专题：与圆有关的最值问题

1、与圆有关的最值（取值范围）问题引例引例引例1:在坐标系中，点A的坐标为（3 ,0）,点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2设 tan / BOC=m则m的取值范围是 .2 :如图，在边长为1的等边OAB中,以边AB为直径作OD,以0为圆心OA长为半径作O0,C为半圆弧AB上的一个动点（不与 A、B两点重合），射线AC交O 0于点E, BC=a , AC=b，求a + b的最大值.3:如图，/ BAC=60，半径长为1的圆0与/ BAC的两边相切，为半径的圆P交射线AB、AC于D E两点，连接DE贝懺段3y/3P为圆0上一动点，以 P为圆心，PA长 DE长度的最大值为（）.A

2、1. 引例1: 特殊位置（相切） 高中“直线斜率2. 引例2:也是圆中的最值问题， 主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方此题是一个圆中的动点问题， 法，注重了初、高中知识的衔接通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O A构成夹角的变化规律，转化为 进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是 ”的直接运用；通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；DAE=60），正弦定理”3.弓侧3:本例动点的个数由引例 1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性

3、质运用、构图形式、 动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点 D、E与一个定点A构成三角形的不变条件 （/构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“的直接运用；只能凭直观综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路， 感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1 .直观感觉，画出图形；2 .特殊位置，比较结果；3 理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立 等式，进行转化.三、中考展望与题型训练 例一、斜率运用 如图，A点的坐

4、标为（-2 , 1）,以A为圆心的O A切x轴于点B, P（a, b）为O A上的一个动点，请分别探索： b+a的最大值；b+a的最小值；b-a的最大值；b-a的最大值；【拓展延伸】：b+2a的范围；b -2a的范围;精品文库例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1 如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3点D是平面内的一个动点，且 AD=2, M为BD的中点，在 D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是.一、欢迎下载51如图, ABC 中，/ BAC=60 , / ABC=45 , AB=2j2 , D是线段 BC上的一个动点，以AD为直径作O0分别交ABAC于E,

5、 F两点，连接EF,则线段A、B不重合)，M是CD的中点,定长弦 CD在以AB为直径的O O上滑动(点 C D与点2.如图，丄AB于点P,若CD=3 AB=8贝U PM长度的最大值是过点 C作CP例四、柯西不等式、配方法1如图，已知半径为 2的OO与直线I相切于点 线，垂足为C, PC与OO交于点D,连接PA PB, 大，且最大值是为一A,点P是直径 设PC的长为xAB左侧半圆上的动点，过点 P作直线I的垂(2 x0)时，以0点为圆心的圆与边 AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点, 过E作EG丄DE交射线BC于 G.(1) 若点G在线段BC上,则t的取值范围是 ;(2) 若点G在线段BC的

6、延长线上，则t的取值范围是.3.如图，O M O N的半径分别为 2cm, 4cm,圆心距MN=10cm P为O M上的任意一点，Q为O N上的任意一点， 直线PQ与连心线I所夹的锐角度数为 a ,(A) 1612(B)43(C)当P、Q在两圆上任意运动时，tanNa的最大值为().3(D)4.如图，在矩形 ABCD中, AB=3, BC=4,个动点，连接 AP OP则 AOP面积的最大值为(2150为矩形(A)4(B)(C)ABCD勺中心，以).358(D)D为圆心1为半径作O D, P为O D上的一1745.如图，在 Rt ABC中，/ C=90, AC=8 Q则线段PQ长度的最小值是()

7、.BC=6经过点C且与边AB相切的动圆与CA CB分别相交于点P、9欢迎下载A.孕B . 24456.如图，在等腰 Rt ABC中，/ C=90, AC=BC=4 D是AB的中点，点E在AB边上运动（点 E不与点A重合）,过A、D E三点作O 0,0 O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为7.如图，A B两点的坐标分别为 一个动点，线段DA与y轴交于点（2 , 0）、（0 , 2） , O C的圆心的坐标为（-1 , 0），半径为1,若D是O C上的 ,则 ABE面积的最小值是2 一遅2().8.如图，已知 一个动点，射线2-42D.1 , D是OC上的(0,1)，A

8、 B两点的坐标分别为（-2 , 0）、AD与y轴交于点,则 ABE面积的最大值是（）.1110C.33Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=BC=4 O C的半径为1,点P在斜边 AB上, PQ切O O于点 Q 则9如图，等腰 切线长PQ长度的最小值为（）.B.22C. 3D.410.如图/ BAC= 60 O P交射线AB AC于，半径长1的OO与/ BAC的两边相切，P为O O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的 D E两点，连接DE贝懺段DE长度的范围为11.在直角坐标系中，点A的坐标为（3, 0），点P （ m, n）是第一象限内一点，且AB=2贝U m-n的范围为12 在坐标系中，点 A的坐标为（3, 0），点B是y轴右侧一点，且 AB=2,点C上直线y=x+1上一动点，且 CB 丄AB于点B,则tanNACB =m，则m的取值范围是B (1 , 0),连13 .在平面直角