2015年辽宁文科数学高考试题及答案

1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（ 1） 已知集合 A 2, 1,0,2 ， B x | ( x1)( x 2)0 , 则 AB=（）。（ A） -1,0 （ B） 0,1 （C） -1,0,1（ D） 0， 1，2（ 2）若 a 为实数且 2ai3 i , 则 a =（）。1i（ A） -4（ B） -3（C） 3（ D） 4（ 3）根据下面给出的2004年至 2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（）。（ A） 逐年比较， 2008 年减少二

2、氧化硫排放量的效果最显著；（ B） 2007 年我国治理二氧化硫排放显现（ C） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（ D） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（ 4）设 a(1, 1) ，b( 1,2) ，则 (2 ab)ga （）（ A） -1（ B）0（ C） 1（ D） 2（ 5）设 Sn 是等差数列 an 的前 n ，若a1 a3 a53 ，则 S5（）。（ A） 5（ B）7（ C） 9（ D） 11（ 6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为（）。（ A） 1（ B） 1（ C）

3、1（ D） 18765第 1 页共11 页（ 7）过三点 A(1,0), B(0, 3), C(2,3) ， ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）。（ A） 5（ B）21（ C） 2 5（ D） 43333（ 8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 。执行该程序框图，若输入a, b 分别为 14,18 ，则输出的 a =（ ）。（ A） 0（ B） 2（ C） 4（ D） 14（ 9）已知等比数列 an 满足 a11 ，4a3 a54(a41) ，则 a2（）。（ A） 2（ B） 1（C） 1（D） 1o28为球面上的动点。若三棱锥O-ABC体(10)

4、已知 A， B 是球 O的球面上两点， AOB=90,C积的最大值为36 ，则球 O的表面积为（）。（ A） 36（ B） 64（ C） 144（D）256(11) 如图，长方形 ABCD的边 AB=2 ，BC=1，O 是 AB的中点，点 P沿着边 BC， CD与 DA运动， BOP=x。将动点 P 到 A ，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x) ，则 f ( x) 的图像大致为 ( ).（ A）（ B）（C）（ D）（ 12）设函数 f ( x) ln(1| x |)1，则使得 f ( x)f (2 x 1)成立的 x 的取值范围1x2是（）（ A） (1 ,1)（ B） (, 1

5、 ) U (1,) （ C） ( 1 , 1)（ D） (, 1) U ( 1 , )333333二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分（ 13）已知函数f ( x)ax32x 的图象过点（ -1,4 ），则 a。第 2 页共11 页xy50（ 14）若 x, y 满足约束条件2xy10 ，则 z2xy 的最大值为。x2y10（ 15）已知双曲线过点(4,3) ，且渐近线方程为y1x ，则该双曲线的标准方程为。2（ 16）已知曲线 y xln x 在点（ 1,1 ）处的切线与曲线y ax2( a2) x 1 相切，则a。三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（ 17）（本小题

6、满分12 分）ABC 中， D 是 BC 上的点，AD 平分BAC ， BD 2DC 。（）求 sinB ；（）若BAC60o ，求 B 。sinC（ 18）（本小题满分12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B 两底分别随机调查了 40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率表。A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频率表满意度评分分组50,6060,7070,8080,9090,100频数2814106（）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度

7、评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）A 地区用户满意度评分的频率分布直方图第 3 页共11 页（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由。（ 19）（本小题满分 12分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16， BC=10， AA1=8，点 E ，F 分别在 A 1B1， D1C1上， A1E=D1F=4。过点 E ，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（）在图中画出这个正方形（不必说

8、明画法和理由）；（）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值。（ 20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆x2y21 (a b 0) 的离心率为2C：b2，点a22(2, 2) 在 C 上。（）求 C的方程；（） l 不过原点 O且不平行于坐标轴，l与 C 有两个交点 A，B，线段 AB的中点为 M。证明：直线 OM的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。（ 21）（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)ln xa(1 x) 。（）讨论 f (x) 的单调性；（）当f ( x) 有最大值，且最大值大于2a2 时，求 a 的取值范围。请考生在第22、 23、 24 题中任选一题做答，如果多做，

9、则按所做第一题记分，做第 4 页共11 页答时请写清题号。（ 22）（本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲如图， O为等腰三角形ABC内一点， O与 ABC的底边交于M,N 两点，与底边上的高 AD交于点 G，且与 AB， AC分别相切于 E,F 两点。（）证明： EF P BC ；（）若 AG等于 O的半径，且 AE MN2 3 ，求四边形 EBCF的面积。（ 23）（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程xOy 中，曲线 C1xt cos在直角坐标系:( t 为参yt sin数， t 0) ，其中 0。在以 O为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 :2

10、sin，曲线 C3 :2 3 cos。（）求 C2 与 C3 交点的直角坐标；（）若 C1 与 C2 相交于点 A， C1 与 C3相交于点 B，求 |AB| 的最大值。（ 24）（本小题满分10 分）选修 4-5 ：不等式选讲设 a, b, c, d 均为正数，且 ab c d ，证明：（）若 abcd ，则abcd ；（） abcd 是 | a b |c d | 的充要条件。第 5 页共11 页2015 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题：题号123456789101112答案ADDBACBBCCBA【详细解析】1因为，A x |1x2 ， B x | 0x3 ，所以

11、 A U B x |1x3 。2. 试题分析：由 2 ai 1 i 3 i 2 4i a 4 ，故选 D.3.试题分析： 2006年以来，我国二氧化碳排放量与年份负相关，故选D4. a21 ， agb = -2 ，所以 ( 2ab)ga = 2a2agb = 0 。5.试题解析： a1a3 a5 3a35 a1 a55a3 5 .3 a3 1， S5216.试题分析：截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的67. 圆 心 在 直 线BC 的 垂 直 平 分 线 x1 上 。 设 圆 心 D (1,b)， 由DADB 得| b |1 (b3) 2，解得 b2 2。圆心到原点的距离d12(2

12、 2)221。3338. 试题分析：输出的a 是 18,14 的最大公约数 29试题分析： a424 a41a42所以 q3a48q2故 a2 a1q1，a1，2 。10. 设球的半径为R，则AOB 面积为1R2 ，三棱锥 OABC 体积最大时， C 到平面21 R3AOB 的 最 大 距 离 为 。 此 时 V36 ， 解 得 R 6。 球 的 表 面 积 为6S4 R2144 。第 6 页共11 页11. f ()2 2 ， f ()52 ，所以 f ()f () 。排除 C，D 。当3x42424时， f ( x)tan x1，可排除 A 。cos x12. f x是 偶函数，且在0,是

13、 增函数，所以f xf 2x 1f xf 2x 1x1x 1 .2x 13二、填空题：13. 214.815.x2y21316.24【详细解析】13.试题分析：由 f 1a24a2.14. 不等式表示的可行域是以（ 1，1），（2,3），（3,2）为顶点的三角形区域，z2xy 的最大值在顶点处取得。经验算，x3, y2 时， zmax8 。15. 试题分析： 根据双曲线渐近线方程为y1x ，可设双曲线的方程为x2y2m ，24把 4, 3 代入得 m 1.16. 试题分析：曲线 y xln x 在点1,1 处的切线斜率为2，故切线方程为 y2x 1 ，与 y ax2a2 x 1联 立 得 ax

14、2ax 2 0 ， 显 然 a0 ， 所 以 由4a28a 0a2。三、解答题：（ 17）解：（） AD 平分BAC ，由根据三角形内角平分线性质定理知，CDACBD。AB根据正弦定理得sinBAC 。又由于 BD2CD ，所以 sinB1 。sinCABsinC2（）因为BAC60o ，所以 sinBsinB1 ，sinC sin(120oB)2第 7 页共11 页o 3 o 即 sin(120 B) sin B ，解得 tan B 。所以 B 30 。（ 18）（）解： B 地区用户满意度评分的频率分布直方图从两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出B 地区用户满意度评分的平均值高于

15、A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，A 地区用户满意度评分比较分散。（）解： A,B 两地区评分等级概率如下表：设事件 A 表示“ A 地区的满意度等级为不满意” ，则 P( A)(0.01 0.020.03) 100.6；设事件 B 表示“ B 地区的满意度评分等级为不满意”，则 P( B)280.25 。40因为 P( A)P(B) ，所以用户的满意度等级为不满意的概率大。(19) 解 :( ) 交线围成的正方形如右图：过 E 点作 EM AB, 在 AB上取 MH=6，则 EH=10，即EH=EF。作 HG AD,交 CD于点 G。连结 FG。四边形EFGH即

16、为所求作的正方形。（）如图，作FN CD，连结 MN，则VMEH NFG1810240；62VA1 EFD1 AMND4 810320 。于是 A1 EFD1 AHGD的体积： V1240320560 ； B1 EFC1 BHGC的体积： V21610 8560 720 。第 8 页共11 页所以 V15607。V27209（ 20）（）解：因为 e2，所以 a2c ，a22c2 。因为 a2b2c2 ，所以 b2c22因为点 (2, 2) 在 C上，所以421。解得 c24 ，所以 a28 ， b24 。a2b2椭圆 C 的方程为 x2y21。84A(x1, y1 ) ， B( x2, y2

17、 ) ， M (x 0 , y0 ) ，则x122 y128（）设x222 y22。两式两端作差得8(x12x22 ) 2( y12y22 )0 ，因式分解得 ( x1x2 )( x1x2 )2( y1y2 )( y1y2 )0 。2x0 ( x1x2 )4 y0 ( y1y2 )0 。因为直线 l 不过原点 O且不平行于坐标轴， 所以 x00 ，x1x20 。两端同时除以 x0 (x1x2 ) ，并整理得 y0y1y21 ，即 kOMk1。x0x1x22l2（ 21）（）解：因为f ( x)ln xa(1 x) ，所以1a1 ax。定义域为f ( x)xx(0,) 。a0. 令 f( x)0

18、，解得 0x1( x)0 ，解得 x1；令 f。1a1a单调递增区间为 (0,) ，单调递减区间为 (,) 。aaa0. 令 f( x)0 ，解得 x0 ；令 f ( x)0 ，解集为空集。单调递增区间为 (0,) ，无单调递减区间。若 a0 ，则 f ( x)1。当 x(0,) 时， f( x)0 。所以单调递增区间为(0,) ，x无单调递减区间。（）因为 f ( x) 有最大值， 所以由（）知a0。当x1f ( x) 最大aln a1时，。a第 9 页共11 页因为f ( x) 最大2a2 ，所以 ln a1 a 。若 a1 ， ln a1 a 不成立。若 a1 ， ln a1a ， ln

19、 a1 a 不成立。若 0a 1 ，则 ln a0,1 a 0 ，所以 ln a1a 成立。所以 a 的取值范围是(0,1) 。（ 22）（）证明：由于 ABC是等腰三角形， ADBC,所以 AD是 CAB的平分线。又因为 e O 分别与 AB， AC相切于点 E,F，所以 AE=AF。于是 AD EF。所以 EF BC。（）由（）知， AE=AF，AD EF，故 AD是 EF 的垂直平分线。又 EF 为 e O 的弦，所以 O在 AD上。连结 OE， OM，则 OE AE。 由 AG 等 于 e O 的 半 径 得 AO=2OE， 所 以OAE30o 。因此 ABC和 AEF为正三角形。因为

20、 AE2 3，所以 AO4 ，OE2 。因为 OMOE2， DM1 MN3 ， 所 以 OD 1 。 于 是 AD 5 ，2AB103 。3所以四边形 EBCF的面积为 S ABCS AEF1AB 2sin 60o1AB 2sin 60o221AE2sin 60o16 3。23（ 23）解：（）曲线 C2 :2sin的普通方程为x2( y1)21 ，即 x2y22 y 0 ；曲线 C3 :23 cos的普通方程为 (x3) 2y23 ，即 x223xy20 。x2y22y0x0x33 , 3) 。2 ，即交点为 (0,0)和 (联立x22 3x y，解得或20y 0y32 22（） x2y22 y0