向量的加法运算及其几何意义省优质课比赛

1、There is no elevator to success only stairs. 成功没有电梯，成功没有电梯， 只有一步一个脚印的楼梯. 引例 ? 1+1在什么情况下不等于 2？ ? 例如右图，两个小孩分别用 1牛 顿的力提起水桶，则水桶的重 力是2牛顿吗？ 问题提出 1.向量、平行向量、相等向量的含 义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大 小和方向是如何反映的？什么叫零 向量和单位向量？ 向量的加法运算及其几何意义 探究一：向量加法的几何运算法则探究一：向量加法的几何运算法则 思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按 原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可

2、得什么结论？ ABC ACBCAB? 思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按 反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？ ACBCAB? ABC A C B 如图，运送淡水的船只，先从 A岛到B岛，再从B岛到 C岛，这两次的位移之和可以用哪一个向量表示？由 此可得什么结论？ ACBCAB? 思考3： 上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个 向量的 和还是一个向量还是一个向量. 如图，对于下列两个向量，如何用三角形法则求其 和向量？ a b 一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的 加法.上述求两个向量和的方法，称为向量加 法的三角形法则. 思考思考4： 三 角 形

3、法 则: O B 向 量 加 法 的 法 则 a C b .,baOBbCBaOCO ? ? ? ? ? 则则作作点点作法：在平面内任取一作法：在平面内任取一 ,ba ? ? 与与任意给出两个向量任意给出两个向量.ba ? ? ? 如何求如何求 观察向量、的连接方式，你能总结三 角形法则的作图特点吗？ abba? 起点、终点顺次相连起点、终点顺次相连 起终 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型 . 三角形法则三角形法则 F E O O E 例如:橡皮条在两个力F 1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也是从E点伸

4、长到了O点. F 1+F2=F. 分析:由物理知识知F为F 1与F2的合力 思考思考5： F E O O E 这也是向量的加法吗？ 例如:橡皮条在力F 1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也是从E点伸长到了O点. 分析:由物理知识知,F为F 1与F2的合力 F 1+F2=F. F以为F 1与F2为邻边所形成平行四边形 的对角 线 思考思考5: 三角形法则:平行四边形法则: O B 向 量 加 法 的 法 则 C a b B O A C .,baOBbCBaOCO ? ? ? ? ? 则作点作法：在平面内任取一 b a 邻边做 为、以作点作法：在平面内任取一 OBOA

5、bOBaOAO., ? ? ? OACB ,连接OC,. OCOA OB a b? 则 ,ba ? ? 与任意给出两个向量.ba ? ? ? 如何求 bb a a 三 角 形 法 则:平行四边形法则: O B 2.它们之们有联系吗? 1.两种方法做出的结果一样吗? a b C B O A C b 向 量 加 法 的 法 则 ,ba ? ? 与与任意给出两个向量任意给出两个向量.ba ? ? ? 如何求如何求 平行四边形法则平行四边形法则 通过利用平行四边形法则作向量的和，你能总 结出作图的特点吗？ 力的合成可以看作向量加法平行四边形法 则的物理模型. 同起点的对角线. 三角形法则 加 法连 接

6、指 向 起终相连起终 平行四边形法则起点重合 同起点的 对角线 归纳小结 (2)(4) 巩固练习 a ? b ? (1)(3) b . . 1 ba ba ? ? ? ? ? 作出 法则，用向量加法的三角形、如图，已知 a ? b ? b ? a ? b a ? a ? ba ? ? ? ba ? ? ? ba ? ? ? ba ? ? ? 教材P84练习 本题能用平行四边 形法则求向量和 吗？ A .,. 2baba ? ? ? ? ? 形法则作出用向量加法的平行四边、如图，已知 b a ? b a ? D B a ? C b ba ? ? ? ba ? ? ? C Da ? b B A 本

7、题能用三角形法则本题能用三角形法则 求向量和吗？求向量和吗？ （1）（2） 探究二：向量加法的代数运算性质探究二：向量加法的代数运算性质 与 为相反向量.0 ? ? ? baa ? b ? 思考2：若向量与与为相反向量， 等于什么？反之成立吗？ b ? a ? ba ? ? ? 思考1：零向量与任一向量可以相加吗？a ? 规定： .00aaa ? ? ? ? AB C C BA a r b r a r b r ACBCABba? ? ? ACBCABba? ? ? 思考3：若向量与同向，则向量 的方向如何？若向量与反向，则向 量的方向如何？ b b a ? a ? ba ? ? ? ba ?

8、? ? ,a baba b?当向量同向时，的方向与同向. ,a babab?当反向时，的方向与、 中模大的向量同向. a r b r ba ? ? ? b a + a b 思考思考4 4：观察下列各图，与 的大小关系如何？与的大小 关系如何？ ba ? ? ?ba ? ? ? ba ? ? ?ba ? ? ? a r b r a r b r ba ? ? ? ab? rr ab? rr ab? rr ab? rr (当且仅当与反向时取等号)a ? b ? (当且仅当与同向时取等号) b ? a ? 思考5：实数的加法运算满足交换律，即 对任意a，bR，都有ab=ba. .那么 向量的加法也满足

9、交换律吗？如何检验？ a ? AO a ? C b ? B b ? ba ? ? ? ? ba ? ? ? ab ? ? ? ACOA .OC ? BCOB .OC .,（交换律）所以abba ? ? ? ? 思考6：实数的加法运算满足结合律，即对 任意a，b，cR，都有（ab）c=a（b c）. .那么向量的加法也满足结合律吗？根 据图形验证 A O a ? B b ? C c ? ba ? ? ? cba ? ? ? ? cb ? ? ? ? ? ? .cbacba ? ? ? ? ? ? ? ? ,OCBCOBBCABOAcba? ? ? ? ? ? ,OCACOABCABOAcba?

10、? .)()( ,（结合律）所以cbacba ? ? ? ? ? ? . )4( . )3( . )2( . ) 1 ( ? ? ? ? edc dba dc ba .化简 ._) 1 (?BCCDAB ? ._)2(?CBACBNMA ? ._) 3(?DCCABDAB .根据图示填空 a b c d e fg A B D E C c f g f AD MN 0 巩固练习巩固练习 AB C D E F O 应用举例应用举例 1 2(3). OABCDEF OA OCBCFEOA FE? u u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u r 例1 已知 为正六边

11、形的中心，作出下列向量 （）；（ ）； ;1OBOCOA?）解：（ ;2ADFEBC?）（ . 03? FEOA）（ 例例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输, 如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5 km/h的速度向垂 直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东km/h B C A D （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 （保留两个有效数字）； 邻边作 为、表示水速，以表示船速，如图所示，解： ABADABAD )1 ( ABCD ， AC u u u r 则表示船实际航行的速度. （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间 的夹角表示，精确到度）

12、. D BA ? ?2t2,5,R ABCABBC? u u u ru u u r 在中， 由计算器得由计算器得68. 答：船实际航行速度的大小约为.4 km/h, 航行方向与水航行方向与水 的流速间的夹角为68 . , 5 . 2 2 5 tan? AB BC CAB 因为 ,4.52952, 22 22 ?BCABAC 所以 B C A D 10km 103km a b ab? r r rr 1. 若 表示 “ 向南走” , 表示 “ 向西走” , 则表示 . 2.35ababab ab ab ? ? r rrrrr r r rr 若 ， 满足，求的 最大值，并指出 ， 满足什么条件时 ? 取到最大值 . 巩固练习巩固练习 课堂小结课堂小结 向量加法的物理背景 向量的加法运算 向量