流体力学课件第四章 流体动力学基础

1、第四章 流体动力学基础 4.1 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 4.2 4.2 元流伯努利方程（重点）元流伯努利方程（重点） 4.3 4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）恒定总流的伯努利方程（重点） 4.4 4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）非恒定总流的伯努利方程（了解） 4-5 4-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 4-6 4-6 无粘性流体的无旋流动无粘性流体的无旋流动 内容简介 阐述研究流体动力学问题的阐述研究流体动力学问题的基本方法基本方法， 建立流体动力学建立流体动力学基本方程基本方程。 流体动力学基本方程，是将经典力学的流体动力学基本方

2、程，是将经典力学的 普遍原理应用于流体，得到的普遍原理应用于流体，得到的支配流体支配流体 运动的方程式运动的方程式，是分析和求解流体运动，是分析和求解流体运动 最基本的理论工具。最基本的理论工具。 教学的目的和要求 了解了解从动量守恒原理导出的纳维从动量守恒原理导出的纳维斯托克斯斯托克斯 方程及其各项的物理意义。方程及其各项的物理意义。 了解理想流体运动的欧拉方程及欧拉方程的了解理想流体运动的欧拉方程及欧拉方程的 边界条件。边界条件。 了解了解定常流动的欧拉方程积分定常流动的欧拉方程积分伯努利定伯努利定 理的物理意义；掌握伯努利定理的应用实例；了理的物理意义；掌握伯努利定理的应用实例；了 解不

3、定常流动的欧拉方程积分解不定常流动的欧拉方程积分拉格朗日拉格朗日柯柯 西积分。西积分。 了了解解定常流动的动量定律及动量矩定律。定常流动的动量定律及动量矩定律。 第四章 流体动力学基础 4.1 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 4.2 4.2 元流伯努利方程（重点）元流伯努利方程（重点） 4.3 4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）恒定总流的伯努利方程（重点） 4.4 4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）非恒定总流的伯努利方程（了解） 4-5 4-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 4-6 4-6 无粘性流体的无旋流动无粘性流体的无旋流动 AA dApd

4、dAd t d dt d m dt d nfnuu u Fu Fu )( )( )( 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 质点动量定理质点动量定理 质点系动量定理质点系动量定理 以上是积分形式的动量方程以上是积分形式的动量方程, 定常条件下有定常条件下有： AA dApddAnfnuu )( 1 1、理想、理想( (无粘性无粘性) )流体欧拉运动方程：流体欧拉运动方程： O y z x b dy dz dx ca 2 dx x p p 2 dx x p p p(x,y) uu t u pf )( 1 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 b dy dz dx ca 2 dx

5、x p p 2 dx x p p p(x,y) xx adxdydzdxdydzfdydz dx x p pdydz dx x p p)() 2 () 2 ( x方向: x p fa xx 1 同理: z p fa y p fa zz yy 1 1 1、理想流体欧拉运动方程：、理想流体欧拉运动方程： x y z O 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 b dy dz dx ca 2 dx x p p 2 dx x p p p 将欧拉方程表示为分量的形式将欧拉方程表示为分量的形式 y p f z u u y u u x u u t u y y z y y y x y 1 矢量形式：矢量

6、形式： x p f z u u y u u x u u t u x x z x y x x x 1 z p f z u u y u u x u u t u z z z z y z x z 1 1、理想流体欧拉运动方程：、理想流体欧拉运动方程： uu t u pf )( 1 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 pfrruaa rruaaa pf dt ud a r ra 1 )2 )2 1 ( ( 0 0 理想流体运动微分方理想流体运动微分方 程（欧拉运动微分方程（欧拉运动微分方 程程,1755） 1、理想流体欧拉运动方程、理想流体欧拉运动方程： 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微

7、分方程 (1). 粘性流体的动压强粘性流体的动压强 理想流体的动压强理想流体的动压强 ),(tzyxppppp nzzyyxx 粘性流体的动压强粘性流体的动压强 nzzyyxx pppp ),(3/)(tzyxppppp zzyyxx (2). 应力与变形速度（应变率）的关系应力与变形速度（应变率）的关系 2、粘性流体运动微分方程：、粘性流体运动微分方程： upfuu t u 2 1 )( 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 (2). 应力与变形速度（应变率）的关系应力与变形速度（应变率）的关系 x u pp x xx 2 x u y u y x yxxy 本构方 程 2、粘性流体运

8、动微分方程：、粘性流体运动微分方程： (3) 粘性流体运动微分方程粘性流体运动微分方程 推导方法类似无粘性流体远动微分方程的推导。 y u pp y yy 2 z u y u y z zyyz z u pp z zz 2 z u x u xz xzzx 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 (2). 应力与变形速度（应变率）的关系应力与变形速度（应变率）的关系 x u pp x xx 2 x u y u y x yxxy 本构方 程 2、粘性流体运动微分方程：、粘性流体运动微分方程： (3) 粘性流体运动微分方程粘性流体运动微分方程 推导方法类似无粘性流体远动微分方程的推导。推导方法类

9、似无粘性流体远动微分方程的推导。 xx x z x y x x x u x p f z u u y u u x u u t u 2 1 upfuu t u 2 1 )( N-S方程 (1845) 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 2、粘性流体运动微分方程、粘性流体运动微分方程： upfuu t u 2 1 )( N-S方程 (1845) 0)u( t 连续性 方程 流体力学的基本方程组，加上边界条件和初始流体力学的基本方程组，加上边界条件和初始 条件，理论上可以求解。条件，理论上可以求解。 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 例题例题4.1(P70) 已知无粘性流体速度场

10、为： 为常数，、，baubxuayu zyx 0, 质量力忽略不计，试求等压面方程。 u)u( t u p f 1 解：解： 展开 abx x u u x p x y 1 aby x u u y p y x 1 + 2 22 C yx abp Cyx 22 )dd(d 1 yyxxabp 积分 等压面 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 例题：4.2 试证明不可压缩流体均匀管流中： （1）任一点平行流动方向与垂直流动方向的法向应力相等，都 等于该点的动压强 p； （2）过流断面上，动压强与静压强的分布规律相同。 x y z 恒定均匀管流 证：选坐标系。 0 zx uu 0 z u y

11、 u x u z y x 连续性方程 0 y uy 0 z u x u zx x u pp x xx 2 pppp zzyyxx （1）得证。 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 例题：4.2 试证明不可压缩流体均匀管流中： （2）过流断面上，动压强与静压强的分布规律相同。 x y z 恒定均匀管流 证：选坐标系。 0 zx uu gfff zyx , 0 upfuu t u 2 1 )( 0 x p 0 1 z p g )(xcgzp 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 例题：4.2 试证明不可压缩流体均匀管流中： （2）过流断面上，动压强与静压强的分布规律相同。 x y

12、 z 恒定均匀管流 证：选坐标系。 0 1 z p g )(xcgzp 0 x p 0)( xc cgzp cxc)( （2）得证。 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 第四章 流体动力学基础 4.1 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 4.2 4.2 元流伯努利方程（重点）元流伯努利方程（重点） 4.3 4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）恒定总流的伯努利方程（重点） 4.4 4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）非恒定总流的伯努利方程（了解） 4-5 4-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 4-6 4-6 无粘性流体的无旋流动无粘性流体的无旋流

13、动 伯努利方程是能量守恒定律在工程流体力学伯努利方程是能量守恒定律在工程流体力学 中的数学表达式，它形式简单，意义明确，中的数学表达式，它形式简单，意义明确， 在工程流体力学中有着广泛的应用。在工程流体力学中有着广泛的应用。 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 2 2 2 2 1 1 2 1 22 z g p g v z g p g v 2 2 2 2 1 1 2 1 22 gz pv gz pv 一一 、理想流体恒定元流的伯努利方程、理想流体恒定元流的伯努利方程 (1)理想理想 (3)质量力有势质量力有势 (2)恒定恒定 0 t u t u t u z y x y p f z u u

14、y u u x u u t u y y z y y y x y 1 x p f z u u y u u x u u t u x x z x y x x x 1 z p f z u u y u u x u u t u z z z z y z x z 1 ),(ddddzyxUzfyfxf zyx z zyxU f y zyxU f x zyxU f zyx ),( , ),( , ),( 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 (4)不可压缩流体不可压缩流体(Const) p ddpdz z p dy y p dx x p 1 )( 1 (5)沿流线沿流线 ux=dx/dt uy=dy/dt

15、uz=dz/dt 2 2 2 2 2 2 zz yy x xxx xx u ddz dt du u ddy dt du u dduudtu dt du dx dt du 一一 、理想流体恒定元流的伯努利方程（续）、理想流体恒定元流的伯努利方程（续） 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 (a) (b) ( c) (a)dx+(b)dy+( c)dz 0) 2 ()() 2 ( 2 222 U pv d p ddU uuu d zyx 积分得积分得 1 2 2 CU pv 五个条件: 理想；定常； 不可压；质量力有势；沿流线 y p f z u u y u u x u u t u y y z

16、 y y y x y 1 x p f z u u y u u x u u t u x x z x y x x x 1 z p f z u u y u u x u u t u z z z z y z x z 1 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 1 2 2 CU pv 五个条件: 理想；定常； 不可压；质量力有势；沿流线 二、重力场中理想流体的伯努利方程二、重力场中理想流体的伯努利方程 gzU 1 2 2 Cgz pv 1 2 2 CU pv 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 二、重力场中理想流体的伯努利方程二、重力场中理想流体的伯努利方程 Cz g p g v 2 2 2 2

17、2 2 1 1 2 1 22 z g p g v z g p g v 1938年瑞士物 理学家伯努利 首先提出。 同一根流线上。该方 程就是元流的伯努利 方程。注意适用条件。 gzU 1 2 2 Cgz pv Bemoulli,D. （17001782）根据 能量原理给出了类似 的公式，为纪念他。 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 单位重量流体的动能单位重量流体的动能+压力势能压力势能+高度势能高度势能-总机械能守恒总机械能守恒 速度水头速度水头 压强水头压强水头 位置水头位置水头-总水头沿流线相等。总水头沿流线相等。 2 2 2 2 1 1 2 1 22 z g p g v z g

18、p g v 物理意义和几何意义：物理意义和几何意义： 1 z 2 z 1 p g v 2 2 2 2 p H a b c 1 2 b c a 测压管水头 总水头 g v 2 2 1 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 r S u g 沿流线沿流线S伯努利积分（不讲）伯努利积分（不讲） s u u t u a s p fa sss 1 理想理想 定常定常 s p f s u u s 1 重力场重力场 不可压不可压 )( p ss z g s u u C g u g p z up gz s 2 0) 2 ( 22 s z ggf s cos 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 例 已知

19、无穷远 v=1.2m/s , p=0; 求: 驻点驻点处的压强ps V p s 解: s ss z p g V z p g V 22 22 m073. 0 8 . 92 2 . 1 22 222 g V g p g V g p ss 故 ps= 0.073 m水柱 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 例题： )()( g p z g p zh A A B Bu 计算计算A点的流速。点的流速。 （B点称为滞点称为滞 点或驻点点或驻点 u h AB 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 解：解：应用理想流体恒定元流的伯应用理想流体恒定元流的伯 努利方程于努利方程于A、B两点，有：两点，有

20、： 0 2 2 g p z g u g p z B B A A u ghcu2 考虑到实际流体粘性的作用引起水头损失和测速管对流动考虑到实际流体粘性的作用引起水头损失和测速管对流动 的影响，对上式进行修正。的影响，对上式进行修正。 u ghu2 C 称皮托管因数，与皮托管构造有 关，由实验确定，数值接近1。 u h )()( g p z g p zh A A B Bu AB 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 由于实际流体具有粘性，在流动过程中流层间内摩擦力作功，将有由于实际流体具有粘性，在流动过程中流层间内摩擦力作功，将有 一部分机械能不可逆地转化为热能而耗散，因此实际流体流动的机械能

21、一部分机械能不可逆地转化为热能而耗散，因此实际流体流动的机械能 将沿程减少。将沿程减少。 w h g u g p z g u g p z 22 2 22 2 2 11 1 三、实际流体恒定元流的伯努利积分三、实际流体恒定元流的伯努利积分 实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水头的沿实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水头的沿 程变化可用几何曲线表示。程变化可用几何曲线表示。 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 实际恒定元流的伯实际恒定元流的伯 努利方程各项及总努利方程各项及总 水头、测压管水头水头、测压管水头 的沿程变化可用几的沿程变化可用几 何曲线表示。何曲线表示。 g

22、 u g p z 2 2 总水头线总是沿程下降的。总水头线总是沿程下降的。 下降的快慢可用水力坡度下降的快慢可用水力坡度 J 表示。表示。 ) 2 ( d d d d 2 g u g p z ss h J w 1 z 2 z 1 p g u 2 2 2 2 p H a b c 1 2 b c a 测压管水头线 总水头线 u h g u 2 2 1 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 g p z 测压管水头线。该线沿程测压管水头线。该线沿程 可升、可降，也可不变。可升、可降，也可不变。 其变化情况可用测压管水其变化情况可用测压管水 头坡度头坡度Jp 表示。表示。 )( d d g p z

23、s J p Notes: 不管是J还是Jp，均以相 应水头沿程降低为正。 1 z 2 z 1 p g u 2 2 2 2 p H a b c 1 2 b c a 测压管水头线 总水头线 u h g u 2 2 1 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 第四章 流体动力学基础 4.1 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 4.2 4.2 元流伯努利方程（重点）元流伯努利方程（重点） 4.3 4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）恒定总流的伯努利方程（重点） 4.4 4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）非恒定总流的伯努利方程（了解） 4-5 4-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程

24、和动量矩方程及其应用 4-6 4-6 无粘性流体的无旋流动无粘性流体的无旋流动 1、压强沿流线法向的变化、压强沿流线法向的变化（总流之前讲）（总流之前讲） 2、总流的伯努利方程、总流的伯努利方程 3、伯努利方程应用举例、伯努利方程应用举例 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 w h g v g p z g v g p z 22 2 222 2 2 111 1 恒定总流的伯努利方程 r S u g 一、一、 压强沿流线法向的变化压强沿流线法向的变化 )( cos 2 p gz rr u r z ggfr 当曲率半径很大时当曲率半径很大时, 上式左边可忽略不计上式左边可忽略不计, 故

25、沿流线的法向有：故沿流线的法向有： 1 C g p z 缓变流与急变流概念缓变流与急变流概念 r u a r p fa rrr 2 1 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 w h g u g p z g u g p z 22 2 22 2 2 11 1 实际流体恒定元流的伯努利积分实际流体恒定元流的伯努利积分 实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水 头的沿程变化可用几何曲线表示。头的沿程变化可用几何曲线表示。 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 实际恒定元流的伯努利方程各项及总水头、测压管水头的沿程实际恒定元流的

26、伯努利方程各项及总水头、测压管水头的沿程 变化可用几何曲线表示。变化可用几何曲线表示。 g u g p z 2 2 总水头线总是沿程下总水头线总是沿程下 降的。降的。 下降的快慢可用水力下降的快慢可用水力 坡度坡度 J 表示。表示。 ) 2 ( d d d d 2 g u g p z ss h J w 1 z 2 z 1 p g u 2 2 2 2 p H a b c 1 2 b c a 测压管水头线 总水头线 u h g u 2 2 1 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 g p z 测压管水头线。该线沿测压管水头线。该线沿 程可升、可降，也可不程可升、可降，也可不 变。变。

27、其变化情况可用测压管其变化情况可用测压管 水头坡度水头坡度Jp 表示。表示。 )( d d g p z s J p Notes: 不管是J还是Jp，均以相 应水头沿程降低为正。 1 z 2 z 1 p g u 2 2 2 2 p H a b c 1 2 b c a 测压管水头线 总水头线 u h g u 2 2 1 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 通过过流断面将元流积分通过过流断面将元流积分 dQghvdAgz g p g v vdAgz g p g v w 2 2 2 2 1 1 2 1 ) 2 () 2 ( 考虑恒定渐变流考虑恒定渐变流 (缓变流缓变流) dz p P+d

28、P G dA dl 0 y x A Q g p zgvdAg g p z)()( 二、实际流体恒定总流的伯努利方程：二、实际流体恒定总流的伯努利方程： A vdAg g p z )( Const g p z （1） 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 AA AA dA v u Ag v QgdA v u A vA g vg dA v u g vg udAg g u 3 2 3 2 3 32 )( 1 2 )()( 2 )( 22 令 称称 为动能修正系为动能修正系 数数, 一般为一般为1。 A A A dA v u A Ag g v gdA g u 3 3 3 )( 1 d 2

29、2 Qg g v udAg g u A 22 22 （2） 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 w h g v g p z g v g p z 22 2 222 2 2 111 1 g v g p zH 2 2 w hHH 21 A ww QghvdAgh （3） 总流单位质量流体由1-1至2- 2断面的平均机械能损失， 称为总流的水头损失。 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 w w hHH g v g p zH h g v g p z g v g p z 21 2 2 222 2 2 111 1 2 22 实际流体恒定总流实际流体恒定总流 的伯努利方程的伯努利方

30、程 hw为单位重量流体在两过流断面间的平均机械能损失，通常称为总总 流的水头损失。流的水头损失。 实际流体恒定总流的伯努利方程，其物理意义和几何意义与元流的 伯努利方程类似。 恒定总流的伯努利方程的应用条件：恒定总流的伯努利方程的应用条件： （1）流体是不可压缩的； （2）质量力为重力； （3）过流断面取在渐变流区段上，但两过流断面之间可以是急变流。 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 0 0 1 2 z1 hw 1 2 z2 z p1 p2 1v12 2g 2v22 2g 测压管水头线测压管水头线 总水头线总水头线 p v 2 2g 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利

31、方程 v2 1 2 1 2 水面测压管水头线水面测压管水头线 v1 1v12 2g 2v22 2g z1 z2 hw 总水头线总水头线 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 1 1 s 2 2 3 3 4 4 5 5 i pi/ v0 hwi H0 总水头线总水头线 测压管水头线测压管水头线 v02 2g H 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 水力坡度水力坡度 总水头线沿流程的降低值与流程之比，为总水头线沿流程的降低值与流程之比，为水力坡度水力坡度 当总水头线为直线时，其可表示为当总水头线为直线时，其可表示为: L h L HH J w 21 当总水头线为曲线时，其

32、可表示为当总水头线为曲线时，其可表示为 L H J d d 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 22 333111 131 3 22 333222 2323 22 22 w w pvpv zzh gg pvpv zzh gg 水流汇流水流汇流 1 Q 2 Q Q 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 水流分流水流分流 31 2 333 3 2 111 1 21 2 222 2 2 111 1 22 22 w w h g v p z g v p z h g v p z g v p z 1 Q 2 Q Q 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 （4）两过流断面

33、之间除了水头损失以外，总流没有能量的）两过流断面之间除了水头损失以外，总流没有能量的 输入或输出。当总流之间通过水泵、风机或水轮机等流体机械时，输入或输出。当总流之间通过水泵、风机或水轮机等流体机械时， 流体额外获得或失去了能量，则总流的伯努利方程修正为：流体额外获得或失去了能量，则总流的伯努利方程修正为： w h g V g p zH g V g p z 22 2 222 2 2 111 1 式中：式中：H表示单位重量流体流过水泵、风机所获得的能量；表示单位重量流体流过水泵、风机所获得的能量； H表示单位重量流体流经水轮机所失去的能量表示单位重量流体流经水轮机所失去的能量。 4.3 恒定总流

34、的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 1 1 2 2 水泵水泵 抽水管路系统中设置的抽水抽水管路系统中设置的抽水 机，是通过水泵叶片转动向机，是通过水泵叶片转动向 水流输入能量。水流输入能量。 吸水吸水 管管 压水压水 管管 吸水池吸水池 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 v 1 1 2 2 发电机发电机 水轮机水轮机 尾水渠尾水渠 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 当为输入能量时，当为输入能量时，H 前符号为前符号为“”，如，如 水泵，水泵， H计算公式为计算公式为 Q N H PP t 式中，式中，NP 为马达功率为马达功率 P为马达和抽水机总机械效率为马达和抽

35、水机总机械效率 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 当为输出能量时，式中取当为输出能量时，式中取H 前符号为前符号为“”，例如，例如 水轮机，水轮机， H 计算公式为计算公式为 Q N H gg t 式中，式中，Ng 为发电机出力；为发电机出力； g为水轮机与发电机的总效率为水轮机与发电机的总效率 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 应用恒定总流的伯努利方程的解题的几点补充：应用恒定总流的伯努利方程的解题的几点补充： （1）基准面可以人取，但必须是水平面，且对两过流断面必须）基准面可以人取，但必须是水平面，且对两过流断面必须 取同一基准面，通常取同一基准面，通常z=

36、0； （2）选取渐变过流断面是运用伯努利方程的关键。通常管流取）选取渐变过流断面是运用伯努利方程的关键。通常管流取 在过流断面形心（管中心）处，明渠取自由面上。在过流断面形心（管中心）处，明渠取自由面上。 （3）过流断面取在渐变流区段上，但两过流断面之间可以是急）过流断面取在渐变流区段上，但两过流断面之间可以是急 变流。变流。 上述三点归纳为：上述三点归纳为：选取基准面、选取过流断面和选取计算点。选取基准面、选取过流断面和选取计算点。 但这三个但这三个“选取选取”应综合考虑，以计算方便为前提。应综合考虑，以计算方便为前提。 （4）方程中的流体压强一律取绝对压强，但对于液面或两过流）方程中的流体

37、压强一律取绝对压强，但对于液面或两过流 断面高程差甚小的气流，也可以取相对压强（为什么？）。断面高程差甚小的气流，也可以取相对压强（为什么？）。 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 三、总流能量方程的应用三、总流能量方程的应用 应用条件应用条件: (1)恒定(定常) (2)不可压流体 (3)重力场 (4)所选过流断面流动均匀或渐变流 (5)无其它能量的输入或输出 (6)总流量沿程不变 若存在能量的输入或输出 则有 w hHHH 0201 获得输入（或失去）给单位重量流体的机械能。 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 四、伯努利方程应用四、伯努利方程应用 1、小孔定常

38、出流 2、毕托管测速原理 3、文丘里流量计 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 例 已知无穷远 v=1.2m/s , p=0， 求:驻点处的压强ps 解: s ss z p g v z p g v 22 22 m073. 0 8 . 92 2 . 1 22 222 g v g p g v g p ss 故 ps= 0.073 m水柱 V p s 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 Q1 Q2 Q3 分叉情况: 321 310301 210201 QQQ hHH hHH w w 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 例 ：已知: d=200mm H=4.5

39、m Q=100 (l/s) ， 求: 水流的总水头损失 解: H 2 2 11 选1-1与2-2两个断面间的流动 ) 2 ( 2 2 222 2 2 111 1 g v g p z g v g p zhw 将 H=z1-z2和 p1=p2=0 及 v1=0 2=1.0 则有： m97.353.05 .4 031.08 .92 1 .0 5 .4 22 2 2 2 22 2 w w h gA Q H g v Hh 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 分析：分析：v1相对于相对于v2可以忽略不可以忽略不 计。计。p1和和p2 均等于当地大气压，均等于当地大气压， 其相对压强为零。其相

40、对压强为零。 w h g v H 2 00000 2 22 m/s592. 1 2 A Q v m63. 3 2 2 22 w h g v H 0 . 1 2 1 1 2 2 H 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 例例 3-6 已知已知: zc=9.5m zB=6m 不计损失，不计损失， 求求: c 点压能和动能。点压能和动能。 8m 0 0 3.5m 1.5m 2 B c A 2 V2 11 解解: 1-1与与2-2两截面两截面 间流动间流动, 由伯努利方由伯努利方 程有：程有： g v g v g v g p zH c 2 m2 2 m8 2 22 2 2 22 21 列列

41、1-1与与c断面间能量方程有断面间能量方程有 m5 . 325 . 98 2 2 2 01 2 01 g v zH g p g v g p zH c c c ccc c 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 w h p g v z p g v z 2 2 2 2 1 2 1 1 22 s Hzvpz 2111 ; 0; 0; 0 ws a v h g v H pp h 2 2 22 m0 . 6 v h s H 11 2 2 Q 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 解：解：分别选取渠底抬高处前后两渐变流过流断面分别选取渠底抬高处前后两渐变流过流断面11和和22，计算点

42、，计算点 均取在自由面上（相对压强为零），基准面均取在自由面上（相对压强为零），基准面00取与抬高前渠底冲合，取与抬高前渠底冲合， 则据则据11和和22过流断面列恒定总流的伯努利方程：过流断面列恒定总流的伯努利方程： g v g v hh g v h t 2 5 . 0 2 0)( 2 0 2 22 2 22 2 2 11 1 连续性方程：连续性方程： 0 . 1 21 2211 bhvbhvQ /sm m/s 3 89. 5 606. 1 )/(2/3 )(2 2 12 21 2 Q hh hhhg v t 1 1 2 2 0 0 t h 1 h2 hQ 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流

43、的伯努利方程 伯努利方程的应用：伯努利方程的应用： 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 g vpp h 2 00 2 00 ghv2 0, 1011 vpphz vvppz 2022 ,0 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 ghvv2 实际 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 e ghQ2 实际 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 为了测量管中的流速或流量，可以在管道中串联一段收放管，称为为了测量管中的流速或流量，可以在管道中串联一段收放管，称为 文德利管文德利管，如图所示。，如图所示。

44、 截面截面处的面积为处的面积为A A1 1，直径为。，直径为。 收缩截面收缩截面处的面积为处的面积为A A2 2，直径为。，直径为。 和和处的压力差可从测压管读出来，即为已知量处的压力差可从测压管读出来，即为已知量。 由光滑的收缩段、喉道和扩散端三部分组成。由光滑的收缩段、喉道和扩散端三部分组成。 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 2 2 v g vp g vp 22 2 22 2 11 1)( 2 4 2 121 d D g vpp 44 2 2 2 2 1 12211 d v d vAvAv 连续方程连续方程: : 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 1)(

45、2 4 21 1 d D pp gv 2121 4 111 1)/( 2pp k pp dD g vQ 1)/( 2 4 1 dD g k 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 hpp）（ 水汞 21 hkQ h kQ ）（ 水汞 h pp 21 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 P81例题：4-6 1 d 2 d h h 0 0 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 00 2 0 2 BA p g vp AB pp gv 2 点 0 A vAv B 点 0 B vB0 伯努利方程： 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 AB pp gv 2

46、 hhhhpp AB )( ghv2 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 ghv2 此时： 0, BA vvv 管管在处感受到动压，在处感受到动压， 而管而管在处感受到总压，在处感受到总压， 仍适用。仍适用。 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 AB pp gv 2 hpp AB1 总压力与动压力之差。总压力与动压力之差。 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 实例五实例五 虹吸管虹吸管 下图为连接两个水箱的一段虹吸管下图为连接两个水箱的一段虹吸管 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 g vHpp H 2 00 2 200 1 m/s94.

47、 58 . 18 . 92)(2 21 HHgv 管径管径150，13.3，21.5，z6.8，设不计能量，设不计能量 损失，求虹吸管中通过的流量及管道最高点处的真空值。损失，求虹吸管中通过的流量及管道最高点处的真空值。 解：取解：取OO为基准面，列断面为基准面，列断面OO和的伯氏方程和的伯氏方程 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 水的流量为：水的流量为： L/s5 .10/sm105. 094. 515. 0 44 322 vdQ 列截面和列截面和的伯氏方程，可求得虹吸管顶点处的真空的伯氏方程，可求得虹吸管顶点处的真空 度。度。 g vp z p H x 2 0 2 0 1

48、故真空度水柱高为：故真空度水柱高为： m3 . 58 . 13 . 38 . 6 2 2 1 0 g v Hz pp x 真空度为：真空度为： 24 0 N/m102 . 53 . 59800 x pp 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 第四章 流体动力学基础 4.1 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 4.2 4.2 元流伯努利方程（重点）元流伯努利方程（重点） 4.3 4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）恒定总流的伯努利方程（重点） 4.4 4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）非恒定总流的伯努利方程（了解） 4-5 4-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和

49、动量矩方程及其应用 4-6 4-6 无粘性流体的无旋流动无粘性流体的无旋流动 一一. 容器旁管非定常出流容器旁管非定常出流 0) 2 ( 2 up gz st u 由0-0到1-1点积分有 p0 h x l 00 1 1 1 022 d 2 00 0 2 1 1 s s up gz up gzs t u 4.4 非定常流动的伯努利方程非定常流动的伯努利方程* 一一. 容器旁管非定常出流容器旁管非定常出流 由0-0到1-1点积分有 1 022 2 00 0 2 1 1 s s up gz up gzds t u tu t lu gh du ut u ghl dt du 00 2 2 d 1 2

50、00 2 积分得) 2 2 tanh(2t l gh ghu p0 h x l 00 1 1 4.4 非定常流动的伯努利方程非定常流动的伯努利方程* U形管中液体的振荡形管中液体的振荡 l up gz up gzds t u 0 2 00 0 2 11 1 22 x x 1 0 dt dx ugxl dt du )sin(sin l g txx x dt xd )sin(sin )sin( 0 0 2 2 2 4.4 非定常流动的伯努利方程非定常流动的伯努利方程* 第四章 流体动力学基础 4.1 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 4.2 4.2 元流伯努利方程（重点）元流伯努利方程

51、（重点） 4.3 4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）恒定总流的伯努利方程（重点） 4.4 4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）非恒定总流的伯努利方程（了解） 4-5 4-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 4-6 4-6 无粘性流体的无旋流动无粘性流体的无旋流动 动量修正系数动量修正系数 动量定理动量定理 动量矩定理动量矩定理 求解步骤求解步骤 应用举例应用举例 3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 系统：系统：所研究的流体质点的集合（流体质点系）。所研究的流体质点的集合（流体质点系）。 控制体：控制体：相对于某一坐标系不动的某一体积。

52、相对于某一坐标系不动的某一体积。 动量定理：动量定理：对于某一流体质点系统，其动量随时间的变化对于某一流体质点系统，其动量随时间的变化 率等于作用于该流体质点系统的外力矢量之和。率等于作用于该流体质点系统的外力矢量之和。 Fdu t mu tt K d d d d d d d i FvvQ dt Kd )( 1122 3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 t QuQu t 22 11 0 dd lim dt Kd 定常定常条件条件下下: 动量定理：动量定理： Fu t mu tt K d d d d d d d d 应用一维管流情况：应用一维管流情况： t 时刻：时

53、刻：1-1与与2-2所围成的流体质点系所围成的流体质点系 统统 tt时刻：时刻：1-1与与2-2所围成的流体质点系统所围成的流体质点系统 1 12 2 1 1 2 2 3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 t dQudQu dt Kd t 22 11 0 lim 定常条件下定常条件下: 动量定理：动量定理： Fdu dt d dmu dt d dt Kd 21 AA dQudQu dt Kd 1 12 2 1 1 2 2 3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 定常条件下定常条件下: 动量定理：动量定理： Fdu dt d dmu dt d

54、 dt Kd u A uu A evQdA v u A vQedAe v u A Av udAudQu 22 2 )( 1 ()( dA v u A evv AvQ A u 2 )( 1 )( 1122 vvQ dt Kd 称为动量 修正系数。 21 AA dQudQu dt Kd 3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 三维情况下三维情况下, 向各坐标轴方向投影向各坐标轴方向投影, 有：有： )( )( )( 1122 1122 1122 zzz yyy xxx vvQF vvQF vvQF 求解步骤求解步骤: (1) 建立坐标系建立坐标系, 标出控制体。标出控制体

55、。 (2) 分析控制体所受到的力。分析控制体所受到的力。 (3) 分析动量的变化分析动量的变化 (流出减流进流出减流进, 速度投影有正负速度投影有正负)。 (4) 注意作用力是谁施予谁注意作用力是谁施予谁(可利用牛顿第三定律可利用牛顿第三定律)。 i FvvQ dt Kd )( 1122 3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 AA n AnprfrAuurddd)( AA AnpfAnuuddd)( 动量矩定理动量矩定理 A Anrprruafr urQurQ dd)(2( )()( 0 inout 非惯性坐标系中的动量矩方程为：非惯性坐标系中的动量矩方程为： Fr

56、urQurQ inout )()( 3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 例例 已知矩形平板闸下出流已知矩形平板闸下出流, B=6m, H=5m, hc=1m, Q=30m3/s 不计水头损失。求不计水头损失。求:水流对闸门推力。水流对闸门推力。 m/s5 16 30 m/s1 56 30 0 c c Bh Q V BH Q V 解解: 利用连续性方程利用连续性方程,有有 设闸门对水流作用力为 R , 则X方向的动量方程为： )( 2 1 2 1 )( )( 0 22 00 00 VVQBghBgHR VVQPPR PRPVVQ cc cc cc hc P0 Pc

57、H R 0 0 x c c z 0 3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 代入数据代入数据, 得得 kN6 .58512000029400735000 ) 15(301000)6165(10008 . 9 2 1 22 R R 水流对闸门的作用力水流对闸门的作用力, 利用牛顿第三定律利用牛顿第三定律, 有有 kN6.585RR 方向向右。方向向右。 )( 2 1 2 1 )( )( 0 22 00 00 VVQBghBgHR VVQPPR PRPVVQ cc cc cc hc P0 Pc H R 0 0 x c c z 0 3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方

58、程和动量矩方程及其应用 例： p1=98kpa V1=4m/s d1=200mm d2=100mm a=450 不计水头损失 求: 水流作用于弯管上的力 Ry x P1 0 2 P2 y a V2 V1 2 1 1 Rx 解: 设管壁对水流的作用 力为Rx Ry 由连续性方程 , 有 /sm126.02.0 4 4 m/s164 44 32 11 122 2 21 2 1 AVQ VVVdVd 列1-2伯努利方程 kPa95.21 m24.2 8 .92 16 8 .92 4 10008 .9 98000 22 2 22 2 2 22 2 11 p g p g V g p g V g p 3-

59、5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 列列X方向动量方程方向动量方程 aPPVaVQR RaPPVaVQ x x cos)cos( cos)cos( 2112 211122 列列Y方向动量方程方向动量方程 aPaQVR RaPaVQ y y sinsin sin)0sin( 22 222 代入有关数据得 Rx=-2.328 kN Ry=1.303 kN 利用牛顿第三定律, 可得到水流对管壁的作用力, 并可求得合力及 合力与X方向的夹角 Ry x P1 0 2 P2 y a V2 V1 2 1 1 Rx 3-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 第

60、四章 流体动力学基础 4.1 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 4.2 4.2 元流伯努利方程（重点）元流伯努利方程（重点） 4.3 4.3 恒定总流的伯努利方程（重点）恒定总流的伯努利方程（重点） 4.4 4.4 非恒定总流的伯努利方程（了解）非恒定总流的伯努利方程（了解） 4-5 4-5 动量方程和动量矩方程及其应用动量方程和动量矩方程及其应用 4-6 4-6 无粘性流体的无旋流动无粘性流体的无旋流动 无旋流动条件：无旋流动条件： 1. 无粘性流体无旋流动的伯努利方程无粘性流体无旋流动的伯努利方程 伯努利方程：伯努利方程： y u x u y x x u z u z y z u