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文档简介

1、高考资源网() 您身边的高考专家第73炼 求参数的取值范围一、基础知识: 求参数的取值范围宏观上有两种思路:一个是通过解不等式求解,一个是利用函数,通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式:通过题目条件建立关于参数的不等式,从而通过解不等式进行求解。常见的不等关系如下:(1)圆锥曲线上的点坐标的取值范围 椭圆(以为例),则, 双曲线:(以为例),则(左支)(右支) 抛物线:(以为例,则(2)直线与圆锥曲线位置关系:若直线与圆锥曲线有两个公共点,则联立消元后的一元二次方程 (3)点与椭圆(以为例)位置关系:若点在椭圆内,则 (4)题目条件中的不等关系,有时

2、是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域:题目中除了所求变量,还存在一个(或两个)辅助变量,通过条件可建立起变量间的等式,进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数,确定辅助变量的范围后,则可求解函数的值域,即为参数取值范围(1)一元函数:建立所求变量与某个辅助变量的函数关系,进而将问题转化为求一元函数的值域,常见的函数有: 二次函数;“对勾函数”; 反比例函数; 分式函数。若出现非常规函数,则可考虑通过换元“化归”为常规函数,或者利用导数进行解决。(2)二元函数:若题目中涉及变量较多,通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式,则可通过均值不等式,放缩消元或数形结合进行解决

3、。3、两种方法的选择与决策:通常与题目所给的条件相关,主要体现在以下几点:(1)若题目中含有某个变量的范围,则可以优先考虑函数的方向,将该变量视为自变量,建立所求变量与自变量的函数关系,进而求得值域(2)若题目中含有某个表达式的范围(或不等式),一方面可以考虑将表达式视为整体,看能否转为(1)的问题进行处理,或者将该表达式中的项用所求变量进行表示,从而建立起关于该变量的不等式,解不等式即可二、典型例题:例1:已知椭圆,、是其左右焦点,离心率为,且经过点.(1)求椭圆的标准方程; (2)若分别是椭圆长轴的左右端点,为椭圆上动点,设直线斜率为,且,求直线斜率的取值范围;解:(1) 椭圆方程为:代入

4、可得: 椭圆方程为: (2)由(1)可得: 设,则 在椭圆上 即例2:已知椭圆的离心率为,其左,右焦点分别是,过点的直线交椭圆于两点,且的周长为 (1)求椭圆的方程(2)若过点的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围解:(1) 的周长 椭圆方程为: (2)设直线的方程为, 联立直线与椭圆方程: ,解得: ,代入可得: 由条件可得: ,代入可得: 例3:在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且在所有过焦点的弦中,弦长的最小值为(1)求椭圆方程(2)若过点的直线 与椭圆交于不同的两点(在之间),求三角形与三角形面积比值的范围解:(1) 由椭圆性质可得,

5、焦点弦的最小值为 椭圆方程为 (2)设, 联立直线与椭圆方程: 同号 设,所解不等式为: ,即例4:已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆的方程(2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于直线,垂足为点,线段的垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程(3)设与轴交于点,不同的两点在上,且满足,求的取值范围解:(1) 与圆相切 即,解得(2)由(1)可得 线段的垂直平分线交于点即的轨迹为以为焦点,为准线的抛物线,设为 (3)思路:由已知可得,设,则所求为关于的函数,只需确定的范围即可,因为,所以有可能对的取值有影响,可利用此条件得

6、到关于的函数,从而求得范围。解:与椭圆的交点为,设,因为,化简可得: 考虑由可得时,可得例5:已知椭圆的离心率,左焦点为,椭圆上的点到距离的最大值为(1)求椭圆的方程(2)在(1)的条件下,过点的直线与圆交于两点,与点的轨迹交于两点,且,求椭圆的弦长的取值范围解:(1)由离心率可得: 依题意可得: 可得:椭圆方程为:(2)由(1)可得椭圆方程为 不妨设 当直线斜率不存在时,符合题意,可得: 当直线斜率存在时,设直线 在圆中 可得:解得:设,联立直线与椭圆方程:消去可得: 由可得:综上所述:的取值范围是例6:已知椭圆的两个焦点,动点在椭圆上,且使得的点恰有两个,动点到焦点的距离的最大值为(1)求

7、椭圆的方程(2)如图,以椭圆的长轴为直径作圆,过直线上的动点,作圆的两条切线,设切点分别为,若直线与椭圆交于不同的两点,求的取值范围解:(1)使得的点恰有两个的最大值为为短轴顶点时,到焦点的距离的最大值为椭圆的方程:(2)由椭圆方程可得圆设,由圆的性质可得:代入可得:满足方程则到的距离下面计算:联立方程设不妨设设,所以设在单调递增所以,即例7:已知椭圆过点,且离心率(1)求椭圆方程(2)若直线与椭圆交于不同的两点,且线段的垂直平分线过定点,求的取值范围解:(1)可得:椭圆方程为,代入可得:椭圆方程为:设,联立方程可得: 设中点,则则的中垂线为:,代入可得:,代入可得:或即的取值范围是例8:在平

8、面直角坐标系中,原点为,抛物线的方程为,线段是抛物线的一条动弦(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标;(2)当时,设圆,若存在且仅存在两条动弦,满足直线与圆相切,求半径的取值范围?解:(1)由抛物线可得:,准线方程: (2)设直线, ,联立方程: 与圆相切 ,不妨令 则,令 在单调递减,在单调递增 则若关于的方程有两解,只需关于的方程有一解时,与有一个交点 例9:已知椭圆的离心率为,是椭圆的两个焦点,是椭圆上任意一点,且的周长是 (1)求椭圆的方程(2)设圆,过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于两点,当圆心在轴上移动且时,求的斜率和取值范围解:(1) 的周长 椭圆方程为: (2)由椭圆方程可得:

9、,设过且与圆相切的直线方程为 ,整理可得: 两条切线斜率是方程的两根联立直线与椭圆方程可得:消去可得: ,同理可得: 由可得: 设,可知为增函数, 例10:已知椭圆,其中为左右焦点,且离心率为,直线与椭圆交于两不同点,当直线过椭圆右焦点且倾斜角为时,原点到直线的距离为(1)求椭圆的方程(2)若,当的面积为时,求的最大值解:(1)设直线 椭圆方程为(2)若直线斜率存在,设, 联立方程:消去可得:,整理可得:考虑即等号成立条件:时的最大值是当斜率不存在时,关于轴对称,设,再由可得:可计算出所以综上所述的最大值是三、历年好题精选1、已知点是双曲线上的动点,分别是双曲线的左右焦点,为坐标原点,则的取值

10、范围是( )A. B. C. D. 2、(2015,新课标I)已知是双曲线上的一点,是上的两个焦点,若,则的取值范围是( )A. B. C. D. 3、(2014,四川)设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的最大值是_4、(2016,广东省四校第二次联考)抛物线的焦点为,已知点为抛物线上的两个动点,且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为( )A. B. C. D. 5、(2016,贵州模拟)设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,过点与垂直的直线交轴负半轴于点,且是线段的中点,若果三点的圆恰好与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)过定点的直线与椭圆交于两点,且.若实数满

11、足,求的取值范围.6、(2015,山东理)平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心,以3为半径的圆与以为圆心,以1为半径的圆相交,交点在椭圆上.(1)求椭圆 的方程;(2)设椭圆,为椭圆上的任意一点,过点的直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点求的值;求面积最大值.7、(2014,四川)已知椭圆的焦距为,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆的标准方程(2)设为椭圆的左焦点,为直线上任意一点,过作的垂线交椭圆于点 证明:平分线段(其中为坐标原点) 当最小时,求点的坐标8、(2014,湖南)如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别

12、为,离心率为,已知,且 (1)求的方程(2)过作的不垂直于轴的弦为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值9、(2014,山东)已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有,当的横坐标为3时,为正三角形(1)求的方程(2)若直线,且和有且只有一个公共点 证明直线过定点,并求出定点坐标 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由 10、(淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末)如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,左顶点为,过点作斜率为的直线交椭圆于点,交轴于点.(1)求椭圆的方程;(2)已知为的中点

13、,是否存在定点,对于任意的都有,若存在,求出点的坐标;若不存在说明理由;(3)若过点作直线的平行线交椭圆于点,求的最小值.11、(南通市海安县2016届高三上期末)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:的焦距为2(1)若椭圆经过点,求椭圆C的方程;(2)设,为椭圆的左焦点,若椭圆存在点,满足,求椭圆的离心率的取值范围;12、已知定点,曲线C是使为定值的点的轨迹,曲线过点.(1)求曲线的方程;(2)直线过点,且与曲线交于,当的面积取得最大值时,求直线的方程;(3)设点是曲线上除长轴端点外的任一点,连接、,设的角平分线交曲线的长轴于点,求的取值范围. 13、已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心,离心率为(1

14、)求椭圆C的方程;(2)若存在直线,使得直线与椭圆分别交于两点,与圆分别交于两点,点在线段上,且,求圆的半径的取值范围14、已知、是椭圆的左、右焦点,且离心率,点为椭圆上的一个动点,的内切圆面积的最大值为.(1) 求椭圆的方程;(2) 若是椭圆上不重合的四个点,满足向量与共线,与共线,且,求的取值范围. 习题答案:1、答案:B解析:设,其中,由焦半径公式可得: 代入可得:因为 所以解得由对称性可知:当时,2、答案:A解析:由可得,所以,则,由得:代入到不等式:,解得 3、答案:5解析:由两条动直线 可得两条信息:两个定点坐标,且两条直线垂直,垂足即为,所以为直角三角形,可知,由均值不等式可得,

15、等号成立当且仅当 4、答案:A解析:过分别作准线的垂线,垂足设为设,由抛物线定义可得:在梯形中,可得为中位线由余弦定理可知在中, 5、解析:设椭圆的半焦距为由为线段中点,所以三点圆的圆心为,半径为又因为该圆与直线相切,所以所以,故所求椭圆方程为;(2) 若与轴不垂直,可设其方程为,代入椭圆方程可得,由,得设,根据已知,有于是消去,可得因为,所以即有,有6、解析:(1) 椭圆离心率为, 左、右焦点分别是,圆:圆:由两圆相交可得,即,交点,整理得,解得(舍去)故椭圆C的方程为.(2) 椭圆E的方程为,设点,满足,射线,代入可得点,于是. 点到直线距离等于原点O到直线距离的3倍:,得,整理得 ,当且

16、仅当等号成立.而直线与椭圆C:有交点P,则有解,即有解,其判别式,即,则上述不成立,等号不成立,设,则在为增函数,于是当时,故面积最大值为12.7、解析:(1)由已知可得:解得: 椭圆方程为: (2) 由(1)可得:,设 所以设,联立椭圆方程可得: 设为的中点,则点的坐标为 的斜率 在上,即平分 由可得: 由弦长公式可得: 等号成立当且仅当最小时,点的坐标为 8、解析:(1)由可得: (2)由(1)可得:,设直线,联立方程可得: 设 中点 即 与双曲线联立方程可得: 设点到直线的距离为,则点到直线的距离也为,因为点在直线的异侧 由 时, 综上所述:四边形面积的最小值为29、解析:(1)依题意可

17、知,设,则的中点为 由抛物线定义可知:,解得:或(舍) 抛物线方程为: (2) 由(1)可得,设 的斜率为 直线设直线,代入抛物线方程: 和有且只有一个公共点 设,则可得: 当时, ,整理可得: 恒过点 当时,可得:,过点过点 由可得:过点 设 在直线上, 设 直线的方程为 代入抛物线方程可得: ,等号成立当且仅当 10、解析:(1)由左顶点为可得,又,所以又因为,所以椭圆C的标准方程为.(2)直线的方程为,由消元得,.化简得,所以,.当时,所以.因为点为的中点,所以的坐标为,则直线的方程为,令,得点坐标为,假设存在定点,使得,则,即恒成立,所以恒成立,所以即因此定点的坐标为. (3)因为,所

18、以的方程可设为,由得点的横坐标为由,得,当且仅当即时取等号,所以当时,的最小值为11、解析:(1)依题意可得:将代入椭圆方程可得:解得:椭圆方程为(2)可知,设,可知:由可得:,整理可得:联立方程:,可解得: ,即12、解析:(1) 2分曲线C为以原点为中心,为焦点的椭圆设其长半轴为,短半轴为,半焦距为,则,曲线C的方程为 4分(2)设直线的为代入椭圆方程,得,计算并判断得,设,得到直线的距离,设,则当时,面积最大的面积取得最大值时,直线l的方程为:和 9分(3)由题意可知:=,= 设其中,将向量坐标代入并化简得:m(, 因为,所以, 而,所以 13、解析:(1)设椭圆的焦距为2C,因为a=,所以椭圆C的方程为.(2)设,联

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