2020届高考数学山东省二轮复习训练习题：专题三第3讲空间向量与立体几何

1、第 3 讲空间向量与立体几何解答题1.(2019 广东佛山模拟 )如图 ,在多面体 ABCDEF 中 ,底面 ABCD 为菱形 ,BAD=60 ,AB=2,DF=BE=1,AF=CE= 3,且平面 ADF 底面 ABCD, 平面 BCE底面ABCD.(1)证明 :EF平面 ADF;(2)求二面角 A-EF-C 的余弦值 .解析(1)证明 :分别过点 E,F 作 BC,AD 的垂线 ,垂足分别为点 N,M, 连接 MN.因为平面 ADF 底面 ABCD, 平面 ADF 底面 ABCD=AD,FM AD,FM ? 平面 ADF, 所以 FM平面 ABCD, 又 MN ? 平面 ABCD,所以 FM

2、 MN.同理可证 ,EN平面 ABCD, 所以 ENMN, 所以 FM EN.过点 B 作 BGAD, 垂足为 G.在 Rt AGB 中, BAD=60 ,AB=2, 则 AG=1.易知 ADF=60 ,所以在 RtFMD 中 ,MD= 1,FM=3 所以122 ,GM= 2.同理可得 BN= 1,EN=3 ,所以 GM=BN,FM=EN.2 2又 GM BN,FM EN,所以四边形 BNMG 为平行四边形 ,四边形 FMNE 为平行四边形 ,所以 MN GB,MN EF.从而 MN AD, 又 FM AD=M,所以 MN 平面 ADF, 所以 EF平面 ADF.(2)以 M 为坐标原点 ,M

3、A,MN,MF 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 M-xyz, 如图所示 .由 (1)知 MN=GB= 3,则 A( 32 ,0,0),F(0,0, 23) ,E(0, 3, 23 ) ,C( - 32 ,3,0) ,所以 ?3,0,3) ,? 3, 3,-3 ) .=(0,3,0),?=( - 22=( - 22?33- x1 + z1 = 0,设平面 AEF 的法向量为 m=(x111 则? AF = 0,解得?即 22,y ,z ),0,3y1 = 0,? FE =y1 = 0,z1 = 3x1 ,令 z1= 3,则 x1 =1,y1=0,所以 m=(1,0, 3

4、).?33- x2+ 3y2 - z2= 0,设平面 EFC 的法向量为 n=(x ,y ,z ),则?FC = 0,?即22解得222?FE = 0,3y2= 0,y2 = 0,z2 = -3x 2 ,令 z2=-3,则 x 2=1,y2=0,所以 n=(1,0,-3).从而 cos=? ?1 -31=- .|?|?|22 2因为二面角 A-EF-C 为钝角 ,所以二面角 A-EF-C 的余弦值为 -1.22.(2019 浙江 ,19,15 分) 如图 ,已知三棱柱 ABC-A B C ,平面 AACC平面11111ABC, ABC=90, BAC=30,A1A=A 1 C=AC,E,F 分

5、别是 AC,A 1B1 的中点 .(1)证明 :EFBC;(2)求直线 EF 与平面 A 1 BC 所成角的余弦值 .解析 本题主要考查空间点、线、面位置关系 ,直线与平面所成的角等基础知识 ,同时考查空间想象能力和运算求解能力 .本题考查了逻辑推理和直观想象的核心素养 .(1)证明 :连接 A 1E,因为 A 1A=A 1C,E 是 AC 的中点 ,所以 A 1EAC,又平面 A 1ACC 1平面 ABC,A 1E? 平面 A 1ACC 1,平面 A 1ACC 1平面 ABC=AC,所以 ,A 1E平面 ABC, 则 A 1EBC.又因为 A 1FAB, ABC=90,故 BCA 1F.所以

6、 BC平面 A 1EF.因此 EFBC.(2)取 BC 的中点 G,连接 EG,GF,则 EGFA1 是平行四边形 .由于 A 1E平面 ABC, 故 A 1EEG,所以平行四边形EGFA1 为矩形 .由 (1)得 BC平面 EGFA1,则平面 A 1BC平面 EGFA1,所以 EF 在平面 A 1BC 上的射影在直线 A 1G 上 .连接 A 1G 交 EF 于 O,则 EOG 是直线 EF 与平面 A1BC 所成的角 (或其补角 ),不妨设 AC=4,则在 RtA 1EG 中 ,A 1E=23,EG=3.? G 15,由于 O 为 A1 G 的中点 ,故 EO=OG= 1=222223所以

7、 cosEOG=?+O?-E?2? ?=5 .因此 ,直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值是 35 .3.(2019 河北衡水统一联考 )如图 ,在多面体ABCDFE 中,四边形 ABCD 是菱形 ,ABC=60 ,四边形 ABEF 是直角梯形 ,FAB=90,AF BE,AF=AB=2BE=2.(1)证明 :CE平面 ADF;(2)若平面 ABCD 平面 ABEF,H 为 DF 的中点 ,求平面 ACH 与平面 ABEF 所成锐二面角的余弦值 .解析(1)证法一 :因为四边形 ABCD 是菱形 ,所以 AD BC.又因为AFBE,AF AD=A,BC BE=B, 所以平面 ADF 平

8、面 BCE.因为 CE? 平面 BCE,所以CE平面 ADF.证法二 :取 AF 的中点 M, 连接 DM,EM, 如图所示 .由题意知 AM=BE, 且 AM BE,所以四边形 ABEM 为平行四边形 ,即 MEAB.因为四边形 ABCD 是菱形 ,所以 ABDC, 所以 MEDC,即四边形 DCEM 为平行四边形 ,所以 DM CE.又 DM ? 平面 ADF,CE?平面 ADF, 所以 CE平面 ADF.(2)取 CD 的中点 N,连接 AN,在菱形 ABCD 中, ABC=60 ,可得 AN AB.因为平面 ABCD 平面 ABEF, 平面 ABCD 平面 ABEF=AB,AF AB,

9、AF ? 平面 ABEF, 所以 AF平面 ABCD.以 A 为坐标原点 ,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.故 A(0,0,0),C(3,1,0),D(3,-1,0),F(0,0,2),31H( 2 ,- 2 ,1) ,则?=( 3 ,- 1 ,1) ,?=(3,1,0).22设平面 ACH 的法向量为 n=(x,y,z),?31x- 2 y + z = 0,则 ? AH = 0,即 2 ? AC = 0,3x + y = 0.令 x=1,可得 n=(1,-3,-3).易知平面 ABEF 的一个法向量为m=(1,0,0).设平面 ACH 与平面 ABEF 所成的锐二面角为,|? ?|7

10、即所求锐二面角的余弦值为7则 cos = 7,7 .|?|?|4.(2019 陕西第二次教学质量检测)如图所示 ,等腰梯形 ABCD 的底角BAD= ADC=60 ,直角梯形 ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD, 且EDA=90 ,ED=AD=2AF=2AB=2.(1)证明 :平面 ABE 平面 EBD;(2)点 M 在线段 EF 上 ,试确定点 M 的位置 ,使平面 MAB 与平面 ECD 所成的二面角的余弦值为 43 .解析(1)证明 :平面 ABCD 平面 ADEF, 平面 ABCD 平面ADEF=AD,ED AD,ED ? 平面 ADEF, ED平面 ABCD,AB ? 平面 AB

11、CD, EDAB.AB=1,AD=2, BAD=60 ,BD=1+ 4-2 1 2cos60=3,AB 2+BD 2=AD 2, AB BD.又 BD? 平面 EBD,ED ? 平面 EBD,BD ED=D,AB 平面 EBD.又 AB? 平面 ABE, 平面 ABE 平面 EBD.(2)以 B 为坐标原点 ,BA,BD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(0,0,0),C( - , 3 ,0) ,D(0,3,0),E(0,3,2),F(1,0,1),122则?=(?12 , 23 ,0),?=(0,0,2),?=(1,0,0),?=(1,-3,-1),?=(0,?3,2).设 ?=?=( ,-3,- )(01),则?=?+?=(?,3-3 ,2- ).设平面 ECD 的法向量为 m=(x1,y1,z1),平面 MAB 的法向量为 n=(x2,y2,z2),?13= 0,则?CD = 0,2 x1 +2 y11则?即取 y2z1 = 0,=1,m=(- 3,1,0);?DE = 0,?x2 = 0,?BA = 0,即取 y=2-,则, ?x + (