常微分方程期末试题答案

1、、填空题(每空 2分，共16分)。1、方程dy x2 y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是xoy平面 .dxdY2方程组F(x,Y),x R,Y Rn的任何一个解的图象是n+1dx空间中的一条积分曲线.3. fy (x, y)连续是保证方程dy f (x, y)初值唯一的充分 条件.dxdxy4.方程组dt 的奇点(o,o)的类型是 中心dyxdt5方程y xy -(y )2的通解是y CxC22 26 .变量可分离方程 M x N y dxP x q y dy0的积分因子是7.二阶线性齐次微分方程的两个解y 1(x), y2 (x)成为其基本解组的充要条件是线性无关&方程y4y4y0的基本

2、解组是2x2xe , xe二、选择题(每小题3分，共15分)。9. 一阶线性微分方程 dy p(x)y q(x)的积分因子是( A ).dxp(x)dxq(x)dxp (x) dxq(x)dx(A) e (B) e (C) e(D) e10. 微分方程 yin ydx (x In y)dy0是(B )(A )可分离变量方程(B)线性方程(C)全微分方程(D)贝努利方程11. 方程 x(y2 1)dx+y(x2 1)dy=0 的所有常数解是(C ).(A) x 1(B) y 1(C) y 1, x 1( D) y 1, x 112. n阶线性非齐次微分方程的所有解( D ).(A)构成一个线性空

3、间(C)构成一个n 1维线性空间(B )构成一个n 1维线性空间(D )不能构成一个线性空间13.方程 y, y2 x2 2 ( D )奇解.(A)有一个(B)有无数个(C)只有两个(D )无三、计算题(每小题8分，共48分)。14.求方程dydx2xy y2的通解解：令上u，则色uxdy ,于是，duxdxdxdx2 XCx所以原方程的通解为y C X2 ,y x1 Cx15.求方程ydx (y3 In x)dy 0的通解 x解：取 M x, y , N x, yy3 In xx则M y x,yNx x, y -，于是原方程为全微分方程xx2Cx Cx2所以原方程的通解为xydxy 31 y

4、 dy C1 x1即 yl nx1 44yC16.求方程y (y)21xy 2x2的通解解:令yp，得到2y p2xxp( * )，两端同时关于求导,2整理得2pxdp10，则dxx，代入(*)2取2px0,得px得解y24取dp10,得px C ,代入(*：)得原方程得通解为dx17 求方程y 3y e5x的通解解对应的齐次方程的特征方程为2 30 ,特征根为,0,2 33x 故齐次方程的通解为y Ci C?e因为5不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为5xyi (x) Ae代入原方程，得5x5x 5x25Ae 15 Ae e1即A丄，103x 1 5x 故原方程的通解为y G C2ee5x

5、10x18.求方程 y y 2y e (cosx 7sin x)的通解解：先求解对应的其次方程：y y 2y 0 ,则有,2 0, 1 1, 22;yC1exC2e2x因为数 i 1 i不是特征根，故原方程具有形如Xy1 e Acosx Bsinx的特解。将上式代入原方程，由于y1 ex Acosx Bsinxy1 ex A B cosx B A sin xy1 ex 2Bcosx 2Asin xA sin x故 y y 2y ex 2Bcosx 2Asinx ex A B cosx B2ex Acosx Bsinxex cosx 7sinx或 3B A cosx B 3A sinx cosx

6、 7sinx比较上述等式两端的 cosx,sin x的系数，可得 A 3B 1 , 3A B 7因此，A 2 ,B1.故 y1 ex 2cosx 1sin x所求通解为yx2cosx 1sin x C1eC2ex19.求方程组dYdxY的实基本解组解：方程组的特征多项式为属于1的特征向量属于2的特征向量则方程的基本解组为其实基本解组为其特征根是1,2 35i，那么.3 5i xie3 5i x3 5i xe3ie5i而11 0因此所求实基本解组为3 5i x1 ie23 5i xe5i x3e.3 5i xie四、应用题(每小题11分,共11分)。e3t cos5x3te sin 5x3te

7、sin 5xe3t cos5x20.( 1)求函数 f(t)ate的拉普拉斯变换x(2)求初值问题3t3x 2x 2e “的解x(0)0, x (0)0解：(1) eat o e steatdtdt,s a s a,s a(2)设 xt X s , xt是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普拉斯变换，可分别得到x 3x2x xs2 3s 2 X2s s 3s 22e3t2e3t故有 X使用部分分式法，可得由(1)可知，et2t e2s 21；3t e故所求的初值解为x tetc 2t 3t2e e五、证明题(每小题10分，共10分)。21.证明：对任意Xo及满足条件0yo 1的y，方程dydx单壬的满足1 x y)上存在。证：由于 f(x,y)/(y2 1)21 xy条件y(x) y 的解y y(x)在(fy (x, y)(2y 1)(1 x2 y2) y(y 1)2y(1 x2 y2)2在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的