专题复习：圆的方程

1、第五讲圆的方程一学习目标1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 2初步了解用代数方法处理几何问题的思想二疑 难 辨 析 1关于圆的定义和确定圆的几何要 素(1) 圆是到定点的距离等于定长的点 的集合 ( )(2) 确定圆的几何要素是圆的半 径 ( )2关于圆的标准方程和一般方程(1)方程(X a)2 + (y b)2=t2,不论 t 为什么实数都表示一个圆的方程 ()(2)方程 X2 + y2 + Dx + Ey+ F = 0 叫做 圆的一般方程 ()3关于圆的直径式方程A(2，3)，B(2，X 2y 3 = 0 上，则已知点 A(xi, yi), B(X2, y2)，则以 AB

2、为直径的圆的方程是 (X X1)(X X2)+ (y y1)(y y2)= 0.( 三典例分析 例 1 (1)已知圆经过 5)，若圆心在直线圆的标准方程是. ABC的三个顶点分别为 A - 1,5), B(-2, 2), C(5,5),则其外接圆 的一般方程是.亠占八、例2 在 OAB中，已知 0(0,0)， A(8,0)，C(0,6)，A OAB的内切圆的方程 为(X 2)2+ (y 2)2 = 4, P 是圆(1) 求点 P 到直线 1: 4x+3y+ 11 = 0 的距离的最大值和最小值；(2) 若 S= |P0|2+ |PA|2 + |PB|2,求 S 的最大值和最小值.变式题 实数X

3、, y满足X2+ y2+2x 4y+ 1 = 0，求下列各式的最大值和最 小值：4(1比;(2)3x 4y;(3)x2+ y2.1. 已知圆C1： (X+ 1)2 + (y1)2= 1,圆C2与圆C1关于直线x y 1 = 0对称，则圆C2的方程为()A .(X+ 2)2+ (y 2)2= 1B . (X 2)2 + (y + 2)2= 1C. (x+ 2)2 + (y + 2)2= 1D . (x- 2)2+ (y- 2)2= 1解析：设点(x, y)与圆Ci的圆心(-1,1)关于直线x-y- 1 = 0对x= 2, y=- 2.=-1x+1,称，贝,解得$x-1 y+ 1L 2 2 1 =

4、 0,从而可知圆C2的圆心为(2, - 2),又知其半径为1, 故所求圆C2的方程为(x- 2)2+ (y+ 2)2= 1.答案：B2. 圆心在y轴上，半径为A . X2+ (y-2)2= 1C. (x- 1)2+ (y 3)2= 11,且过点(1,2)的圆的方程是()B. x2+(y+ 2)2= 1D. X2+ (y- 3)2= 1解析：由题意知圆心为(0,2),则圆的方程为x2 + (y-2)2 = 1. 答案：A3. 当a为任意实数时，直线(a- 1)x-y+a+ 1 = 0恒过定点C, 则以C为圆心，/5为半径的圆的方程为()A . X2+ y2-2x + 4y = 0 B. x2+y

5、2+2x+ 4y= 0C. x2 + y2 + 2x 4y= 0 D. x2+ y2- 2x 4y= 0解析：由(a - 1)x-y+a+ 1 = 0得 a(x + 1)- (x+ y 1) = 0,直线恒过定点( 1,2),圆的方程为(x+ 1)2 + (y-2)2= 5, 即 x2+y2+ 2x 4y = 0.答案：C4 .方程X2+ y2- 4kx- 2y- k=0表示圆的充要条件是()嘉k 1C. k RB. k11D. k=4或 k= 1解析：此方程表示圆的充要条件是(-4k)2 + (-2)2 + 4k0,即4k2 + k+ 1 0.(*)= 12 4X4X 1 0,二(*)式恒成

6、立， k R.答案：C5.过点A(1,- 1), B(- 1,1),且圆心在直线X+ y 2= 0上的圆 的方程是()(X- 3)2+ (y+ 1)2 = 4(X+ 3)2+ (y -1)2= 4(X- 1)2 + (y -1)2= 4(X+ 1)2 + (y+ 1)2 = 4解析：由题意得线段AB的中点C的坐标为(0,0),直线AB的斜 率为 kAB = -1,则过点C且垂直于AB的直线方程y= X,!y=X,圆心坐标(X, y)满足1得y=X= 1,x+y 2= 0,从而圆的半径为U(1 1 )2 + 1 -( 1 )2 = 2, 因此，所求圆的方程为(x- 1)2 + (y-1)2= 4

7、. 答案：C) 2 1 丿2 + y2= 36. (2013福州调研)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)，且被 X轴分成两段弧长之比为2,则圆的方程为(f2 4A. y + y = 3C. X2 +D. X2+f冋1解析：(排除法)由圆心在y轴上，则排除A、B，再由过(1,0), 故半径大于1，排除D.答案：C二、填空题7 .若圆 x2+ y2+ (a2 1)x + 2ay a= 0 关于直线 x y +1 = 0 对称， 则实数a的值为解析：依题意知直线X y+ 1 = 0经过圆x2+y2+ (a2 1)x + 2ay 0 的右上方.1 + mA 0,“ |1 + mlI 逅 A1.二m

8、的取值范围是mA 1+V2.答案：mA 1 + /29. (2013 南通调研)已知 A(X1, y1)、B(X2, y2)是圆 x2 + y2 = 2 上两 点，O 为坐标原点，且/ AOB= 120 贝J X1X2+ y1y2=.解析：OA =(Xi, yi), OB =(X2,讨2),OA , OB= 120则 X1X2 + y1y2= OA OB =|OA| |OB|cos120f n ,一 l= 1I 2丿.=2X答案：1三、解答题10. (2013衡阳质检)根据下列条件求圆的方程.(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+ 1 = 0上； 圆心在直线y= 4x上

9、，且与直线I:X+ y- 1= 0相切于点P(3,-2)；过三点 A(1,12), B(7,10), C( 9,2). 解析：(1)设圆的标准方程为(X a)2 + (y b)2= r2,由题意列出方程组I a2 + b2= r2,(a 1 )2+ (b 1)2= r2, 2a + 3b+ 1 = 0,a=4,解之得彳b=- 3,lr2= 25.(X 4)2 + (y+ 3)2= 25.方法一：设圆的标准方程为(X a)2 + (y b)2= r2,圆的标准方程是r b= 4a,(3 a)2+( 2 b)2 = r2, 则有I |a + b 1|迈=r,a= 1, 解得 b= 4,Ir = 2

10、 磁.圆的方程为（X 1）2 +（y + 4）2= 8.方法二：过切点且与X+ y 1 = 0垂直的直线为y+ 2 = X 3,与 y= 4x联立可求得圆心为（1, 4）.半径 r =寸（1 3）2+（ 4 + 2）2 = 2/2,所求圆的方程为（X 1）2 + （y+4）2= 8.方法一设圆的一般方程为X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,卩+ 144+ D + 12E + F = 0, 则49+ 100 + 7D + 10E + F = 0,81 + 4 9D + 2E+ F = 0.D= 2, 解得 E= 4,If = 95.所求圆的方程为X2+ y2 2x 4y 95=

11、0.方法二：由 A(1,12), B(7,10),得 A、B 的中点坐标为(4,11), kAB13,贝y AB的中垂线方程为3xy 1 = 0./ !x= 1, 得 1y=2,同理得AC的中垂线方程为X+ y 3= 0.联立仟yT = 0,l_x + y 3 = 0,即圆心坐标为(1,2),半径 r = 7(1 1f + (2 12f = 10.所求的圆的方程为(X 1)2 + (y 2)2 = 100.11.设定点M( 3,4),动点N在圆X2 + y2 = 4上运动，以0M、OP因为平行四边形的对角线互相平分，故 x=宜,殳y0也2，从Ro = x+ 3,而丫lyo = y4.9 k 5

12、,N(x + 3, y 4)在圆上，故(x + 3)2 + (y4)2= 4.因此所求轨迹为圆：(X+ 3)2 + (y4)2 = 4,但应除去点* 21 28)-J点P在OM所在的直线上的情况).方法二：设P(x, y), N(xo, yo)，则由已知可得OP = OM + ON,g卩(X, y) = ( 3,4) + (xo, yo)jx = Xo 3jxo = x+ 3,ly=yo + 4,lyo=y4.又 N(x + 3, y 4)在圆上，故(x + 3)2 + (y4)2 = 4,f 9I 5可解得a= 2,lb= 2或严2,b= 2.因此所求轨迹为圆：(x+ 3)2 + (y 4)2 = 4,但应去掉云 r 21 28、12.(2013烟台调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二 象限，半径为2頁的圆C与直线y = X相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；试探求圆C上是否存在异于原点的点 Q,使Q到定点F(4,0) 的距离等于线段OF的长，若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在， 请说明理由.解析：(1)设圆心为C(a, b)，由0C与直线y