一阶偏微分方程基本知识

1、一阶偏微分方程基本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的 首次积分。1一阶常微分方程组的首次积分1.1首次积分的定义 从第三章我们知道，n阶常微分方程nr111y f X, y,y,n 1,y(1.1)在变换yiy， y2y,，yn(1.2)之下，等价于下面的一阶微分方程组dXdy2dXf1 x,y1,y2,|0,yn ,f2X,y1,y2(,yn ,(1.3)dX在第三章中，已经介绍过方程组 系数线性方程组外，求一般的（1.3） 可以使用所谓“可积组合”法求通积分, 然后介绍一阶常微分方程组

2、 求解方程组（1.3）的问题。例1求解微分方程组dx2一 y X X dtx, yi,y2,yn .（1.3）通解的概念和求法。但是除了常 的解是极其困难的。然而在某些情况下， 下面先通过例子说明“可积组合”法， “首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来先看几个例子。2. dyy 1,X y X2y2 1 .(1.4)解：将第一式的两端同乘X,第二式的两端同乘y，然后相加，得到dxX dt1 -d2这个微分方程关于变量t和X2dyydt2yX2y2 X2 y2 1 dt。是可以分离，因此不难求得其解为X22(1.5)y2X yG为积分常数。（1.5）叫做（1.4）的首次积分。注意首次积分

3、（1.5）的左端V x,y,t作为X, y,和t的函数并不等于常数;从上面的推导可见，当X x（t）, y y（t）时微分方程组（1.4)的解时，V X, y,t才等于常数Ci，这里的常数Ci应随解而异。因为式（1.4）是一个二阶方程组,一个首次积分（1.5）不足以确定它的解。为了确定（ 另外一个首次积分。1.4）的解，还需要找到亦即将第一式两端同乘y，第二式两端同乘dxdyXdtzxdtdydxdty2 XX dtd arctan# Xdt积分得y arcta n tX其中C2为积分常数。利用首次积分（1.5）和（1.6）X，然后用第一式减去第二式，得到C2 ,(1.6)（1.4）的通解。为

4、此，采用极r cos , y r sin，这样由(1.5)和（1.6）推得12t12eG,tC2.r1rC2t.可以确定坐标XC1e因此我们得到方程组（1.4 ）的通解为例2求解微分方程组tsin C2t2t，yGe 2tduvw,dtdvwu,dtdwuv.J1 Gedtcos C2(1.7)(1.8)欢迎下载9其中0是给定的常数。dvV dtw列0,dt解 利用方程组的对称性，可得du u dt从而得到首次积分Ci,1.9)其中积分常数Ci 0。同样我们有2 duu dt由此又得另一个首次积分2 2udvVdt2 dw c w0,dtC2 ,(1.10)其中积分常数C20。有了首次积分(1

5、.9)和（1.10），我们就可以将用w表示，代入原方程组（1.8）的第三式,得到dwdt/ 2 2J a Aw b Bw(1.11)其中常数a，b依赖于常数G和C2，而常数0, B0.注意（1.11）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个首次积分dw（aAw2） bBw2tC3,(1.12)其中C3是积分常数。因为方程组（1.8）是三阶的,所以三个首次积分（1.9)、（1.10）和（1.12）在理论上足以确定它的通解Ut, C1, C2 ,C3 , Vt ,C1, C2, C3 , wt,C1,C2,C3 .但是由于在式（1.12）中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达 式。现在

6、我们考虑一般的n阶常微分方程(1.13)dyifi x,y1,y2, ,yn， i 1,2, n ,dx,yn连续，而且对其中右端函数fi x,y1,y2, ,yn在D Rn 1内对x,y1,y2,1,72,yn是连续可微的。定义1设函数V V X, y1, y2,yn在D的某个子域G内连续，而且对X, 71,7211，yn是连续可微的。又设V（1.3）在区域G内的任意积分曲线X, yi,y2.,yn不为常数，但沿着微分方程:yi yi X ,y2 y2，ynyn X X J函数V取常值；亦即V x,yiX , y2 X ,yn常数 X J ，或当(x,y1,y2，H|,yn)时，有V x,y

7、i,y2.这里的常数随积分曲线而定，则称V x,yi,y2.,yn =C(1.14)为微分方程（1.13）在区域G内的首次积分。其中C是一个任意常数，有时也 称这里的函数V x,y1, y2,yn为（1.13）的首次积分。例如（1.5）和（1.6）都是微分方程（1.4）在某个区域内的首次积分。 这里对区域G有限制，是要求首次积分（1.5）和（1.6）必须是单值的连续可 微函数。因此区域G内不能包括原点，而且也不能有包含原点的回路。同理， 式（1.9）、（ 1.10）和（1.12）都是方程（1.8）的首次积分。对于高阶微分方程（1.1），只要做变换（1.2），就可以把它化成一个与其 等价的微分方

8、程组。因此，首次积分的定义可以自然地移植到 而其首次积分的一般形式可以写为V X, y, y,|）例如，设二阶微分方程组d2x2 .a sin Xdt2n 1,y0为常数，n阶方程（1.1）。(1.15)用詈乘方程的两端，可得dx d2x dt dt2a2 SinxdX 0，dt然后积分，得到一个首次积分2dxdtCOSX C。n个独立的首次积分，如果求得n阶常微分方程一般的，n阶常微分方程有组的n个独立的首次积分，则可求n阶常微分方程组的通解。1.2首次积分的性质和存在性 关于首次积分的性质，我们不加证明地列出下面的定理。在区域G内是连续可微的，而且它不是，yn定理1设函数x,y1, y2,

9、常数，则X, yi,y2,，yn1.16)是微分方程（1.13）在区域G内的首次积分的充分必要条件是-f1y1II Pn01.17)是关于变量 X,ynG的一个恒等式。1.13),yn这个定理实际上为我们提供了一个判别一个函数是否是微分方程（ 首次积分的有效方法。因为根据首次积分的定义，为了判别函数V x,y1,y2,是否是微分方程（1.13）在G内的首次积分，我们需要知道（1.13）在G内的 所有积分曲线。这在实际上是由困难的。而定理1避免了这一缺点。定理2若已知微分方程（1.13）的一个首次积分（1.14），则可以把微分 方程（1.13）降低一阶。设微分方程组（1.13）有n个首次积分i

10、X,y1，y2,yn Ci i 1,2,n，(1.18)nyn(1.19)如果在某个区域G内它们的Jacobi行列式D y1,y2,|,则称它们在区域G内是相互独立的。定理3设已知微分方程（1.13）的n个相互独立的首次积分（1.18），则可 由它们得到（1.13）在区域G内的通解yi i X,C1, C2,Cni 1,2,n，(1.20)其中C1,C2,|,Cn为n个任意常数（在允许范围内），而且上述通解表示了微分方 程（1.13）在G内的所有解。关于首次积分的存在性，我们有0,ynG ,则存在po的一个邻域GoG ,使得微分定理 4 设 P0X0, y10,|方程（1.13）在区域Go内有

11、n个相互独立的首次积分。定理5微分方程（1.13）最多只有n个相互独立的首次积分。定理6设（1.18）是微分方程（1.13）在区域G内的n个相互独立的首次 积分，则在区域G内微分方程（1.13）的任何首次积分V x,y1，y2.,yn =C，可以用（1.18）来表达，亦即V x,yi,y2.Yn h 1 X,y1,y2,y ,n x,y1,y2,yn其中h *,*是某个连续可微的函数。为了求首次积分，也为了下一节的应用，人们常把方程组（1.3）改写成对称的形式dY1 dY2f2dyndxfn这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。 成更一般地，人们常把上述对称式写dyidy2dynY y1,y

12、2,并设丫1,丫2, ，丫n在区域GY2 y1, y2,，yn% Y1，Y2,，ynRn内部不同时为零，例如如果设Yn0,(1.21)贝1.21）等价于dyidYnY %，丫2,，yni 1,2，H|,n(1.22)x i 1,2,|所以在方程组（1.21）中只有n-1个未知函数，连同自变量一起, 7元0请注意，式（1.22）中的yn相当于自变量,n 1相当于未知函数,共有 n个变,yn连续可微，并且不恒等于常数，则,yn =C是（1.21)的首次积分的不难验证，对于系统（1.21），定理1相应地改写为：设函数充分必要条件是关系式丫1 y1, y2,Y1，Y2，M YnIII Yn Y1，Y2

13、，|y1, y2，Yn（1.23）如果能得到（1.21 ）的n-1个独立的首次积分，则将它们(1.24)在G内成为恒等式。联立，就得到（1.21）的通积分。方程写成对称的形式后，可以利用比例的性质，给求首次积分带来方便。例3求乞理dZ的通积分。y x z解将前两个式子分离变量并积分，得到方程组的一个首次积分22小x y C1其中Ci是任意常数，再用比例的性质,dz两边积分，又得到一个首次积分x yzC2,(1.25)其中C2是任意常数。1.24)1.25）是相互独立的，将它们联立，便得到原方程组得通积分Ci， x y C2Z.dxcy bzdyaz cxd的通积分。bx ay解 利用比例的性质

14、，可以得到于是有dxdydzcy bz az cx bx idyayxdx ydy zdzadx bdy cdzxdxadxydybdyzdzcdz0,0.分别积分，就得到两个首次积分222x y z Ci,axby cz C2.将它们联立，就得到原系统的通积分，其中Ci和C2为任意常数。例5求解二体问题，即求解方程组d2x dt2X2 2 32y z0,dt22 x2y2 z32d2zzdt22 x2y2 z32y0.2 xd2y0,其中常数GM,G是引力常数,M是相对静止的这个天体的质量。现在求二体问题的运动轨线。以x乘第二式两边，以y乘第三式两边，然后相减，得ddzdyy z dt dt

15、dt积分便得到dz ydtzdtG,(1.26)这里G是任意常数，用类似的方法，可以得到dxdzC2 ,z一 dtx dt4.1.27dyx dtdx y一 dtC3.4.1.28其中C2,C3都是任意常数。分别用x、y、z乘（:1.26 )，( 1.27 )和(1.28 )的两边，然后三式相加，得到C1x C2yC3Z0.( 1.29 )这时一个平面方程。说明二体问题的运动轨迹x x t , y y t , z z t 位于疋条平面曲线。重新选取坐 平面，于是二体问题的运动方程（1.29 ）所表示的平面内。因此二体问题的轨迹曰 标平面，不妨将轨迹线所在的平面选为（x, y） 是由这两式可以看

16、到dx d2xdtdt2dt22 x2y32d2yydt22 x2y32x0.dy d2yd2x0,4.1.304.1.31dtdt2dxx一dty鱼dtx23222122x2122欢迎下载11上式可以写成ddtdxdtdydtgdt0,dydtA.两边积分，得到一个首次积分2 dxdt其中A为积分常数。引入极坐标x r cos,y r si n，经过简单的运算，上式可以写成dr 2 d?2d?A. r(1.32 )另一方面，以y乘（1.30 ），以x乘d2y x1.31 ）,然后两式相减，得积分后得到另一个首次积分化成极坐标，便得0,贝9由（1.32不妨把“得到d2x ydt2ddtxddx

17、yd?xd?dxydr2 dr 一dt)和(1.33 )解得斗J E2B V r r(1.33)drd”与B合并，仍记为B,则上式可以写成d E2B ,若0，则上式没有意义,旦_ r B arccos 厂(1.34故总设00。将（1.34 ）积分,这里0又是一个积分常数。从上式得到二体问题轨迹线的极坐标方程B21旦厂 cos0(1.35欢迎下载16由平面几何知道，这是一条二次曲线。它的离心率是当 1时，轨迹为一个椭圆；当1时，轨迹为一个抛物线；当1时，轨迹为一双曲线。由（1.35 ）可知,r依赖于常数，人和B，其中 GM是系统常数；A和B由初始条件rdr0,d确定。t 0如果B0 （即ddfp

18、l0)，则由(1.33 )知 一 0,dtt等于常数，这表示运动的轨迹是一条射线，这个例子说明，虽然二体问题的解利用首次积分，却完整地求出了运动的轨迹方程。这是显然的事。x=x（t ）和y=y（t）没有求出来，但是2 一阶齐次线性偏微分方程下面我们讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法。 2.1 一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程的一般形式为Ai Xi,X2,XnA Xi,X2,XnX1X2八UcAn X1,X2, Xn 0，Xn或简记为其中U为X1 , X2 ,nAii 1X1,X2,Xn(2.1),Xn的未知函数n 2。假定系数函数A,A2,|,An对Xi, ,XnD是连续可

19、微的，而且它们不同时为零，即在区域D上有A x,X2,i 1|,Xn注意微分方程组（2.1）对于偏微分方程组（是线性齐次的。2.1）,我们考虑一个对称形式的常微分方程组dX1dX2dXnA, X1, X2 ,XnA2 X1,X2, ,XnAn X1,X2,Xn(2.3)它叫做（2.1）的特征方程， 组，所以它有n-1个首次积分注意特征方程（2.3）是一个（n-1）阶常微分方程i 0X2,XnGi 1,2,I, n 1 。(2.4)i Xi,X2,XnCi ,i 1,2,n 1则一阶偏微分方程u n，X2,Xn其中为一任意n 证明设（2.1）的通解为1 X1，X2，H1元连续可微函数。Xn ,

20、2X,X2,，Xn,n 1 X1，X2,卅，Xn(2.5)Xi,X2,Xn(2.6)我们的目的是通过求（2.3）的首次积分来求（2.1）的解。（2.1）的解与（2.3） 的首次积分之间的关系有如下的定理（2.3）的n 1个首次积分（2.4）定理1假设已经得到特征方程组是方程（2.3）的一个首次积分。因为函数Ai,A，M，An不同时为零，所以在局部邻域内不妨设A Xi,X2,Xn 0，这样特征方程（2.3）等价于下面标准形式的XnnAii 1Xi,|(,Xn 一Xi(2.8)这就证明了（非常数）函数X1,X2,Xn为方程（2.3）的一个首次积分的充要条件为恒等式（2.8）成立。换言之,Xi,X2

21、,Xn为方程（2.3）的一个首次积分的充要条件是ux1,x2,Xn为偏微分方程（2.1）的一个（非常数）微分方程组(2.7)因此（2.6）也是（2.7）的一个首次积分，从而有恒等式n 1 A0，i 1 An Xi 亦即恒有解。因为（2.4）是微分方程（2.3）的n-1个独立的首次积分，所以根据首次 积分的理论得知，对于任意连续可微的（非常数） n-1元函数 ，1 X1,X2,，Xn,n 1X1, X2 ,，Xn就是（2.3）的一个首次积分。因此，相应的函数（2.5）是偏微分方程（2.1）的一个解。反之，设u u X1,X2,xn是偏微分方程（2.1）的一个（非常数）解，则u Xi，X2,XnC

22、是特征方程（2.3）的一个首次积分，因此，根据首次积分的理论得知，存在连续可微函数n 1，使恒等式u Xi,X2,|,Xn1 为，X2,，Xn,n 1X1, X2 ,，Xn成立，即偏微分方程（2.1）另外，如果允许 是常数，则（2.5）显然包括了方程（2.1）的常数解。 因此，公式（2.5）表达了偏微分方程组（2.1 ）的所有解，也就是它的通解。 例1求解偏微分方程的任何非常数解可以表示成（2.5）的形式。zX y X解原偏微分方程（2.9）的特征方程为y - 0( X2 y20).X(2.9)dxX ydyX y它是一阶常微分方程组，求得其一个首次积分为VX2yarctany2e xC,由定

23、理1知，原偏微分方程的通解为z X, yylXyarctan 2Xy e其中 为任意可微的函数。 例2求解边值为题Xz 1,fyxy.ZZ0, X0, y 0,z 0(2.10)再由原偏微分方程（2.10)dXdy的特征方程为dxdy dzdy厂，得 TX Tv C1 ；,得 2 jy In zC2.z故方程的通解为7?欢迎下载18f X, y, z4X 曲2曲 lnz,因为Jx jyjy(2.11)其中 为任意二元可微的函数，可由边值条件确定f x, y,1ln1xy，令 Vx Jy, 2羽，则代入（2.11）式，得到f x, y,zTxx/7，WyIn z2jy2In z 厂 Jx 4Jy

24、L22jy ln z2寸勺In z 2真2In z162.2 一阶拟线性非齐次偏微分方程F面讨论一阶拟线性非齐次偏微分方程A1 X1,X2,Xn,U A2 X1,X2, Xn,U UX1An X1,X2,X2u,Xn,U XnB X1,X2,Xn,U(2.的求解方法。,Xn,UG是连续可微的。这式（2.12）中函数aJIIa和B关于变元 为,|里所说的“拟线性”是指方程关于未知函数的偏导数都是一次的，各个系数A X1, X2, Xn,u ， i 1,2, ,n中可能含有未知函数u，而“非齐次”是指存在不含未知函数偏导数的自由项B X1 , X2 , ,Xn,U。和一阶线性偏微分方程nA x,X

25、2, I I，i 1Xn BoXiX1,X2,XnB1 X1,X2|,Xn U(2.13)欢迎下载242.12）比线性方程（2.12）更广泛。相比较，显然式拟线性方程（我们将求解（2.12 ）的问题化成求解线性齐次方程的问题，设V X1,X2, , Xn，UC是（2.12）的隐函数形式的解，且y 0,则根据隐函数微分法得UuXiVXiVU1,2,n(2.14)将（2.14）代入（2.12）中，经过整理得A X1,x2,An x1,x2,A2 X1,X2川Xn,U X1JV c,Xn,U B X1,X2,Xn,Xn,UXn,U(2.15)（2.15）变成了关于未知函数由此，可以将V视为关于X1,

26、X2, ,Xn,U的函数,V X1,X2, , Xn,U的一阶线性齐次偏微分方程。于是函数V X1,X2, , Xn,U应是方程（2.15）的解。反过来，假设函数V X1,X2, ,Xn,U是（2.15）的解，且-0,则由（2.15）U和（2.14）可以推出由方程V X1,X2, Xn,u=0所确定的隐函数U U XpX?,Xn是方程（2.12）的解。这样求解方程（2.12）dx1dx2A1 X1,X2, , Xn,UA2 X1,X2, ,Xn,UdXnAn X1, X2, ,Xn,Un的问题就化成了求解（2.15）的问题。为了求解（2.15），先写出其特征方程组 为dU.（ 2.16） B X1 , X2 , Xn,Ui X1, X2 , Xn, u Ci，i 1,2,n就得到（2.15）的通解为V X1,X2, ,Xn,U1 X1,X2, Xn,U , 2 X1,X2, ,Xn,U , , XX?, ,Xn,U（2.17） 其中 是所有变元的连续可微函数。我们将（2.16）称为方程（2.12）的特征 方程组。上述过程写成定理就是定理设函数A X1,X2, kn；u i 1,2,n 和 B x,x2,Xn; U在区域G