矩阵基本性质

1、矩阵的基本性质矩阵啲第?第 咧的元素为。我们？卜或(/)表？的单位矩阵。1. 矩阵的加减法(1) 二二丄f,对应元素相加减(2) 矩阵加减法满足的运算法则a. 交换律：b. 结合律：(A + k) +P = A+ (B + Oc. |扁二血d. -1;2. 矩阵的数乘(1) ，各元素均乘以常数(2) 矩阵数乘满足的运算法则a. 数对矩阵的分配律：b. 矩阵对数的分配律：|1c. 结合律： W =心-讥d.3. 矩阵的乘法(1) 卜1宀总宁叫能,左行右列对应元素相乘后求和为C的第，行第小列的元素(2) 矩阵乘法满足的运算法则a. 对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有J 1b. 分配律：

2、A W + G =Aff + ACc. 结合律：川r 1 !；d. 数乘结合律：;I打 I .打4. 矩阵的转置 ,八(1) 矩阵的幂：才=aAA，川*1 = -4(/)(2) 矩阵乘法满足的运算法则b. (A +町丁 =刈+刃c. UA)T = A0T)d. (AB)T = XTBT5. 对称矩阵：山厂二即二勺；反对称矩阵:宀-A即 =-引(1)设为(反)对称矩阵，则耳刁仍是(反)对称矩阵。（2）设 I；为对称矩阵，则 二或I门仍是对称矩阵的充要条件 （； = ；（3）设 为（反）对称矩阵，则 ，=也是（反）对称矩阵。（4）对任意矩阵A,则H三式A +巧$三亍（A +才）分别是对称矩阵和反对

3、称矩阵且 沖=H +工（5）-止6. Hermite 矩阵:”晶=A即* 知；反 Hermite 矩阵，力=一川 ipa ajtab. (A+ /c.d. (AB) H = AffBHT Te. ）=Af. （A”）= （A l）（当A矩阵可逆时）7. 正交矩阵：若 ：,则疋園J是正交矩阵（1）:（2）J!- 二 二 1（3）AB, BA En n8. 酉矩阵：若An4 = AAtf = E,则是酉矩阵（1）山化严卜加丨（3）AB, BAeUnXnAI 匕 Jfn x n（4）- 19. 正规矩阵：若、1 V贝A是正规矩阵；若 二I：,贝卜i是实正规矩阵10. 矩阵的迹和行列式（1）川胡“珂产

4、5；内为矩阵A的迹；|创或讥为行列式(7) II- I-(8) |刑=叩|(9) 11-1(10) : |(11) I心叮內(12) E昭如G + HQhJ, g%则盯阿(1 +詢其中厂奇异分解值的特征值11. 矩阵的伴随矩阵(1)设I r .由行列式卜的代数余子式1，所构成的矩阵(2)AAr即12. 矩阵的逆(逆矩阵是唯一的)(1)A的逆矩阵记作 AA =找JA = /；(2) XI 丁 ：；(为非奇矩阵)时，1(3) MF*0且入*0,则M =詞由；丿，得汕入%；(5) 八若|州|A卜百(7)若 是非奇上(下)三角矩阵，则也上(下)三角矩阵 A-k = (Al)k(9) / h E Fm (10) U+AB) = B(I + BA) 1(11) Woodbury恒等式：1 忙门(-I；、 I 厂1 卫 (12) i!：，U lAU = UAU = Mfn#(久/J = A12.对角矩阵，矩阵刈为对称矩阵，Q正交矩阵，则Q AQ = （片为对角矩阵,则A- 1 A - l./f vn 1 FA =A U =热”1严片13.矩阵的导数dt)