高中数学用样本的频率分布估计总体分布(1)

1、2. 2 用 样 本 估 计 总 体 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第 二 章 统 计 知识点一 知识点二 考点一 考点二 考点三 2.2. 1 用样 本的 频率 分布 估计 总体 分布 美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福， 他于他于19011901年就任，当时年仅年就任，当时年仅4242岁；就任时年纪最大的岁；就任时年纪最大的 是里根，他于是里根，他于19811981年就任，当时年就任，当时6969岁，下面按时间顺岁，下面按时间顺 序序( (从从17891789年的华盛顿到年的华盛顿到20092009年的奥巴马，共年的奥巴马，共44

2、44任任) )给给 出了历届美国总统就任时的年龄：出了历届美国总统就任时的年龄： 57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50, 48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42, 51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52, 69,64,46,54,4869,64,46

3、,54,48 问题问题1 1：上述：上述4444个数据中最大值与最小值的差是多少？个数据中最大值与最小值的差是多少？ 提示：提示：696942422727 问题问题2 2：若将上述数据分成下列几组：若将上述数据分成下列几组41.5,45.5)41.5,45.5)， 45.5,49.5)45.5,49.5)，49.5,53.5)53.5,57.5)49.5,53.5)53.5,57.5)， 57.5,61.5)61.5,65.5)57.5,61.5)61.5,65.5)，65.5,69.5)65.5,69.5)各组中数据个数各组中数据个数 是多少？是多少？ 提示：提示：各组数据的个数为各组数据的

4、个数为2,7,8,16,5,4,2.2,7,8,16,5,4,2. 问题问题3 3：在直角坐标系中，能否将各组统计：在直角坐标系中，能否将各组统计 的数据直观地表示出来？的数据直观地表示出来？ 提示：提示：可以可以 1 1用样本估计总体的两种情况用样本估计总体的两种情况 (1)(1)用样本的用样本的 估计总体分布估计总体分布 (2)(2)用样本的用样本的 估计总体数字特征估计总体数字特征 2 2绘制频率分布直方图的步骤绘制频率分布直方图的步骤 (1)(1)求极差：即一组数据中求极差：即一组数据中 的差的差 频率分布频率分布 数字特征数字特征 最大值与最小值最大值与最小值 5 51212 k k

5、 左闭右开左闭右开 闭闭 分组分组 频数累计频数累计频数频数频率频率 合计合计 样本容量样本容量 1 1 (4) (4)列频率分布表：一般分四列：列频率分布表：一般分四列： 、 、 、 ，最后一行是，最后一行是 ， 其中频数合计应是其中频数合计应是 ，频率合计应是，频率合计应是 . . 频率频率/ /组距组距 各小长方形的面积各小长方形的面积 1 1 3 3频率分布折线图和总体密度曲线频率分布折线图和总体密度曲线 (1)(1)频率分布折线图：频率分布折线图： 连接频率分布直方图中各小长方形连接频率分布直方图中各小长方形 ， 就得到了频率分布折线图就得到了频率分布折线图 上端的中点上端的中点 (

6、2) (2)总体密度曲线：总体密度曲线： 随着样本容量的增加，作图时所分的随着样本容量的增加，作图时所分的组数组数也在也在 增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来 越接近于一条越接近于一条 ，统计中称之为总体密度，统计中称之为总体密度 曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比. . 光滑曲线光滑曲线 甲、乙两个小组各甲、乙两个小组各1010名学生的英语口语测试成绩名学生的英语口语测试成绩 ( (单位：分单位：分) )如下：如下： 甲组：甲组：76 90 84 86 81 87 86 82 85 837

7、6 90 84 86 81 87 86 82 85 83； 乙组：乙组：82 84 85 89 79 80 91 89 79 7482 84 85 89 79 80 91 89 79 74； 问题问题1 1：从甲、乙两组得分情况能否得出甲、乙两：从甲、乙两组得分情况能否得出甲、乙两 组哪组的成绩更整齐？组哪组的成绩更整齐？ 提示：提示：能甲组的成绩更整齐能甲组的成绩更整齐 问题问题2 2：上述两组数据能否用图形直观地分析？：上述两组数据能否用图形直观地分析？ 提示：提示：能能 茎叶图的制作步骤茎叶图的制作步骤 1 1将数据分为将数据分为 和和 两部分两部分 2 2将最大茎和最小茎之间的数据按将

8、最大茎和最小茎之间的数据按 ，写在中间位置，写在中间位置 3 3将各个数据的将各个数据的 写在其茎右写在其茎右( (左左) )侧侧 大小次序大小次序 排成一列排成一列 茎茎叶叶 叶叶 1 1频率分布直方图中，各小长方形面积之和为频率分布直方图中，各小长方形面积之和为1.1. 从频率分布直方图中，可清楚看到数据分布的形状从频率分布直方图中，可清楚看到数据分布的形状 2 2总体密度曲线一般的分布规律是呈中间高，两总体密度曲线一般的分布规律是呈中间高，两 边低的山峰形态分布，总体的数据大致呈对称分布，边低的山峰形态分布，总体的数据大致呈对称分布， 并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内它反映并且大部

9、分数据都集中在靠近中间的区间内它反映 了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供 更加精细的信息更加精细的信息 3 3茎叶图主要是针对数据不多的样本，它不但可以茎叶图主要是针对数据不多的样本，它不但可以 保留原始数据，而且可以随时记录，但样本数据较多或保留原始数据，而且可以随时记录，但样本数据较多或 数据位数较多时，不方便使用数据位数较多时，不方便使用 例例11调查某校高一年级男生的身高，随机抽取调查某校高一年级男生的身高，随机抽取4040 名高三男生，实测身高数据名高三男生，实测身高数据( (单位：单位：cm)cm)如下：如下： 171 16

10、3 163 166 166 168 168 160 168 165 171 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 158 167 156 157 164 169 180 176 157 162 174 158 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161161 158 164 163

11、 163 167 161 (1)(1)作出频率分布表：作出频率分布表： (2)(2)画出频率分布直方图画出频率分布直方图 思路点拨思路点拨 找出此组数据的最大值和最小值，确找出此组数据的最大值和最小值，确 定分组的组距和组数，列出频数分布表，再由频率定分组的组距和组数，列出频数分布表，再由频率 分布表绘制频率分布直方图分布表绘制频率分布直方图 精解详析精解详析 (1)(1)最低身高最低身高151 cm151 cm，最高身高，最高身高180 cm180 cm， 它们的差是它们的差是1801801511512929，即极差为，即极差为2929； 确定组距为确定组距为4 4，组数为，组数为8 8，频

12、率分布表如下：，频率分布表如下： 分组分组频数频数频率频率 150.5,154.5)10.025 154.5,158.5)50.125 158.5,162.5)50.125 162.5,166.5)100.250 166.5,170.5)130.325 170.5,174.5)40.100 174.5,178.5)10.025 178.5,182.5)10.025 合计合计401.000 (2)(2)频率分布直方图如下频率分布直方图如下 2 2组距和组数的确定没有固定的标准，将数组距和组数的确定没有固定的标准，将数 据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能据分组时，组数力求合适，纵使数据的

13、分布规律能 较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我 们了解数据的分布情况，若样本容量不超过们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100100， 按照数据的多少常分为按照数据的多少常分为5 51212组，一般样本容量越组，一般样本容量越 大，所分组数越多大，所分组数越多 1.1.如图所示是一容量为如图所示是一容量为100100的样本的频的样本的频 率分布直方图，则由图形中的数据，率分布直方图，则由图形中的数据， 样本落在样本落在15,2015,20内的频数为内的频数为 ( () ) A A2020B B3030 C C40 40 D D5050

14、解析：解析：样本落在样本落在15,2015,20内的频率是内的频率是1 15(0.045(0.04 0.1)0.1)0.30.3，则样本落在，则样本落在15,2015,20内的频数为内的频数为 0.30.310010030.30. 答案：答案：B B 2 2一个容量为一个容量为2020的样本，分组后，组距与频数如下：的样本，分组后，组距与频数如下： 10,2010,20，2 2；(20,30(20,30，3 3；(30,40(30,40，4 4；(40,50(40,50， 5 5；(50,60(50,60，4 4；(60,70(60,70，2.2.则样本在则样本在10,5010,50上上 的频

15、率为的频率为_ 答案：答案：0.70.7 3 3以下是某篮球运动员在以下是某篮球运动员在8080场比赛中的得分情况：场比赛中的得分情况： 19 19 12 10 16 12 21 20 12 23 21 18 20 14 19 19 19 12 10 16 12 21 20 12 23 21 18 20 14 19 20 15 22 16 8 11 10 12 21 14 16 15 12 18 12 20 15 22 16 8 11 10 12 21 14 16 15 12 18 12 15 21 16 10 4 15 6 21 21 22 13 19 17 37 12 15 21 16 1

16、0 4 15 6 21 21 22 13 19 17 37 12 12 9 16 16 22 7 25 29 12 12 16 14 41 20 17 12 9 16 16 22 7 25 29 12 12 16 14 41 20 17 13 14 33 27 29 19 19 17 29 10 11 28 25 14 27 13 14 33 27 29 19 19 17 29 10 11 28 25 14 27 16 6 23 21 1516 6 23 21 15 如果将这如果将这8080个数据分为个数据分为8 8组，能否作出这组数组，能否作出这组数 据的频率分布表？若能，请作出频率分布直据

17、的频率分布表？若能，请作出频率分布直 方图和频率分布折线图方图和频率分布折线图 解：解：由题意可知这由题意可知这8080个数据中最小值为个数据中最小值为4 4，最大值，最大值 为为4141，其差为，其差为3737，即极差为，即极差为37.37.故根据题意可取区故根据题意可取区 间间3,423,42，将其分为，将其分为8 8个区间，组距为个区间，组距为5.5.这组数据这组数据 的频率分布表如下：的频率分布表如下： 分组分组频数频数频率频率 3,8)40.050 0 8,13)190.237 5 13,18)230.287 5 18,23)210.262 5 23,28)60.075 0 28,3

18、3)40.050 0 33,38)20.025 0 38,43)10.012 5 合计合计801.000 0 频率分布直方图及频率分布折线图如图所示频率分布直方图及频率分布折线图如图所示 例例22某良种培育基地正在培养一种小麦新品种某良种培育基地正在培养一种小麦新品种A A，将，将 其与原有一个优良品种其与原有一个优良品种B B进行对照实验，两种小麦各种进行对照实验，两种小麦各种 植了植了2525亩，所得亩产数数据亩，所得亩产数数据( (单位：千克单位：千克) )如下：如下： 品种品种A A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,357,359,367

19、,368,375,388,392,399,400,405, 412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445, 445,451,454445,451,454 品种品种B B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,363,371,374,383,385,386,391,392,394,394, 395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,395,397,397,4

20、00,401,401,403,406,407,410,412,415, 416,422,430416,422,430 (1)(1)画出两组数据的茎叶图；画出两组数据的茎叶图； (2)(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？ (3)(3)通过观察茎叶图，对品种通过观察茎叶图，对品种A A与与B B的亩产量用其稳定的亩产量用其稳定 性进行比较，写出统计结论性进行比较，写出统计结论 思路点拨思路点拨 先根据茎叶图的绘制方法绘茎叶图再根先根据茎叶图的绘制方法绘茎叶图再根 据茎叶图判断亩产量的稳定性据茎叶图判断亩产量的稳定性 精解详析精解详析 (1)(1)茎叶图如图

21、所示茎叶图如图所示. . (2)(2)用茎叶图处理现有的数据不但可以看出数据的分布用茎叶图处理现有的数据不但可以看出数据的分布 情况，而且可以看出每组中的具体数据情况，而且可以看出每组中的具体数据 (3)(3)通过观察茎叶图，可以发现品种通过观察茎叶图，可以发现品种A A 的平均亩产量约的平均亩产量约 为为411.1411.1千克，品种千克，品种B B的平均亩产量为的平均亩产量为397.8397.8千克由此千克由此 可知品种可知品种A A的平均亩产量比品种的平均亩产量比品种B B的平均亩产量高，但的平均亩产量高，但 品种品种A A的亩产量不够稳定，而品种的亩产量不够稳定，而品种B B的亩产量比

22、较集中的亩产量比较集中 在平均亩产量附近在平均亩产量附近 一点通一点通 绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般 地说数据是两位数时，十位数字为地说数据是两位数时，十位数字为“茎茎”，个位数字为，个位数字为 “叶叶”；如果是小数的，通常把整数部分作为；如果是小数的，通常把整数部分作为“茎茎”， 小数部分作为小数部分作为“叶叶”，解题时要根据数据的特点合理选，解题时要根据数据的特点合理选 择茎和叶择茎和叶 4.4.如图是如图是20022002年至年至20112011年某省城镇居民年某省城镇居民 百户家庭人口数的茎叶图图中左边百户家庭人口数的茎叶图图中左边 的数字从左到

23、右分别表示城镇居民百的数字从左到右分别表示城镇居民百 户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表 示城镇居民百户家庭人口数的个位数字从图中可以示城镇居民百户家庭人口数的个位数字从图中可以 得到得到20022002年至年至20112011年该省城镇居民百户家庭人口数的年该省城镇居民百户家庭人口数的 中位数为中位数为( () ) A A304304B B303303 C C302 302 D D306306 答案：答案：A A 5 5为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随 机选取了机选取了1414天，统计上午天

24、，统计上午8 8000010100000间各间各 自的点击量，得到如图所示的茎叶图，根据自的点击量，得到如图所示的茎叶图，根据 茎叶图解答下列问题：茎叶图解答下列问题： (1)(1)求甲网站点击量的中位数和乙网站点击量的极差；求甲网站点击量的中位数和乙网站点击量的极差； (2)(2)求甲网站点击量在求甲网站点击量在10,4010,40间的频数和频率；间的频数和频率； (3)(3)请你估计甲、乙两网站哪个更受欢迎？并说明理由请你估计甲、乙两网站哪个更受欢迎？并说明理由 (3)(3)观察茎叶图，得甲网站的点击量集中在茎叶图的观察茎叶图，得甲网站的点击量集中在茎叶图的 下方，而乙网站的点击量集中在茎

25、叶图的上方，从下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从 数据的分布情况来看，甲的平均数大于乙的平均数，数据的分布情况来看，甲的平均数大于乙的平均数， 所以甲网站更受欢迎所以甲网站更受欢迎. . 例例33为了解某校高一年级学生的体能情况，抽取部分为了解某校高一年级学生的体能情况，抽取部分 学生进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频学生进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频 率分布直方图率分布直方图( (如图如图) )，图中从左到右各小长方形的面积，图中从左到右各小长方形的面积 之比为之比为2 24 4171715159 93 3，第二小组的频数为，第二小组的频数为12.12. (

26、1)(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)(2)若次数在若次数在110110以上以上( (含含110)110)为达标，则该校全体高为达标，则该校全体高 一年级学生的达标率是多少？一年级学生的达标率是多少？ 思路点拨思路点拨 (1)(1)利用频率值等于对应小长方形面积利用频率值等于对应小长方形面积 来确定来确定 (2)(2)满足条件的频率之和即为达标率满足条件的频率之和即为达标率 一点通一点通 1 1频率分布直方图的性质：频率分布直方图的性质： (1)(1)因为小矩形的面积组距因为小矩形的面积组距频率频率/ /组距频率，所以组距频率，所以 各小

27、矩形的面积表示相应各组的频率这样，频率分布直方各小矩形的面积表示相应各组的频率这样，频率分布直方 图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小 (2)(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.1. (3) (3)频数频数/ /相应的频率样本容量相应的频率样本容量 2 2频率分布直方图反映了样本在各个范围内频率分布直方图反映了样本在各个范围内 取值的可能性，由抽样的代表性利用样本取值的可能性，由抽样的代表性利用样本 在某一范围内的频率，可近似地估计总体在某一范围内的频率，可近似地估计总体

28、在这一范围内的可能性在这一范围内的可能性 6 6某工厂对一批产品进行了抽样检测如图是根据抽某工厂对一批产品进行了抽样检测如图是根据抽 样检测后的产品净重样检测后的产品净重( (单位：克单位：克) )数据绘制的频率分数据绘制的频率分 布直方图，其中产品净重的范围是布直方图，其中产品净重的范围是96,10696,106，样本，样本 数据分组为数据分组为96,98)96,98)，98,100)98,100)，100,102)100,102)， 102,104)102,104)，104,106104,106已知样本中产品净重小于已知样本中产品净重小于 100100克的个数是克的个数是3636，则样本中净重大于或等于，则样本中净重大于或等于9898克并克并 且小于且小于104104克的产品的个数是克的产品的个数是( () ) A A9090 B B7575 C C60 60