一倍左右，存储量也小。