厦门大学线性代数期末考试试卷A (含答案）

1、厦门大学 线性代数 课程试卷学院系年级专业主考教师：线性代数教学组 试卷类型：（a卷）一、填空题（每小题4分，共24分）1设四阶方阵，其中均为四维列向量，且，则 2n阶方阵a满足，则 3向量组 ，和的一个极大无关组是 。4已知四元线性方程组的三个解为，且，则方程组的通解是 。5设，则a= 。6设二次型，则其对应的矩阵a的正特征值有 个。二、单项选择题（每小题4分，共24分）1若行列式，则x=( )。a1； b1; c; d2设矩阵，其中，则为（ ）a. 1； b2； cn； d无法确定。3向量组线性无关，则线性无关的是（ ）。a；b；c；d。4. 设a是n阶方阵，且方程组有无穷多组解，则方程组

2、（ ）。a有无穷多组解； b仅有零解；c有有限组解；d无解。5设a是n阶方阵，b是a经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）。a；b； c若，则一定有；d若，则一定有。6设，则与b（ ）a合同且相似； b合同但不相似；c不合同但相似； d不合同且不相似。三、计算题（每小题10分，共40分）1 已知矩阵，其中，求矩阵a，a2，a100。2 设四元线性方程组（i）：，又已知齐次方程组（ii）的通解为，（1）求方程组（i）的基础解系； （2）问（i）与（ii）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解。若没有，则说明理由。3设矩阵，矩阵b满足，求矩阵b。4设二次型，其中二次型矩阵a的特

3、征值之和为1，特征值之积为。（1）求a, b的值；（2）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。四、证明题（每小题6分，共12分）1. 二维向量在基下的坐标为，求，并证明在基，下的坐标与其在下的坐标相同。2. 已知a、b均为n阶矩阵，且，证明：。厦门大学线代参考答案课程试卷主考教师：线性代数教学组 试卷类型：（a卷） =一、填空题154； 2. ; 3. ; 4. ；5； 6. 2.二、单项选择题：1c; 2. a; 3. c; 4. a; 5. c; 6. a三、计算题：1解：，。 . 。2解：（1）求（i）的基础解系（i）的系数矩阵为 故（i）的基础解系为：

4、.（2）求（i）与（ii）的非零公共解。方法1 由（i），（ii）的通解表达式相等，得。即 因 ，故上述方程组的解为，于是（i），（ii）的所有非零公共解为为任意常数。方法2 把（ii）的通解代入方程组（i），则有，得解，于是向量是方程组（i）、（ii）的公共解，令，则上述方程组的所有非零公共解为，其中为任意非零常数。3解：由于，所以a为可逆矩阵。又.把等式两边同时左乘a，右乘，得，即（2a+e）b9e。由于，所以存在，故。由得，故。4 解：（1）二次型f的矩阵为 ，设的特征值为，由题设，有 解得。（2）由矩阵a的特征多项式 得a的特征值对于，由,即，得基础解系对于，由，即得基础解系.由于已是正交向量组，所以只需单位化，由此得.令矩阵 ，则p为正交矩阵。在正交变换下，二次型f的标准形为。四、证明题1证：（1）。（2）设在基下的坐标为，所以于是在基下的坐标与其在基下的坐标相同。2证：由题设a2-ab=e，即a(a-b)