教材补充_全等三角形概念及性质

1、 11.全等三角形11.1全等三角形1. 基本概念在我们周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形.这类图形在几何中有特殊的意义。把一块三角板按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角板形状、大小完全 一样吗？把三角板和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？从同一张底片冲洗出来的两张 尺寸相同的照片上的图形，放在一起也能够完全重合吗？由此可知，形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。所以，能够完全重合的两 个图形叫做 全等形。能够完全重合的两个三角形叫做 全等三角形。互相重合的顶点叫作1对应顶点A? DB? EC? F互相重合的边叫作对应边AB? DEBC? EFAC? DF互相重合的角叫作

2、对应角/ A? / D/ B? / E/ C? / F全等”用符号 总”来表示，读作 全等于”记作： ABCDEF 读作： ABC 全等于 DEF注意：记两个三角形全等时要求把对应顶点的字母写在对应的位置上。作用：准确找 出全等三角形的对应边和对应角。在图11 bl中，把厶ABC沿直效BC平th得到ADEE務图13.1-2中.把ABC沿直ftBC樹折180*.得到D0C在图111-3申把ABC捷转1803得到MED.各田中的两个三轴形全尊吗？可知：平移、翻折、旋转，形状、大小都不变2全等三角形的性质全等三角形的对应边有什么关系？对应角有什么关系呢？全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等；全

3、等三角形的对应角相等因为： ABCDEF所以：AB=DE , BC=EF , AC=DF，即（全等三角形的对应边相等）/ A= / D, / B= / E,Z C= / F，即（全等三角形的对应角相等）再次强调：在表示全等三角形边、角相等时对应顶点写在对应位置上3例题精讲找一找(1)若厶 AOC BOD ,对应边是，对应角是(2)若厶 ABD ACD ,对应边是，对应角是(3)若厶 ABC CDA ,对应边是，对应角是例 2 :如图，已知 ABC ADE, / C= /E,BC=DE, 其它的对应边有：；对应角有:例3: 1、找出图中的全等三角形， 并指出它们的对应边与对应角?如图， ABDA

4、CE，若/ B = 25 , BD = 6 cm, AD = 4 cm,你能得出厶ACE中哪些角的大小，哪些边的长度吗？为什么 ？O例4:已知 ABCDEF , A与D、B与E分别是对应顶点，/ A = 52，/ B = 67,4小结3BC = 15 cm。则/ F =, EF =cm。(2) 如图： ABC DCB，其中的对应边：与； 与；与。对应角:与；与； 与。1)知识点回顾:a. 能够完全重合的两个图形叫做全等形b. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。其中：互相重合的顶点叫作对应顶点互相重合的边叫作对应边互相重合的角叫作对应角c. 全等”用符号来表示，读作 全等于”d. 全等三角

5、形的对应边相等，对应角相等e. 在记两个三角形全等时要求把对应顶点的字母写在对应的位置上f. 寻找对应元素的规律，准确找出全等三角的对应边和对应角2)寻找对应元素的规律:(1) 有公共边的，公共边是对应边；(2) 有公共角的，公共角是对应角；(3) 有对顶角的，对顶角是对应角；(4) 两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；(5) 两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；(6) 对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;(7) 对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;(8) 可根据全等式找对应边和对应角。5练习写出所有对应角相等的式子。(1 ) ABC

6、 DEF,AB=DE,AC=DF,BC=EF.(3) 如图 ABD 也 CDB，若 AB=4 ,AD=5 , BD=6 ,贝U BC=,CD=。AD(4) 如图,已知 AOC也 BOD，求证：AC / BD5)如图所示，在 ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若厶EAB也 EDB也 EDC ,则/ C 的度数是( )。(A ) 15( B) 20(C) 25(D) 30(6)你能把三条边都相等的三角形分成两个全等的图形吗？能分成三个、四个、六个全等的图形吗？怎么分?1311.2全等三角形的判定一、SSS 定理AB=DE BC=EF CA=FD / A= / D / B= / E / C=

7、 Z F 思考：1满足这六个条件可以保证 ABC DEF吗？2. 如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证 ABC DEF吗？ 探究一：1.只给一个条件：只给一条边时；只给一个角时结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等2. 如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况?两边；一边一角；两角。结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等如果三角形的两个内角分别是30, 45。时两个三根据三角形的内角和为 180度，则第三角一定确定， 所以当三内角对应相等时,角形不一定全等结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。3

8、如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？三角；三边；两边一角；两角一边。三个角已知两个三角形的三个内角分别为30，60 ，90它们一定全等吗?结论：这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等三条边已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm。它们一定全等吗?6cmC =AC.探究二：先任意画出一个厶 ABC，再画出一个 A B C使A B = AB ,B C 把画好 A B 的剪下，放到 ABC上，他们全等吗？画法：1画线段B C=BC;2分别以B, C为圆心，BA,BC为半径画弧，两弧交于点A;3. 连接线段 A B, A C.上述结论反映了什么规律？边边边公理：三边对应相等

9、的两个三角形全等。简写为边边边”或SSS”注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。如何用符号语言来表达呢 ？在厶ABC 与厶DEF中AB=DEAC=DFBC=EF ABC DEF （ SSS）例1:如图， ABC是一个钢架，AAB=AC,AD 是连接A与BC中点D的支架,求证: ABD ACD证明： D是BC的中点 BD=CD在厶ABD与厶ACD中AB=AC （已知）BD=CD （已证）AD=AD （公共边） ABD ACD （ SSS）/ B= / C,归纳：证明的书写

10、步骤： 准备条件：证全等时要用的条件要先证好; 三角形全等书写三步骤：1写出在哪两个三角形中2摆出三个条件用大括号括起来3写出全等结论练习：已知：如图， AB=AD , BC=DC,求 证： ABC 也 ADCC例2:填空题：（1）如图，AB=CD , AC=BD , ABC和厶DCB是否全等？试说明理由。解： ABC DCB理由如下：AB = CDAC = BD = ABC 也 （）（2）如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE , AF=DE，要使 ABF ECD，还需要条件(2)(1)例 3:已知：如图 1 ,AC=FE , AD=FB,BC=DE ,求证：(1) ABC FDE ,

11、(2) / C= / E,(3) AC / EF; DE / BC证明：(1)v AD=FB AB=FD (等式性质)在厶ABC和厶FDE中AC=FE (已知)BC=DE (已知)AB=FD (已证) ABC FDE (SSS)(2)T ABC FDE (已证) / C= / E (全等三角形的对应角相等）F(3)例4：已知:如图,AB=AC , DB=DC，请说明/ B = / C 成立 ABD ACD (SSS)的理由解：连接AD / B = / C （全等三角 形的对应角相等）在厶ABD和厶ACD中,AB=ACDB=DC（已知）AD=AD（已知）（公共边）BC例5:已知：如图，四边形ABCD中,构造公共边是常添的辅助线是/ DAC的平AD=CB，AB=CD，求证： / A = / C。分析：要证两角或两线段相等，常先证这两 角或两线段所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。例 6:已知：AC=AD , BC=BD，求证：AB分线.证明：在厶ABC和厶ABD中AC=AD（已知）BC=BD （公共边）AB=AB（已知）/仁/ 2 （全等三角形的对应角相等） AB是/ DAC的平分线（角平分线定义）小结:1边边边公理：有三边对应相等的