2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.2正弦定理同步课件新人教A版必修第二册

1、第2课时正 弦 定 理 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.正弦定理正弦定理 (1)(1)正弦定理正弦定理 (2)(2)本质本质: :三角形中三角形中, ,边与其对角的正弦之间的关系边与其对角的正弦之间的关系. . 条条 件件 在在ABCABC中中, ,角角A,B,CA,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c 结结 论论 _= =_=2R(R_= =_=2R(R是是ABCABC外接圆的半径外接圆的半径) ) 文文 字字 叙叙 述述 在一个三角形中在一个三角形中, ,各边和它所对角的各边和它所对角的_的比相等的比相等 a sin A b sin B c sin C 正弦正弦

2、 【思考】【思考】 利用正弦定理可以解决哪些类型的问题利用正弦定理可以解决哪些类型的问题? ? 提示提示: :(1)(1)已知两角和任意一边已知两角和任意一边, ,求其他两边和第三个角求其他两边和第三个角; ; (2)(2)已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角, ,求另一边的对角求另一边的对角, ,从而求出其他的边和角从而求出其他的边和角. . 2.2.正弦定理的变形正弦定理的变形 若若R R为为ABCABC外接圆的半径外接圆的半径, ,则则 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)

3、sin A= ,sin B= ,sin C= ;(2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; (3)sin Asin Bsin C=abc;(3)sin Asin Bsin C=abc; (4) =2R.(4) =2R. (5)S(5)S = absin C= bcsin A= acsin B. = absin C= bcsin A= acsin B. a 2R b 2R c 2R a b c sin A sin B sin C + + + 1 2 1 2 1 2 【思考】【思考】 如何利用正弦定理把三角形的边化为角如何利用正弦定理把三角形的边化为角, ,角化为边角化为边? ? 提示

4、提示: :利用正弦定理的变式利用正弦定理的变式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin Ca=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C实现边化角实现边化角; ;利用利用 公式公式sin A= ,sin B= ,sin C= sin A= ,sin B= ,sin C= 角化边角化边. . a 2R b 2R c 2R 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)正弦定理不适用于直角三角形正弦定理不适用于直角三角形. .( () ) (2)(2)在在ABCABC中中, ,若若sin A=sin B,

5、sin A=sin B,则则A=B.A=B.( () ) (3)(3)在在ABCABC中中, ,若若AB,AB,则则sin Asin B.sin Asin B.( () ) 提示提示: : (1) (1). .正弦定理是适用于任何三角形的正弦定理是适用于任何三角形的. . (2).(2).在在ABCABC中中, ,若若sin A=sin B,sin A=sin B,由正弦定理得由正弦定理得 = ,= ,故故a=b,a=b,则则A=B.A=B. (3).(3).在在ABCABC中中, ,若若AB,AB,则则ab,ab,由正弦定理得由正弦定理得2Rsin A2Rsin B,2Rsin A2Rsin

6、 B,所以所以sin Asin B.sin Asin B. a 2R b 2R 2.2.在在ABCABC中中,a=3,b=5,sin A= ,a=3,b=5,sin A= ,则则sin B=sin B=( () ) A. A. B. B. C. C. D.1D.1 【解析】【解析】选选B.B.因为因为a=3,b=5,sin A= ,a=3,b=5,sin A= ,所以由正弦定理得所以由正弦定理得 1 3 1 5 5 9 5 3 1 3 1 5 bsin A5 3 sin B. a39 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )在在ABCABC中中, ,若若A=60A=60

7、,B=45,B=45,BC=3 ,BC=3 , 则则AC=AC=( () ) A.4 A.4 B.2 B.2 C. C. D. D. 【解析】【解析】选选B.B.由正弦定理得由正弦定理得: : 所以所以 2 333 3 2 3 2 sin 45 AC2 3. sin 60 3 2AC sin 60sin 45 ， 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一已知两角及一边解三角形类型一已知两角及一边解三角形( (数学运算数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020东莞高一检测东莞高一检测) )在在ABCABC中中, ,内角内角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a

8、,b,c,a,b,c,且且 b=2,B=45b=2,B=45,C=120,C=120, ,则边则边c=c=( () ) A. A. B. B. C.2C.2D. D. 2.2.在在ABCABC中中,a=10,B=60,a=10,B=60,cos C= ,cos C= ,则则c c等于等于 ( () ) A.20( +2)A.20( +2)B.20( -2)B.20( -2) C. +2C. +2D.20 D.20 3.3.在在ABCABC中中, ,已知已知c=10,A=45c=10,A=45,C=30,C=30, ,解这个三角形解这个三角形. . 236 3 3 66 66 【解析】【解析】1

9、.1.选选D.D.因为因为b=2,B=45b=2,B=45,C=120,C=120, ,所以由正弦定理所以由正弦定理 可得可得 所以解得所以解得c= .c= . 2.2.选选B.B.由由cos C= cos C= 得得 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin Csin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C 由正弦定理得由正弦定理得 bc , sin Bsin C 2c 23 22 ， 6 3 3 22 36 sin C1 cos C1 () 33 ， 331636 . 23236 6 sin C66 3 ca10102062 . sin

10、 A33636 6 （） 3.3.因为因为A=45A=45,C=30,C=30, ,所以所以B=180B=180-(A+C)=105-(A+C)=105. . 由由 得得 因为因为sin 75sin 75=sin(30=sin(30+45+45) ) =sin 30=sin 30cos 45cos 45+cos 30+cos 30sin 45sin 45= ,= , 所以所以 所以所以a=10 ,b=5 +5 ,B=105a=10 ,b=5 +5 ,B=105. . ac sin Asin C csin Asin 45 a1010 2. sin Csin 30 26 4 csin B10 si

11、nAC26 b205 25 6. sin Csin 304 （） 226 【解题策略】【解题策略】 已知三角形的两角和任一边解三角形的思路已知三角形的两角和任一边解三角形的思路 (1)(1)若所给边是已知角的对边时若所给边是已知角的对边时, ,可由正弦定理求另一角所对的边可由正弦定理求另一角所对的边, ,再由三角形再由三角形 内角和定理求出第三个角内角和定理求出第三个角. . (2)(2)若所给边不是已知角的对边时若所给边不是已知角的对边时, ,先由三角形内角和定理求出第三个角先由三角形内角和定理求出第三个角, ,再由再由 正弦定理求另外两边正弦定理求另外两边. . 【补偿训练】【补偿训练】

12、1.1.在在ABCABC中中, ,已知已知a=8,B=60a=8,B=60,C=75,C=75, ,则则b=b=( () ) 【解析】【解析】选选C.A=180C.A=180-B-C=45-B-C=45, ,由正弦定理由正弦定理 , , 得得 32 A.4 2 B.4 3 C.4 6 D. 3 asin B8 sin 60 b4 6. sin Asin 45 ab sin Asin B 2.2.在在ABCABC中中,A=60,A=60,sin B= ,a=3,sin B= ,a=3,求三角形中其他边与角的大小求三角形中其他边与角的大小. . 【解析】【解析】因为因为sin B= ,sin B=

13、 ,所以所以B=30B=30或或150150, ,当当B=30B=30时时, ,由由A=60A=60得得C=90C=90; ; 当当B=150B=150时时, ,不合题意不合题意, ,舍去舍去. .所以由正弦定理所以由正弦定理 得得 1 2 1 2 bca sin Bsin Csin A ， sin Bsin 30sin Csin 90 ba33ca32 3. sin Asin 60sin Asin 60 ， 类型二已知两边及其中一边的对角解三角形类型二已知两边及其中一边的对角解三角形( (数学运算数学运算) ) 【典例】【典例】1.1.在在ABCABC中中, ,若若a=3,b= ,A= ,a

14、=3,b= ,A= ,则则C C的大小为的大小为 ( () ) A. A. B. B. C. C. D. D. 2.2.在在ABCABC中中, ,已知已知c= ,A=45c= ,A=45,a=2,a=2,解这个三角形解这个三角形. . 【解题导引】【解题导引】1.1.利用正弦定理求出角利用正弦定理求出角B,B,再利用三角形的内角和求角再利用三角形的内角和求角C.C. 2.2.利用正弦定理求出利用正弦定理求出sin Csin C的值的值, ,再解其他元素再解其他元素, ,注意三角形解的个数注意三角形解的个数. . 3 3 6 4 3 2 6 【解析】【解析】1.1.选选D.D.由由正弦定理得正弦

15、定理得: : 所以所以sin B= .sin B= .又又ab,ab,所以所以AB,AB,所以所以B= ,B= , 所以所以 33 sin B sin 3 ， 1 26 C(). 362 2.2.因为因为 所以所以 因为因为0 0C180Cb,ab,所以所以B=45B=45. . 1 2 32 3 2 bsin A2 sin B. a2 1 2 2.2.已知已知a,b,ca,b,c分别是分别是ABCABC的三个内角的三个内角A,B,CA,B,C所对的边所对的边, ,若若A=60A=60,c=6,a=6,c=6,a=6,则此则此 三角形有三角形有( () ) A.A.两解两解B.B.一解一解 C

16、.C.无解无解D.D.无穷多解无穷多解 【解析】【解析】选选B.B.由等边对等角可得由等边对等角可得C=A=60C=A=60, ,由三角形的内角和可得由三角形的内角和可得B=60B=60, ,所以所以 此三角形为正三角形此三角形为正三角形, ,有唯一解有唯一解. . 类型三正弦定理、余弦定理的综合应用类型三正弦定理、余弦定理的综合应用( (数学运算数学运算, ,逻辑推理逻辑推理) ) 角度角度1 1三角形形状的判断三角形形状的判断 【典例】【典例】在在ABCABC中中, ,若若sin A=2sin Bcos C,sin A=2sin Bcos C,且且sin sin 2 2A=sin A=si

17、n 2 2B+sin B+sin 2 2C,C,试判断试判断 ABCABC的形状的形状. . 【思路导引】【思路导引】解决本题的关键是把解决本题的关键是把sin sin 2 2A=sin A=sin 2 2B+sin B+sin 2 2C C转化为三角形三边的转化为三角形三边的 关系关系, ,从而求出角从而求出角A,A,然后再利用然后再利用sin A=2sin Bcos Csin A=2sin Bcos C求解求解. . 【解析】【解析】方法一方法一:(:(利用角的互余关系利用角的互余关系) )根据正弦定理根据正弦定理 及及sinsin2 2A=sin A=sin 2 2B+sin B+sin

18、 2 2C,C,可得可得a a2 2=b=b2 2+c+c2 2, , 所以所以A A是直角是直角,B+C=90,B+C=90, ,所以所以2sin Bcos C2sin Bcos C =2sin Bcos(90=2sin Bcos(90-B)=2sin -B)=2sin 2 2B=sin A=1,B=sin A=1, 所以所以sin B= .sin B= .因为因为0 0B90B90, ,所以所以B=45B=45,C=45,C=45, , 所以所以ABCABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . abc sin Asin Bsin C 2 2 方法二方法二:(:(利用角的互补关系利用角的互

19、补关系) )根据正弦定理根据正弦定理, , 及及sin sin 2 2A=sin A=sin 2 2B+sin B+sin 2 2C,C, 可得可得a a2 2=b=b2 2+c+c2 2, ,所以所以A A是直角是直角. . 因为因为A=180A=180-(B+C),sin A=2sin Bcos C,-(B+C),sin A=2sin Bcos C, 所以所以sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,所以所以sin(B-C)=0.sin(B-C)=0. 又又-9

20、0-90B-C90B-C90, ,所以所以B-C=0,B-C=0,所以所以B=C,B=C, 所以所以ABCABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . abc sin Asin Bsin C 【变式探究】【变式探究】 将本例条件将本例条件“sin A=2sin Bcos C,sin A=2sin Bcos C,且且sin sin 2 2A=sin A=sin 2 2B+sinB+sin2 2C”C”改为改为“a a2 2tan Btan B =b=b2 2tan A”,tan A”,试判断试判断ABCABC的形状的形状. . 【解析解析】在在ABCABC中中, ,由由 可得可得 所以所以 又因

21、为又因为a a2 2tan B=btan B=b2 2tan A,tan A,所以所以 所以所以 所以所以sin Acos A=sin Bcos B,sin Acos A=sin Bcos B, 即即sin 2A=sin 2B,sin 2A=sin 2B,所以所以2A=2B2A=2B或或2A+2B=,2A+2B=, 即即A=BA=B或或A+B= .A+B= . 所以所以ABCABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形. . ab sin Asin B ， asin A bsin B ， 22 22 asin A . bsin B 2 2 atan A , btan B 2 2 ta

22、n Asin A tan Bsin B ， 2 角度角度2 2正弦、余弦定理的综合应用正弦、余弦定理的综合应用 【典例】【典例】1.1.在在ABCABC中中, ,若若a=3 ,cos C= ,Sa=3 ,cos C= ,S ABCABC= , = ,则则b=b=. 2.(20192.(2019全国卷全国卷)ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c.a,b,c. 设设(sin B-sin C)(sin B-sin C)2 2=sin=sin2 2A-sin BsinA-sin Bsin C. C. (1)(1)求求A.A. (2)(2)若若 a+b=2c,a

23、+b=2c,求求sin C.sin C. 【思路导引思路导引】1.1.根据根据cos Ccos C的值的值, ,求出求出sin Csin C的值的值, ,再根据三角形的面积公式再根据三角形的面积公式 求出边求出边b b的值的值; ; 2.(1)2.(1)由正弦定理化角为边由正弦定理化角为边, ,再用余弦定理的推论求角再用余弦定理的推论求角A;A; (2)(2)由正弦定理化边为角由正弦定理化边为角, ,结合结合(1)(1)的结论的结论, ,利用三角恒等变换求利用三角恒等变换求sin C.sin C. 2 1 3 4 3 2 【解析】【解析】1.1.因为因为cos C= ,cos C= ,所以所以

24、C ,C , 所以所以 又又S S ABCABC= absin C = absin C 所以所以b=2 .b=2 . 答案答案: :2 2 1 3 (0,) 2 2 12 2 sin C1 ( ) 33 ， 1 2 12 2 3 2 b4 3 23 ，3 3 2.(1)2.(1)由已知得由已知得sinsin2 2B+sinB+sin2 2C-sinC-sin2 2A=sin Bsin C,A=sin Bsin C, 故由正弦定理得故由正弦定理得b b2 2+c+c2 2-a-a2 2=bc.=bc. 由余弦定理的推论由余弦定理的推论, ,得得cos A= cos A= 因为因为0 0A180A

25、180, ,所以所以A=60A=60. . 222 bca1 . 2bc2 (2)(2)由由(1)(1)知知B=120B=120-C,-C, 由题设及正弦定理得由题设及正弦定理得 sin A+sin(sin A+sin(120120-C-C)=2sin C,)=2sin C, 即即 + cos C+ sin C=2sin C,+ cos C+ sin C=2sin C, 可得可得cos(C+cos(C+6060)=- .)=- . 由于由于0 0C120Csin B,sin Asin B,则有则有( () ) A.abA.abC.abD.a,bD.a,b的大小无法判定的大小无法判定 【解析】【

26、解析】选选C.C.因为因为 所以所以 因为在因为在ABCABC中中,sin A0,sin B0,sin A0,sin B0, 所以所以 所以所以ab.ab. ab sin Asin B ， asin A . bsin B asin A 1 bsin B ， 核心核心 素养素养 易错易错 提醒提醒 方法方法 总结总结 核心核心 知识知识 1.正弦定理 2 推论. 3.利用正弦定理 解三角形. C c B b A a sinsinsin 已知两角及一边解三角形 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另 一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后 由正弦定理求第三边. (2)若所给边不是已

27、知角的对边时，先由三角形内角 和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边. 已知两边及一边的对角解三角形 (1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时，由正弦值可求 锐角即为另一边所对的角 (3)如果已知的角为小边所对的角时，要分类讨论 已知两边和其中 一边所对角解三 角形时可能会出 现无解、一解、 两解的情况. 注意“大边对大 角、大角对大边 ” 1.数学抽象：正弦定 理及其变形、三角形 面积公式. 2.逻辑推理：用正弦 定理及其变形解决相 关问题. 3.数学运算：解三角 形. 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.在在ABCABC中中, ,一定成立的式子是一定成立的式子是( () ) A.asin A=bsin BA.asin A=bsin BB.acos A=bcos BB.acos A=bcos B C.asin B=bsin AC.asin B=bsin