二项式定理.版块七.二项式定理的应用4其他.学生版

1、知识内容21. 二项式定理二项式定理(a +b ) =C0aCn1an+Cn2ab2 +. +C：bn (nN*)这个公式表示的定理叫做二项式定理.二项式系数、二项式的通项C：an + C；anf+C2an&2 +. + Qb叫做（a+b ）的二项展开式，其中的系数C； （r =0, 1, 2, ., n ）叫做二项式系数，式中的C；abr叫做二项展开式的通项，用半表示, 即通项为展开式的第r +1项：Tr+=C；aZbr.二项式展开式的各项幕指数 二项式（a +b n的展开式项数为n +1项，各项的幕指数状况是 各项的次数都等于二项式的幕指数 n .n逐项减1直到零，字母b按升幕排列，从r

2、+1 项，这里 r =0, 1, 2,., n . 字母a的按降幕排列，从第一项开始，次数由 第一项起，次数由零逐项增 1直到n .几点注意 通项Tr+=C：a2br是（a+b j的展开式的第二项式（a+b）的r+1项和（b+a n的展开式的第r+1项C；bar是有区别的，应用二项式 定理时，其中的a和b是不能随便交换的. 注意二项式系数（cn）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而 项的系数有时可为负. 通项公式是(a + b )这个标准形式下而言的，如(a - b j的二项展开式的通项公式是Tr十=(1)cnanfr (只须把看成b代入二项式定理) 这与TyhCnaPf是

3、不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是C；，但项的系数一个是(_1 j cn，一个是C；，可看出, 二项式系数与项的系数是不同的概念. 设 a =1, b =x，则得公式：（1 +x ） =1 +。乂 +Cr2x2 +.+. +xn .通项是丰=C；anbr (r =0, 1, 2, ., n )中含有T, a, b, n, r五个元素, 只要知道其中四个即可求第五个元素.当n不是很大，IX比较小时可以用展开式的前几项求(1+x)n的近似值.2. 二项式系数的性质杨辉三角形：二项式系数也可对于n是较小的正整数时， 可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理， 以直接用杨辉三角计算.杨辉三角

4、有如下规律：“左、右两边斜行各数都是 1 其余各数都等于它肩上两个数字的和.”二项式系数的性质：(a+bj展开式的二项式系数是：C；, C；, ci, ., Cnn，从函数的角度看 cn可以看成是r为自变量的函数f(r )，其定义域是：o, 1,2, 3,，n.当n =6时，f (r )的图象为下图:201 1614JOL 3呑9F这样我们利用“杨辉三角”和n=6时f(r )的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式 cT得到.增减性与最大值如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幕指数是奇

5、数，中间两项的二项式系数相等并且最大. 由于展开式各项的二项式系数顺次是c0 1 C1 n c2 n(n -1)1 1 2c3 n(n-qn -2)n 1 2 3，：ckx n(nqn 2).( nk+2)“cn , cn1 2 3 . k 1 )n(n-1 jn-2 卜.(n k+2 n- k+1-12 3. “(k -1 )k3cn =1 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如n, n1, n-2,.），分母是乘以逐次增大的数（如1, 2, 3，）因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当 k依次取1, 2, 3,等值

6、时，cn的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等,n+1项，所以展开式有中间一项，并且这一项的所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间. 当n是偶数时，n +1是奇数，展开式共有n二项式系数最大，最大为 Cn2 当n是奇数时，n +1是偶数，展开式共有这两项的二项式系数相等并且最大，最大为n+1项，所以有中间两项.C =cF.二项式系数的和为2n，即C； +cn +c2+ .+C； +. .+C： =2n.奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即c：+C2+C4+.+c；+c；+.,22 常见题型有：求展开式的某些特定项、项数

7、、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题.目典例分析【例1】对于二项式丄+x3 （n壬N”），四位同学作出了四种判断： VX丿存在n忘N*，展开式中有常数项；对任意n忘，展开式中没有常数项； 对任意n亡N”，展开式中没有X的一次项；存在n亡N，展开式中有X的一次2【例21【例31项.上述判断中正确的是（A.B .由等式 X4 +4 X3 +a2x1 2 +a3x+a.D .=(x +1) +bi(x+1 ) +b2(x +1 ) +b3(x+1 严4，定义映射 f :，a2,a3,a4)T Qbbb)，则 f(4, 3, 2, 1)等于()A. (1,2, 3, 4) B. (0, 3, 4, 0 )C. (1, 0, 2, -2) D. ( 0,-3, 4, -1)求证:（cn）2+（cn）2 +川 +（cn）2 tn5【例41证明:ms cnd2mcm