九年级数学下册 第26章二次函数 26.3 实际问题与二次函数第1课时习题课件 新人教版

1、26.3 实际问题与二次函数 第1课时 1.1.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系掌握实际问题中变量之间的二次函数关系, ,会运用二次函数会运用二次函数 性质求实际问题中的最大值或最小值性质求实际问题中的最大值或最小值. .（重点）（重点） 2.2.体会二次函数是最优化问题的一类重要数学模型体会二次函数是最优化问题的一类重要数学模型, ,感受数学感受数学 的应用价值的应用价值. .（难点）（难点） 最优化问题最优化问题 某商场将进价某商场将进价4040元元/ /件的商品按件的商品按5050元元/ /件售出时件售出时, ,能卖出能卖出500500件件. . 已知该商品每涨价已知该商品每涨价1

2、1元元, ,销量就减少销量就减少1010件件. .设每件涨价设每件涨价x x元元, ,总利总利 润为润为y y元元, ,则如何涨价则如何涨价, ,能获得最大总利润能获得最大总利润? ?最大总利润是多少最大总利润是多少? ? 【思考思考】 (1)(1)每件商品所获利润为每件商品所获利润为_元元, ,销售量为销售量为_件件. . (2)(2)如何用含如何用含x x的关系式表示总利润的关系式表示总利润? ? 提示提示: :总利润总利润y=(50+x-40)(500-10 x)y=(50+x-40)(500-10 x)元元, ,即即y=-10 xy=-10 x2 2+400 x+5000.+400 x

3、+5000. (50+x-40)(50+x-40)(500-10 x)(500-10 x) （3 3）由（）由（2 2）中所得关系式，你能根据二次函数顶点的坐标公）中所得关系式，你能根据二次函数顶点的坐标公 式求出每件涨价多少元时，能获得最大总利润，最大总利润是式求出每件涨价多少元时，能获得最大总利润，最大总利润是 多少吗？多少吗？ 提示：提示： a=-10a=-100 0，该二次函数有最大值该二次函数有最大值. . 每件涨价每件涨价2020元时，有最大总利润，最大总利润为元时，有最大总利润，最大总利润为9 0009 000元元. . b400 20, 2a210 2 2 4105 00040

4、04acb 9 000 4a410 【总结总结】抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的顶点是最低（高）点，的顶点是最低（高）点， 当当x=x=_时，二次函数时，二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c有最小（大）值有最小（大）值 _._. b 2a 2 4acb 4a ( (打打“”或或“”) ) (1)(1)求实际问题的最大或最小值求实际问题的最大或最小值, ,都是利用二次函数的顶点坐都是利用二次函数的顶点坐 标求得标求得. .( )( ) (2)(2)函数函数y=2xy=2x2 2+3x+3x有最大值有最大值. .( )( ) (3)(3)用长度一定的绳子围成几

5、何图形时用长度一定的绳子围成几何图形时, ,形状为圆时面积最大形状为圆时面积最大. . ( )( ) 知识点知识点 1 1 商品利润最优化问题商品利润最优化问题 【例例1 1】(2013(2013南充中考南充中考) )某商场购进一种每件价格为某商场购进一种每件价格为100100元的元的 新商品新商品, ,在商场试销发现在商场试销发现: :销售单价销售单价x(x(元元/ /件件) )与每天销售量与每天销售量y(y(件件) ) 之间满足如图所示的关系之间满足如图所示的关系: : (1)(1)求出求出y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式. . (2)(2)写出每天的利润写出每天的利润W

6、W与销售单价与销售单价x x之间的函数关系式之间的函数关系式; ;若你是商若你是商 场负责人场负责人, ,会将售价定为多少会将售价定为多少, ,来保证每天获得的利润最大来保证每天获得的利润最大, ,最最 大利润是多少大利润是多少? ? 【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据图象可知根据图象可知y y是是x x的一次函数及两个点的坐的一次函数及两个点的坐 标标, ,先设出一次函数的一般式先设出一次函数的一般式, ,再代入两点的坐标再代入两点的坐标, ,得到一个方得到一个方 程组程组, ,再解方程组再解方程组, ,然后代入一次函数一般式即可然后代入一次函数一般式即可. . (2)(2)根据每天的利润

7、根据每天的利润= =单件利润单件利润每天销售量每天销售量, ,再将再将(1)(1)的的y y代入代入 可得出可得出W W与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式; ;然后将二次函数化为顶点式即然后将二次函数化为顶点式即 可求出最大值可求出最大值. . 【自主解答自主解答】(1)(1)设设y y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为 y=kx+b(k0).y=kx+b(k0). 由所给函数图象得由所给函数图象得 解得解得 y y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y=-x+180.y=-x+180. 130kb50, 150kb30 ， k1, b180. (2)W=(x-1

8、00)y=(x-100)(-x+180)(2)W=(x-100)y=(x-100)(-x+180) =-x=-x2 2+280 x-18000+280 x-18000 =-(x-140)=-(x-140)2 2+1600.+1600. 当当x=140 x=140时时,W,W最大 最大=1600. =1600. 售价定为售价定为140140元元/ /件时件时, ,每天获得利润最大每天获得利润最大, ,最大利润是最大利润是 16001600元元. . 【总结提升总结提升】实际问题中利用二次函数求最值的四点注意实际问题中利用二次函数求最值的四点注意 1.1.要把实际问题正确地转化为二次函数问题要把实

9、际问题正确地转化为二次函数问题. . 2.2.列函数关系式时要注意自变量的取值范围列函数关系式时要注意自变量的取值范围. . 3.3.若图象不含顶点若图象不含顶点, ,应根据函数的增减性来确定最值应根据函数的增减性来确定最值. . 4.4.有时根据顶点求出的最值不一定是函数在实际问题中的最值有时根据顶点求出的最值不一定是函数在实际问题中的最值, , 实际问题中的最值应在自变量的取值范围内求取实际问题中的最值应在自变量的取值范围内求取. . 知识点知识点 2 2 面积的最优化问题面积的最优化问题 【例例2 2】(2012(2012哈尔滨中考哈尔滨中考) )小磊制作一个三角形的钢架模型小磊制作一个

10、三角形的钢架模型, , 在这个三角形中在这个三角形中, ,长度为长度为x(x(单位单位:cm):cm)的边与这条边上的高之和的边与这条边上的高之和 为为40cm,40cm,这个三角形的面积这个三角形的面积S(S(单位单位:cm:cm2 2) )随随x(x(单位单位:cm):cm)的变化而的变化而 变化变化. . (1)(1)请直接写出请直接写出S S与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式( (不要求写出自变量不要求写出自变量x x的的 取值范围取值范围).). (2)(2)当当x x是多少时是多少时, ,这个三角形面积这个三角形面积S S最大最大? ?最大面积是多少最大面积是多少? ? (

11、 (参考公式参考公式: :当当x=- x=- 时时, ,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)有最小有最小( (大大) ) 值值 ) ) b 2a 2 4acb 4a 【思路点拨思路点拨】根据三角形的面积公式及三角形的边及边上的根据三角形的面积公式及三角形的边及边上的 高之间的关系高之间的关系, ,列出函数关系式列出函数关系式, ,依据二次函数的性质依据二次函数的性质, ,利用参利用参 考公式求最值考公式求最值. . 【自主解答自主解答】 (1)S= x(40-x)=- x(1)S= x(40-x)=- x2 2+20 x.+20 x. (2)a=- 0,S

12、(2)a=- 0,S有最大值有最大值, , x=- =- =20,x=- =- =20, SS的最大值为的最大值为 = =200,= =200, 即当即当x x为为20cm20cm时时, ,三角形面积最大三角形面积最大, ,最大面积是最大面积是200cm200cm2 2. . 1 2 1 2 1 2 b 2a 20 1 2 () 2 2 4acb 4a 2 1 4 () 020 2 1 4 () 2 【总结提升总结提升】应用二次函数解决面积最大问题的步骤应用二次函数解决面积最大问题的步骤 1.1.分析题中的变量与常量分析题中的变量与常量. . 2.2.找出等量关系找出等量关系, ,根据几何图形

13、的面积公式建立函数模型根据几何图形的面积公式建立函数模型. . 3.3.结合函数图象及性质结合函数图象及性质, ,考虑实际问题中自变量的取值范围考虑实际问题中自变量的取值范围, ,求求 出面积的最大或最小值出面积的最大或最小值. . 题组一题组一: :商品利润最优化问题商品利润最优化问题 1.1.出售某种手工艺品出售某种手工艺品, ,若每个获利若每个获利x x元元, ,一天可售出一天可售出(8-x)(8-x)个个, ,则则 当当x=x=元时元时, ,一天出售该种手工艺品的总利润一天出售该种手工艺品的总利润y y最大最大. . 【解析解析】由题意得由题意得y=x(8-x)=-xy=x(8-x)=

14、-x2 2+8x.+8x. 当当x=- =- =4x=- =- =4时时,y,y最大最大. . 答案答案: :4 4 b 2a 8 21 2.2.为丰富城市菜篮子为丰富城市菜篮子, ,市郊某村一年中修建了一些蔬菜大棚市郊某村一年中修建了一些蔬菜大棚. .平平 均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27 00027 000 元元, ,此外还要购置喷灌设备此外还要购置喷灌设备, ,这项费用这项费用( (元元) )与大棚面积与大棚面积( (公顷公顷) )的的 平方成正比平方成正比, ,比例系数为比例系数为9 000.9 000.每公顷大棚的年

15、平均经济收益为每公顷大棚的年平均经济收益为 75 00075 000元元, ,若要使菜农的收益达到最大若要使菜农的收益达到最大, ,应修建应修建公顷大棚公顷大棚. . 【解析解析】设大棚面积为设大棚面积为x,x,喷灌设备的费用为喷灌设备的费用为9 000 x9 000 x2 2, ,菜农所获菜农所获 得的收益为得的收益为y y元元, ,根据题意得根据题意得: : y=75 000 x-27 000 x-9 000 xy=75 000 x-27 000 x-9 000 x2 2 =-9 000 +64 000,=-9 000 +64 000, 所以当修建所以当修建 公顷大棚时公顷大棚时, ,菜农

16、的收益最大菜农的收益最大. . 答案答案: : 2 24 (x) 9 24 9 24 9 3.(20133.(2013孝感中考孝感中考) )在在“母亲节母亲节”前夕前夕, ,我市某校学生积极参我市某校学生积极参 与与“关爱贫困母亲关爱贫困母亲”的活动的活动, ,他们购进一批单价为他们购进一批单价为2020元的元的“孝孝 文化衫文化衫”在课余时间进行义卖在课余时间进行义卖, ,并将所得利润捐给贫困母亲并将所得利润捐给贫困母亲. .经经 试验发现试验发现, ,若每件按若每件按2424元的价格销售时元的价格销售时, ,每天能卖出每天能卖出3636件件; ;若每若每 件按件按2929元的价格销售时元的

17、价格销售时, ,每天能卖出每天能卖出2121件件. .假定每天销售件数假定每天销售件数 y(y(件件) )与销售价格与销售价格x(x(元元/ /件件) )满足一个以满足一个以x x为自变量的一次函数为自变量的一次函数. . (1)(1)求求y y与与x x满足的函数关系式满足的函数关系式( (不要求写出不要求写出x x的取值范围的取值范围).). (2)(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下在不积压且不考虑其他因素的情况下, ,销售价格定为多少元销售价格定为多少元 时时, ,才能使每天获得的利润才能使每天获得的利润P P最大最大? ? 【解析解析】(1)(1)设设y y与与x x满足的函数关系

18、式为满足的函数关系式为y=kx+b(k0).y=kx+b(k0). 由题意可得由题意可得 解得解得 y y与与x x的函数关系式为的函数关系式为y=-3x+108.y=-3x+108. (2)(2)每天获得的利润为每天获得的利润为 P=(-3x+108)(x-20)=-3xP=(-3x+108)(x-20)=-3x2 2+168x-2160=-3(x-28)+168x-2160=-3(x-28)2 2+192.+192. 当销售价格定为当销售价格定为2828元时元时, ,每天获得的利润最大每天获得的利润最大. . 3624kb 2129kb, ， k3 b108. ， 4.(20134.(20

19、13青岛中考青岛中考) )某商场要经营一种新上市的文具某商场要经营一种新上市的文具, ,进价为进价为 2020元元/ /件件. .试营销阶段发现试营销阶段发现: :当销售单价为当销售单价为2525元元/ /件时件时, ,每天的销每天的销 售量是售量是250250件件; ;销售单价每上涨销售单价每上涨1 1元元, ,每天的销售量就减少每天的销售量就减少1010件件. . (1)(1)写出商场销售这种文具写出商场销售这种文具, ,每天所得的销售利润每天所得的销售利润w(w(元元) )与销售与销售 单价单价x(x(元元) )之间的函数关系式之间的函数关系式. . (2)(2)求销售单价为多少元时求销

20、售单价为多少元时, ,该文具每天的销售利润最大该文具每天的销售利润最大? ? (3)(3)商场的营销部结合上述情况商场的营销部结合上述情况, ,提出了提出了A,BA,B两种营销方案两种营销方案: : 方案方案A:A:该文具的销售单价高于进价且不超过该文具的销售单价高于进价且不超过3030元元; ; 方案方案B:B:每天销售量不少于每天销售量不少于1010件件, ,且每件文具的利润至少为且每件文具的利润至少为2525元元. . 请比较哪种方案的最大利润更高请比较哪种方案的最大利润更高, ,并说明理由并说明理由. . 【解析解析】(1)w=(x-20)250-10(x-25)=-10(x-20)(

21、x-50)(1)w=(x-20)250-10(x-25)=-10(x-20)(x-50) =-10 x=-10 x2 2+700 x-10000.+700 x-10000. (2)w=-10 x(2)w=-10 x2 2+700 x-10000=-10(x-35)+700 x-10000=-10(x-35)2 2+2250,+2250, 当当x=35x=35时时,w,w取到最大值取到最大值2250,2250, 即销售单价为即销售单价为3535元时元时, ,每天销售利润最大每天销售利润最大, ,最大利润为最大利润为22502250元元. . (3)w=-10(x-35)(3)w=-10(x-35

22、)2 2+2250,+2250, 函数图象是以函数图象是以x=35x=35为对称轴且开口向下的抛物线为对称轴且开口向下的抛物线. . 对于方案对于方案A,A,需需20 x30,20 x30,此时图象在对称轴左侧此时图象在对称轴左侧( (如图如图),), w w随随x x的增大而增大的增大而增大, , x=30 x=30时时,w,w取到最大值取到最大值2000.2000. 当采用方案当采用方案A A时时, ,销售单价为销售单价为3030元元 可获得最大利润为可获得最大利润为20002000元元. . 对于方案对于方案B,B,则有则有 解得解得45x49,45x49, 此时图象位于对称轴右侧此时图

23、象位于对称轴右侧( (如图如图),), ww随随x x的增大而减小的增大而减小, , 故当故当x=45x=45时时,w,w取到最大值取到最大值1250,1250, 当采用方案当采用方案B B时时, ,销售单价为销售单价为4545元可获得最大利润为元可获得最大利润为12501250元元. . 两者比较两者比较, ,还是方案还是方案A A的最大利润更高的最大利润更高. . 250 10 x2510 x2025 ， ， 题组二题组二: :面积的最优化问题面积的最优化问题 1.1.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,AC=4cm,BC=6cm,AC=4cm,BC=6cm,

24、动点动点P P从点从点C C沿沿CA,CA,以以1cm/s1cm/s的速度向点的速度向点A A运动运动, ,同时同时 动点动点Q Q从点从点C C沿沿CB,CB,以以2cm/s2cm/s的速度向点的速度向点B B运动运动, ,其中其中 一个动点到达终点时一个动点到达终点时, ,另一个动点也停止运动另一个动点也停止运动, ,则运动过程中所则运动过程中所 构成的构成的CPQCPQ的面积的面积y(cmy(cm2 2) )与运动时间与运动时间x(s)x(s)之间的函数图象大致之间的函数图象大致 是是( () ) 【解析解析】选选C.SC.S CPQCPQ= CP = CPCQ = xCQ = x2x=

25、x2x=x2 2, ,即即y=xy=x2 2(0 x3).(0 x3). 1 2 1 2 2.2.手工课上手工课上, ,小明准备做一个形状是菱形的风筝小明准备做一个形状是菱形的风筝, ,这个菱形的两这个菱形的两 条对角线长度之和恰好为条对角线长度之和恰好为60cm,60cm,菱形的面积菱形的面积S(S(单位单位:cm:cm2 2) )随其中随其中 一条对角线的长一条对角线的长x(x(单位单位:cm):cm)的变化而变化的变化而变化. . (1)(1)请直接写出请直接写出S S与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式( (不要求写出自变量不要求写出自变量x x的的 取值范围取值范围).). (

26、2)(2)当当x x是多少时是多少时, ,菱形风筝的面积菱形风筝的面积S S最大最大? ?最大面积是多少最大面积是多少? ? （参考公式（参考公式: :当当x=- x=- 时时, ,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)有最小有最小( (大大) ) 值值 ） b 2a 2 4acb 4a 【解析解析】(1)S= (1)S= x(60-x)=- xx(60-x)=- x2 2+30 x.+30 x. (2)S=- x(2)S=- x2 2+30 x,a=- 0,+30 x,a=- 0, SS有最大值有最大值. . x=- =- =30.x=- =- =30. S S的最大值为的最大值为 = =450.= =450. 当当x x为为30cm30cm时时, ,菱形风筝的面积最大菱形风筝的面积最大, ,最大面积是最大面积是450cm450cm2 2. . 1 2 1 2