35提高_空间向量的直角坐标运算(理)126

1、空间向量的直角坐标运算 【学习目标】 1. 理解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2. 掌握空间向量的坐标运算、夹角公式、距离公式。 3. 能通过坐标运算判断向量的共线与垂直. 【要点梳理】 要点一、空间向量的基本定理 1.空间向量的基本定理： 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc . 2 .基底、基向量概念： 由空间向量的基本定理知，若三个向量a、b、c p|p=xa+yb+zc , x、y、z R，这个集合可看做是由向量 的一个基底. 要点诠释： (1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量

2、的一个基底； (2) 由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面, 就隐含着它们都不是 0; (3) 一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念. a、 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是 a、b、c生成的，所以我们把a、b、c称为空间 b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底. 要点二、空间向量的坐标表示 (1)单位正交基底 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，常用r，r，k表示; (2 )空间直角坐标系 在空间选定一点 0和一个单位正交基底i，r，k

3、，以点0为原点，分别以r，r，k的方向为正方向建立 三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系 O xyz，点0叫原 r r r 点，向量i,j,k都叫坐标向量。 通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面; Az ry (3)空间直角坐标系中的坐标 给定一个空间直角坐标系和向量a,其坐标向量为i, j, k，若a=a1i+a2j+a3k，则有序数组(a1, a2, a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a= (a1, a2, a3). ULUUUU 在空间直角坐标系 Oxyz中，对于空间任一点 A,对应一个向量 0

4、A，若0A xi yj zk ,则有序数 组(X, y, z)叫点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A (X, y, z),其中x叫做点A的横坐标，y叫 写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒. 点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标. 要点诠释： (1) 空间任一点P的坐标的确定. 过P作面xOy的垂线，垂足为 垂线，垂足分别为 A、C,则X=|P / p/, C|, (2) 空间相等向量的坐标是唯一的；另外, 在面xOy中，过P/分别作X轴、y轴的 y=|AP / I, z=|PP/ I .如图. 零向量记作 0 (0,0,0)。 要点三、空间向量的坐标运算 (1)空间两点的距离公式 若 A(X

5、i,yi,Zi) , B(X2,y2,Z2)，则 uju uuu uur AB OB OA(X2,y2,z2)(Xi,yi,Zi) (X2 Xi, y2 yiZ Zi) 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐 标。 lABI TABT 7(X2 Xi)2 (y2 yi)2 (Z2 Zi)2 , 或 dA,B 7(X2 Xi)2 (y2_yi)2 (Z2 Zi)2 . 要点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量 uuu AB的坐标表示，然后 再用模长公式推出。 (2)向量加减法、数乘的坐标运算 rr 若a r (Xi,yi,Z

6、i), b r (X2,y2,Z2)，则 a b (Xi X2, yi y2,zi Z2); r r a b (Xi X2, yi y2,乙 Z2); a ( Xi, yi, zi)(R)； |a I ja a yfaia22 a32 , |b| XT ylbrbrb32. (3 )向量数量积的坐标运算 rr 若 a (xi, yi,zi), b (X2,y2,Z2)，则 r r a bX1X2yiy2ZiZ2; 即:空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 (4 )空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 rr 若 a (81,82,33), b (b,b2,b3)，贝U r r c

7、os a b a b r 826asbs r (a r r 0,b r 0) lal |b| 屆2 2 32 a32 曲 b22 b32 要点诠释： (1丿夹用公式可以根据数量积的疋乂推出： r r r r r r r r r r a b 其中 a b |a|b| cos a bcos a b , 0的范围是 0, |a| |b| Luur Lum Luur uuu uuu uur uuu uuu AC, BD AC,DB CA, BD CA, DB r 要注意所求角度与 用此公式求异面直线所成角等角度时, (5 )空间向量平行和垂直的条件 卄rr 若 a (X1,y1,Z1), b B的关系

8、(相等，互余，互补)。 (X2,y2,Z2)， r r a/b X1X2, % y2, Z1Z2 ( R) A 十：(“20) 规定: 作用: X1X2yiy2 Z1Z20 0与任意空间向量平行或垂直 证明线线平行、线线垂直 【典型例题】 类型一、空间向量的坐标表示 例1.如下图，已知在正四棱锥 P-ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是 PA、PB的中点，分别按照下列要求建立空间直角坐标系，写出点 分别以射线 DA、 (1 )如下图甲，以 立空间直角坐标系； (2 )如下图乙，以 立空间直角坐标系. O为坐标原点, O为坐标原点, 分别以射线 0A、 DC、 0B、 【思路点拨】 要求空

9、间某一点 即可. 【解析】(1) 因为点B在坐标平面 uuu 所以向量OB的坐标为(1, A、B、C、D、 OP的指向为X轴、 0P的指向为X轴、 2, E、F分别是侧棱 P、E、F的坐标. y轴、z轴的正方向，建 y轴、Z轴的正方向，建 uuuu 的坐标，只要求出以原点O为起点、M为终点的向量 OM的坐标 uuo xOy内，且底面正方形的中心为0、边长为2，所以OB i j , 1 , 0),即点B的坐标为B (1 , 1 , 0) 同理可得 A (1, 1, 0), C (- 1, 1, 0), D (- 1, 1, 0) uuur 1 mu 因为F为侧棱PB的中点，所以0F 2(ob u

10、uu OP) 1 2(i 1 j 2k) 2i 1 . 2j k， uuu 又点P在z轴上，所以OP 2k, uuu p (0, 0, 2). 所以向量OP的坐标为(0, 0 , 2),即点P的坐标为 所以点F的坐标为F 1,2,1. 2 同理点E的坐标为E - 2 故所求各点的坐标分别为 A (1 , - 1 , 0), B ( 1,1 , 0), C (- 1 , 1 , O), D (-1 , 1, 0), P (0, 0, 2), E F 2,1,1； 2 2 (2)因为底面正方形 ABCD的中心为0、边长为2, Luu 由于点A在x轴的正半轴上，所以OA J2i，即点A的坐标为A(J

11、2,0,0). 同理可得 b(o,Qo), c( 72,0,0), D(0, 72,0), p(0 , 0 , 2). 因为E为侧棱PA的中点. i 2 uur 1 uur 所以OE (OA 2 uuu 1 L OP) -(J2i 2k) 2 所以点E的坐标为 E 咨,0,1 . 同理点F的坐标为 F 逹，1 . 故所求各点的坐标分别为 A(72,0,0), b(0,72,0), c(血,0,0) ,D(0,血,0) , P( 0,0,2), E ,0,1 2 【总结升华】解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三 个不同方向上的分解向量的模同一几何图形中，由于

12、空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不 同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征,尽 量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造. 举一反三： 【变式1】已知ABCDA1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别为BB1和DC的中点，建立如图所 示的空间直角坐标系，试写出图中E、F点的坐标。 X, 【答案】 C ( 0, 2 , 0), D (0 , 0, 0)且F为DC的中点， - F ( 0 , 1 , 0 )o 又 B (2, 2 , 0) , B1 (2 , 2 , 2),且 E 为 BB1 的中点， E ( 2

13、 ,2 ,1)o 【变式2】 如图所示,已知 PA丄平面ABCD , M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD , 四边形ABCD为正方形.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求MN、DC C M S N - 的坐标表示. ujur 【答案】MN 1 1uLur 丄,0,丄，DC 2 2 (0,1,0). 类型二：空间向量的直角坐标运算 【高清课堂：空间向量的坐标运算 例 2、已知 a=(2，1，2), 399111例题1】 b= (0, 1,4)，求 a+ b , ab , 3a +2 b , 【思路点拨】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积

14、等于它们对应坐标乘积的和。 【解析】 a = ( 2, 1 , 2) , b = ( 0 , 1 , 4), a + b = (2, 1, 2) + (0, 1, 4) =(2+0 , 1+(1), 2+4) =(2,2,2)o a b= (2, 1, 2) (0, 1, 4) =(20, 1 (1), 24 =(2,0 ,6) o 3a+2 b=3 (2, 1, 2) +2 ( 0, 1, 4) =(3 X2, 3 X(l), 3 X(2) + (2 X0, 2 X(l), 2 X4) =(6, 3, 6) + (0, 2, 8) =(6, 5, 2)o a b= (2, 1, 2) (0,

15、 1, 4) =2 X 0+(1) x(l) + (2 ) X 4 =0+1 8= 7 【总结升华】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积 等于它们对应坐标乘积的和。 举一反三： rrr 【变式】已知向量 a=r (3r 5, -1), b= (2, 2, 3), c= (4r, -1 , -3)，则下列向量的坐标是: 2a=: a b c : 2a 3b 4c ； ma nb _ 【答案】(6,10,-2):(1,8,5):(16,0,-23) ; (3m+2n,5m+2n,-m+3n) 例3. (1) (2) (3) 【答案】 (1) 已知向量 a =

16、 (4 , - 2 , 4) , b = (6 , 3 , 2),求: a b; lal, |b|; (2a+3b ) - ( a 2b) a b=4X 6+( 2) X ( 3)+( 4) X 2=22 |a| 742( 2)2 ( 4)26 ; |b| J62 ( 3)2 227 ； (2a 3b) (a 2b) 2a2 3a b 4a b 6b22 62 22 6 72 244 o 【总结升华】空间向量求模的运算要注意公式的准确应用 举一反三： 【变式1】已知a （1,2,2）, b (1,0,1) 求|：|,洁|; r r ,求 a,b 6 【答案】 0 r r a,b r r -a,

17、b 【变式 2】(2015 武汉月考）已知 1,1），且a与b的夹角为钝角，贝y x |a| J12 22 22 3, r r a b 为X2 乙Z2 r r r r a b 3 cos a,b -r- (1) 1 |a|b| 3 |b| 712 02 12 迈 1 2 0 的取值范围是（ A. (- 2, + 8) B. 5_ 2,3叫, C. (-8,- 2) D. 5 勺） 【答案】 【解析】 cos r r a,b r r a b -rr- |a| |b| 2(x 1) 3 J/20，解得 V22 72 (x 1)2 2，故选A. 例4 .已知空间三点 A ( 2, 0, 2), B

18、( 1 , 1, 2), C ( 3, 0, r uuu r uuuT 设 a AB, b AC r r (I)求 a, b (n)若向量 r r r r ka b与ka 2b互相垂直, 求k的值。 【思路点拨】 (I)利用数量积定义求 cos r r a, b ，再求 r rr r r r a,b ； (n)先求出ka b与ka 2b坐标表 示, 利用数量积为 0求k 【解析】 r (I) a ULU AB UUU OB ULU OA (11,0) , b uuu AC UULT OC UUU OA (-1,0,2) cos r r a, b r a -t_t- |a|b| (1,1,0)

19、(1,0,2)_ 0 22 1 ( 1) 1.0 罷45 0.2 r r a, b arccos( 7io) 10 ) arccos逅 10 r (n) ka r (ka (k (k b)(ka 1)(k 2) 5或k 2 1,k,2) r r 2b) k 【总结升华】 (I)利用数量积定义求 cos r ka r 2b (kca 2( 4) r b) (k r (ka 0 2,k, r 2b) 4), r a, (n)先求出k； b与k； 2b坐标表示，利用数量积为 举一反三： 【高清课堂: 【变式1】 空间向量的坐标运算399111例题3】 r 已知a 2,2,0)， 2,0, 2)，求一

20、个向量 r 设 n (X, y,z),由 r n r n r a r b r n r n r a r b 2x 2y 2x 2z 0 ，令X 0 (1,1,1)- r 【变式2】已知a r ka r b r / a 3b，求实数k的值； r r r r ka b ) a 3b ，求实数 k的值; r r ka b 取得最小值, 求实数 k的值。 (1,5, 1)， (2,3,5) (1 )若 (2 )若 (3 )若 ABCD A1B1C1D1 中，E,F 分别是 DD1,DB 中点，G 在棱 CD 上, CG -CD , 4 r (1)Q ka r b / r a r 3b r r , ka

21、b r r a 3b 即(k 2,5k 3, k 5) (7,4, 16 ) k 2 7 由5k 3 4 1 解得k1; 3 k 516 r r r r r r r r (2)Q ka b a 3b ,ka b g a 3b (k 2,5k 3, k 5)g7, 4, 16) 0 , 即 3k 106 0 , 解得k 106 ; r r 3 (3) ka b 7(k 2)2 (5k 3)2 ( k 5)2 8 r r 当k 时， ka b 取得最小值。 27 【变式3】 0 在棱长为1的正方体 727k2 16k 38 H是CiG的中点, (1)求证：EF B,C ； (2)求EF与GG所成的

22、角的余弦; (3)求FH的长. 【答案】 如图以D为原点建立直角坐标系 D xyz， 则 Bi(1,1,1), C(0,1,0)，E(0,0, 1113 1)，F(1,?0)，G(0,4,0)，CE1)， 1 / C1 E H L. 1 D F G / C 1 y Ai B 7 1 H(,”)， 8 2 uuu 1 1 ef (1,1, 2 2 uuuu (2)t C1G (0, 1 uuur ),B1C 2 1 4, 1)， (1,0, uuu uulu 111 1)，： EF BC(越 2) (1,0, 1) 0，二 EFB1C . uuu 二 EF uuuu GG (2,2, 2) (0

23、, 2 22 uuu |EF | 4,1) 2， uuuu / IC1GI J(0)2 (寸)2 ( 1)2 uuu ujut - cos(EF,C1G) 3 8 占#7 24 j51 筹， EF与GG所成的角的余弦 751 77 LULT (3)v FH ( uur 昇)，-|FH J( 1)2 审(弓2 类型三、空间向量的共线与共面 例5 .若空间三点A （1 , 5 , 【解析】 A、B、C三点共线, B (2 , 4 , 1 ), C ( p , uuu 则有 AB与 2), 3, uultuuu AC共线，即AB q+2)共线，则p= uiur AC o ，_q= uuu 又 AB

24、(1, 1,3), uuur AC (P 1, 2,q4), (P 2 1) (q 4) 【总结升华1 举一反三： 【答案1 UULT 法一： - AB uuu 则AB A、 法二： uuu OA 【变式1】已知 uuur (1,3,4),AC(2,6,8), 3x 7x 5x 4y 10y 9y 2x 5y 1 2x y 3 4y 4 2x 1 3 uur OA uuu 2OB uuur OC 且 x+y=1, 在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解 uuuuuuuur OA (2,4,1),OB (3,7,5),OC (4,10,9)，求证：A、B、C三点

25、共线. 1 UULTuuu uuur uuu UULT 1 AC , AB II AC，又 AB、AC 有公共点 2 B、C三点共线. UUUuuur xOB yOC (x,y R),则： (2,4,1)=(3x,7x,5x)+(4y,10y,9y)=(3x+4y,7x+10y, 5x+9y) B、C三点共线. 【变式21（2015春 拉萨校级月考）已知点 uuur uur 1), C为线段AB上一点，且3| AC | I AB I， B. (3, 3,2) C.岸,1,弓 33 则点C的坐标是（ 71 5 A. r,匚匚） 2 2 2 【答案1 C uuur uuu 【解析】 C为线段AB上一点，且3| AC | |AB |, uur - AC 1 uur -AB , 3 uuu OA 1 uujr AB 3 1 (4,1,3)3( 2, (罟,1,3)。 33 故选：Co 例6 .求证A ( 3, uur OC 6, 2), 【思路点拨】要证三向