2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学选修1-2练习：第三章§2数学证明Word版含解析

1、2数学证明课时过关 能力提升1.下面说法正确的有 () 演绎推理是由一般到特殊的推理; 演绎推理是由特殊到一般的推理; 演绎推理的一般模式是三段论形式; 演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个答案 :C2.有一段演绎推理是这样的 :“若一条直线平行于一个平面 ,则该直线平行于平面内所有的直线 .已知直线 b 不在平面 内,直线 a 在平面 内,直线 b平面 ,则直线 b直线a.”此推理的结论显然是错误的,这是因为 ()A. 大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D. 大、小前提都错误解析 :本题的大前提不对 ,一条直线平行于一个平面,该直

2、线并不与平面内所有的直线都平行 .答案 :A3.等和数列的定义 :在一个数列中 ,如果每一项与它后面一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫作等和数列.下列数列不是等和数列的为()A. an= 102,?为奇数 ,B.an= 3,?为偶数2?,?为奇数 ,C.an= 3?,?为偶数sin 2 ?,?为奇数 ,D. ? = ?cos2 ?,?为偶数答案 :C4.“四边形 ABCD 是矩形 ,四边形 ABCD 的对角线相等 .”以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案 :B5.在边长

3、不相等的三角形中,a 为最大边 ,要想得到 A 为钝角的结论 ,三边 a,b,c 应满足的条件是 ()A. a2b2+c2D.a2 b2+c2222解析 :由题意 ,知 cos A= ? +? -? 0,2?所以 b2+c 2-a2b2 +c2.答案 :C6.f(x)是定义在 (0,+ )内的非负可导函数 ,且满足 xf(x)+f (x) 0.对任意正数 a,b,若ab ,则必有 ()A. bf(a)af (b)B.af(b)bf (a)C.af(a)f (b)D.bf(b)f (a)解析 :构造函数 F(x)=xf (x),则 F(x)=xf (x)+f (x).由题设条件 ,知 F(x)=

4、xf (x)在 (0,+ )内是减少的 .若 aF (b),即 af(a)bf (b).又 f(x)是定义在 (0,+ )内的非负可导函数 ,所以 bf(a)af (a)bf (b)af (b).故选 B.答案 :B用演绎推理证明y=x2在 (-,0)内是减少的时 ,大前提是.7.解析 :大前提 :函数递减的定义 ,即在定义域 D 内的区间 I 上 ,若 x1f (x2),则 f(x)在区间 I 上是减少的 .小前提 :y=x2 在 (-,0)内,对于 x1f (x2).结论 :y=x2 在(-,0)内是减少的 .答案 :函数递减的定义8.“平面内到两定点F1,F2 的距离之和为定值的点的轨迹

5、是椭圆(大前提 ).已知平面内动点 M 到两定点 F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为 4(小前提 ),则动点 M 的轨迹是椭圆 (结论 ).”此推理中错误的环节是.解析 :大前提应是到两定点距离之和为定值 (大于 |F1 F2|)的点的轨迹是椭圆 ,概念出错 ,不严密 .答案 :大前提9.如图 ,在锐角三角形 ABC 中,M 为 AB 的中点 ,AD BC,BE AC,D,E 是垂足 .求证 :EM=DM. (要求 :用三段论证明 ,并指出每一步推理的大前提和小前提 .)证明因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形 ,大前提在 ABC 中 ,ADBC,即 ADB= 90 ,小前提所以

6、 ABD 是直角三角形 .结论同理 ,ABE 也是直角三角形 .因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ,大前提M 是 RtABD 斜边 AB 的中点 ,DM 是斜边上的中线 ,小前提所以 DM=12 ?结.论同理 ,EM=12 ?.所以 EM=DM.2? +?10.已知正数数列 an 的前 n 项和 Sn=?, 求证 : 数列 ?是等差数列 .222? +? +?证明 Sn? ?11122 .=, 当n=1 时 ,a = a1 0,a1= 1.22+?当 n2 时,an n n-1? +?=? ?-?-1?-1.=S -S22 (an+a n-1)(an-an-1-1)= 0. an 0,

7、an-an-1= 1. n为等差数列 .a 22请你把不等式 “若?a1 2”推广到一般情形并证明你1 2是正实数 则有 1+2,11.a ,a,?2?1+a的结论 .解 :推广的结论 :若 a1,a2, ,an 都是正实数 ,2222?12n1+2+ ? +?-1+?+ +a.则? a +a?-121证明 :因为 a1,a2,an 都是正实数 ,2222?1?2?n-1?n所以1+ ?2?-1,?2a ,?+ ?- 12a ,?+ ?22a?+ ?12a .?-1212222?故?1 +?2 + ? +?-1+ ? a1+a2+ +an.?-12112.如图 ,正三棱柱 ABC-A1 B1C1 的棱长均为 a,D,E 分别为 C1C,AB 的中点 ,A1B 交 AB1于点 G.求证 :(1)A1BAD;(2)CE平面 AB1D.证明 (1)连接 A1D,DG,BD,因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是棱长均为 a 的正三棱柱 ,所以四边形 A1ABB1 为正方形 ,所以 A1B AB1.因为 D 是 C1C 的中点 ,所以 A1C1DBCD,所以 A1D=BD.因为 G 为 A1B 的中点 ,所以 A1B DG.因为 DGAB1=G ,DG? 平面 AB1D,AB1? 平面 AB1D,所以 A1B平面 AB1D.因为 AD? 平面 AB1D,所以 A1B AD.(2)连接 GE