直线与圆知识点总结

1、直线和圆知识点总结1、 直线的倾斜角：(1 )定义：在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线l ,如果把X轴绕着交点按逆时针方向转到和直线I重合时所转的最小正角记为，那么就叫 做直线的倾斜角。当直线I与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；(2)倾斜角的范围0,二。 如(1)直线xcosT +J3y 2 = 0的倾斜角的范围是 (答: 0，U竺，兀)；(2)6 6过点P(_J3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围口可工，空,那么m值的范围是33(答：m乞一2或m _4)2、 直线的斜率：(1)定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k = tan( :丰90 )

2、;倾斜角为90的直线没有斜率；(2)斜率公式：经过y 1 y 2 工两点P(x1,yJ、P2(x2,y2)的直线的斜率为 k= 一 (x X2 )； (3)直线的方向向量Xx - B2y C2 =0的位置关系：（1）平行=A,B2 - A3 =0 （斜率）且 BQ2 -B2G = 0 （在y轴上截距）；（2）相交二 A,B2 - A3 =0 ；（3）重合= A B A? B, = 0 且 BQ2 B?Ci = 0。提醒：（1） 二邑。c!、4=旦、二旦二C!仅是两直线平行、相交、重A2 B2 C2 A2 B2 A2 B2 C2合的充分不必要条件！为什么？（ 2）在解析几何中，研究两条直线的位置

3、关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线li : A,x B,y C0 与直线 l2 : A2x B2y C2 =0垂直= AA2 耳 B2 =0。如（1）设 直线 I, : x + my +6 =0和 l2: （m 2）x + 3y +2m =0，当 m =时 h / |2 ；当 m =时li丄丨2 ；当 m时li与2相交； 当 m = 时li与2 重合（答： 一11； _ ； m3且m式1; 3）； （2）已知直线|的方程为3x+4y12 = 0 ,则与l平行，且 2过点（一1, 3）的直线方程是 （答：3x+4y9 = 0） ； （3）

4、两条直线ax+y4 = 0与x-y2=0相交于第一象限，则实数 a的取值范围是 （答：-1vac2 ）； （4）设a, b, c分别是 ABC 中/ A、/ B、/ C所对边的边长，则直线sin AUx ay c = 0与bx -sin BUy sinC=0的位置关系是 （答：垂直）；（5）已知点（x1,y1）是直线l : f （x, y） = 0上一点,F2（x2, y2）是直线 l 外一点，则方程 f （x, y f （x1, y-i） f （x2, y2）= 0所表示的直线与l的关系是 （答：平行）；（6）直线l过点（1,0），且被两平行直线3x y -6 =0和3x y *3=0所截得

5、的线段长为 9，则直线I的方程是 （答：4x 3y -4 = 0和x = 1 ）7、 到角和夹角公式：（1） li到l2的角是指直线li绕着交点按逆时针方向转到和直线l2重k k合所转的角二，才 0,二且tan X 1 （k1k -1） ； （2） l1与l2的夹角是指不大于直1 +k1k2kn - ki角的角 二二（0,且tan丨1 I （k1k -1）。提醒：解析几何中角的问题常用到21 +k1k2角公式或向量知识求解。如已知点M是直线2x-y-4=0与x轴的交点，把直线I绕点M逆时针方向旋转45，得到的直线方程是 （答：3xy-6=0）8、 对称（中心对称和轴对称）问题一一代入法：如（1

6、）已知点M（a,b）与点N关于x轴对称，点F与点N关于y轴对称，点Q与点F关于直线X y =0对称，则点Q的坐标 为 （答：（b,a） ）； （2）已知直线li与J的夹角平分线为y = x，若li的方程为ax+by+c =0（ab 0），那么 J 的方程是 （答：bx + ay + c = 0） ； （3）点人（4，5 ）关于直线l的对称点为E （ 2,7），则|的方程是 （答：y=3x+3 ）； （4）已知一束光线通过点A （3，5），经直线l :3x 4y+4=0反射。如果反射光线通过点E （2, 15），则反射光线所在直线的方程是 （答：18x + y-51 = 0 ）； （5）已知 A

7、BC顶点A（3，1 ），AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y 59=0，/ B的平分线所在的方程为x 4y+10=0,求EC边所在的直线方程 (答：2x + 9y65 = 0 ); (6)直线2x y 4=0上有一点P,它与两定点A( 4, 1 )、B( 3,4)的距离之差最大，则P的坐标是 (答：(5,6 )；( 7)已知 Ax 轴，Bwl:y=x , C (2, 1), L ABC 周长的最小值为 _ (答：J10)。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9、简单的线性规划：(1) 二元一次不等式表示的平面区域：法一：先把二元一次不等式改写成 y . kx b 或

8、y ： kx b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；无等号时用虚线表示不包含直线I，有等号时用实线表示包含直线I ；设点P(xyj , Q(x2, y2)，若 Ax! By! C 与 Ax2 By2 C 同号，则 P, Q 在直线 l 的同侧， 异号则在直线I的异侧。如已知点A ( 2, 4), B (4, 2),且直线I : y = kx 2与线段AB 恒相交，则k的取值范围是 (答：(一叱，一3】U H ,+珀)(2) 线性规划问题中的有关概念： 满足关于x, y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。 关于变量x, y的解析式叫目标函数，关于变

9、量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数； 求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题； 满足线性约束条件的解(x, y )叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域； 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；(3) 求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际问题的约束条件列出不等式；作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如(1)线性目标函数z=2x y在线性约束条件下，取最小值的最优解是 (答: ( 1, 1)； ( 2)y 1一 2点(2, t )在直线2x 3y+6=0的上方，则t的取值范围是 (答：t )； ( 3)3不等式|x-1

10、|+|y-1匡2表示的平面区域的面积是 (答：8)； (4)如果实数x,yx-y +2 兰0满足 fx + y4K0，则 z=|x+2y4|的最大值 (答：21)2x _y _5 兰0(4) 在求解线性规划问题时要注意：将目标函数改成斜截式方程；寻找最优解时 注意作图规范。10、圆的方程：22o圆的标准方程：(x a) +(yb) =r。圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F =0(D2+ E24F 0),特别提醒：只有当2222DED + E 4F 0时，方程x y Dx Ey F =0才表示圆心为(，)，半径为2 21 . D2 E2 -4F的圆(二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 D

11、x Ey0表示圆的充要2条件是什么？( A=C=0,且 B=0 且 D2，E2-4AF 0 )；圆的参数方程：= a rCs (二为参数)，其中圆心为(a,b)，半径为r。圆的参y = b +r si n 廿数方程的主要应用是三角换元：x2 y2 =r2 x = rcosy = rsin71 ； x2，y2 _tx = r cos 二 y = r sin (0 空 r - -1)。Ax1,y1,Bx?,y2为直径端点的圆方程x-%x-XzUy-%y-y2= 0如(1 )圆C与圆(x1)2+y2 =1关于直线y = x对称，则圆C的方程为(答： x? +(y+1)2 =1)； (2)圆心在直线2

12、x y = 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是(答：(x3)2 +(y 3)2 =9 或(x1)2 +(y+1)2 =1)；( 3)已知 P(1,73)是圆x=rcos?(日为参数，o乞日：2冗)上的点，则圆的普通方程为 ，P点对应的y 二 r sin 二日值为,过P点的圆的切线方程是 (答：x2 +y2=4 ；;3X J3y+4=O)； (4)如果直线I将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么 I的 斜率的取值范围是 (答：O, 2); (5)方程x2+y2-x+y+k=O表示一个圆，则实数 k的 取值范围为 (答：kc* )； (6)若M =(x,y) 二3Sn (

13、日为参数，0 r ； (2)点M在圆C内吕2 2 2 2CM r = (x()-a ) +(y0 _b ) r ； (3)点 M 在圆 C上= CM = r = (x0 - a)2+(y。b ) =r。如点P(5a+1,12 a)在圆(x 1 ) + y =1的内部，则a的取值范围是 (答:22o12、直线与圆的位置关系:直线 I: Ax By C =0 和圆 C: x a I 亠 i y brr 0有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：厶相交；：0二 相离；总=：0二 相切；)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)

14、：设圆心到直线的距离为d，则d : r 相交；d r 相离；d = r 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几I IQQJ何方法较简捷。女(1)圆 2x2y =1 与直线 xsiny-1=0( R, ； k二，k ：二 z)的位置关系为 (答：相离)；(2)若直线ax+by 3 = 0与圆x2 + y2 + 4x 1 = 0切于点 P(1,2),则 ab 的值(答: 2)； (3)直线 x+2y =0 被曲线 x2 + y2 6x 2y 15 = 0所截得的弦长等于 (答: 4J5 )； (4) 一束光线从点 A( 1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是

15、 (答：4 )； ( 5)已知M ( a, b)( a捕 0是圆2 2 2 2O : x y = r内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线I : ax by二r，则A . m/l，且I与圆相交 B . I - m，且I与圆相交C. m/l，且I与圆相离2 2D . I - m，且I与圆相离(答： C) ； (6)已知圆 C : x (y -1) -5，直线 L :mx-y，1-m=0。求证：对R，直线L与圆C总有两个不同的交点；设 L与圆C交于A、B两点，若 AB| = J17，求L的倾斜角；求直线 L中，截圆所得的弦最长及AA最短时的直线方程(答：60或120最长：y=1，最短：x =

16、1)13、圆与圆的位置关系 (用两圆的圆心距与半径之间的关系判断)：已知两圆的圆心分别为。1,。2，半径分别为1,血，则(1 )当0012rr时，两圆外离；(2)当OO 2 ly r r 时，两圆外切；(3)当* -r2v|QO2 ! ：:r 2时，两圆相交；(4)当|OQ2二H -2|时，两x2 y2圆内切；(5)当0纠OQ2罔A -血|时，两圆内含。如双曲线二 2=1的左焦点为F1,a b顶点为A. A2, P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PR、A1A2为直径的两圆位置关系为(答：内切)14、圆的切线与弦长：. 2 2 2 - 2 .切线：过圆x y R上一点P(x,y)圆的切线方程

17、 是：xxo yyR，过圆(xa)2 (y -b)2 =R2上一点P(x0, y0)圆的切线方程是：2(x-a)(xo-a) (y-a)( y-a) = R ，一般地，如何求圆的切线方程？(抓住圆心到直线的距离等于半径)：从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求；过两切点的直线(即“切点 弦”)方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦 就是过两切点的直线方程；切线长：过圆x2y2DxEyF=0(xa)2(y-b)2二R2 )夕卜一点 P(x,y)所引圆的切线的长为 xo2 -y。2Dxo-EyoF ( ., (x - a)2(y-b)2 -R2 );如设 A 为圆(x-1)2y2=1 上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1,贝U