求通项公式和数列求和的常用方法教师用

1、学习必备名师推荐精心整理求递推数列通项公式的常用方法公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an二n_2)，等差融列求和仝比導比鬧束和益式一i_q等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列的前n项和为Sn，并且anS. =1(n N*)，求aj的通项公式?【解析】：Sn - 1 - an ， an 1 Sn 1 Sn _ an an 1 ，1 1an 29n，又 a2，-an反思：利用相关数列与Sn 的关系：4 =S1,an二Sn-Sn(n2)与提设条件，建立递推关系,是本题求解的关键.跟踪训练1已知数列的前n项和Sn，满足关系lgSn1 =n(n =1,2).试证

2、数列 击是等比数列. 二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性， 这种方法叫归纳法例二 已知数列 七奁中，a1 -1， an =2an 1(n _ 2)，求数列1an?的通项公式.【解析】：a=1， an = 2an1(n _2)， . a2 = 2印 1 = 3，a3 =2 1 = 7 猜测an =2n 1 (n N*)，再用数学归纳法证明(略)反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明 其正确性跟踪训练2设aj是正数组成的数列，其前n项和为5，并且对于所有自然数n，务与1的等差 中项等于Sn与1的等比中

3、项，求数列 的通项公式.三 累加法：利用an =印(a2-aj (an-anJ求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an q =an f (n)的递推数列通项公式的基本方法(f(n)可求前n项和).例三 已知无穷数列的的通项公式是an二丄，若数列山鳥满足b=1， (n_1),求数列 g 12丿的通项公式.【解析】:D =1,bn彳-bn1bE他5血一梟円巧+ -=2-反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为an .1二an f (n).1跟踪训练3.已知印=丄，;2ana j - (n，N ),求数列心昇通项公式.四 累乘法:利用恒等式an二&鱼旦玉(an =0, n -2)求通项

4、公式的方法称为累乘法，累乘法是求型 a1 a2an 4如：an g(n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g(n)可求前n项积).例四已知=1= n(an1-an)(n，N*),求数列 匕討通项公式.【解析】：an(an1-an”n 1,又有 an邑色 乩(an = 0,n- 2)=anna1 a2a* 斗Q Qn1 x-x- xx = n,当 n = 1 时 a1 =1，满足 an 二 n， an 二 n .1 2n-1名师推荐精心整理学习必备反思：用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an厂g(n)an.跟踪训练4已知数列ian?满足a,= 1,an= a,2a23%亠亠(n-1)

5、an(n_ 2).则aJ的通项公式是.五构造新数列：类型 1 an 1 nf (n)解法：把原递推公式转化为an 1 -an = f (n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列a 满足a-二-，an 1 “n，求an。2 n+n解：由条件知： an , _ an =2_ _n +n n(n +1) n n +1个等式累加之，即分 别 令n =1,2,3,(n -1)， 代入 上式得(n 1)(a2 -ai ) (a3 - a2) (a4 - a3) (an - an)1i-)所以 an _ai =1 n -1 nn1 11 11 1 1= (1_2)(厂3)(3_4)(解法：把原递

6、推公式转化为类型 2 an_=f(n)an=f (n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an例2:已知数列a 满足a-3n,an 1nan，求 an。解：由条件知色-，an n +1.旦=丄 2 3 an t 2343n 1an 1an3n +2a2a3a4* *a,a?a3例3:已知a, =3 ,分别令n =1,2,3,(n-1)，代入上式得(n-1)个等式累乘之，即(n 1)，求 an。an 1ai3 2 -13-13n - 4 3n - 75 263-3n -1 3n -48 5 3n -1o3( n -1)-13(n - 2)-1解：ana,3(n1)+2 3(n 2)+232，则an

7、1 n =1n-2ani二ai 2a2 3a;:(n- 1)anj na.，用此式减去已知式，得an 1 -an = nan，即 a. 1 =(n 1)an，又 aa1， a34=4 旦_a3an4q (其中 p，q 均为常数，(pq(p-1) = 0)。的通项an二解：由已知，得 当n 一2时，-a =1,也=1严=3,4 =4,;上J二n，将以上n个式子相乘，得a.a_a：类型 3 an = pann!j(n_2)解法(待定系数法):把原递推公式转化为：an 了-t二p(an -t)，其中t弋，再利用换元法转化为等比数列求解。.例4:已知数列 玄中，印=1， an t =2an 3，求an

8、.解：设递推公式 an 2an 3可以转化为a. t-t =2-t)即a. i = 2a“t= t =-3 .故递推公式为 ani2(an3),令 g 二a.，则bip *3=4,且乩=色1=2.所以是以b,= 4 为首项，2bnan 3为公比的等比数列，贝U bn =4 2n4 =2n 1,所以an=2n1-3.变式：(2006，重庆，文,14)名师推荐精心整理在数列an)中，若a =1,an申=2an +3(n H1)，则该数列的通项an =_ (key：an =2n 3)类型 4 anpan qn (其中 p，q 均为常数，(pq( p1)(q 一 1) = 0)。r均为常数)(或 an

9、 .1 = pan - rq，其中p, q,解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn：1，得：工4二丄引入辅助数列bn?q q q q(其中bn =黑)，得：bn=bn +1再待定系数法解决。qq q例 5:已知数列:an / 中，a5,an1an (1)n1，求 a.。632an)1解：在 an1 Jan r1)1 两边乘以 2nd得：2n1 g =2(2n3232 2令 bn =2n 怜，则 bn 1 = bn 1,解之得：6=3-2()“3 3所以 abn=3(1)n-2(1)n223ai = ： , a?八给出的数列、an * ,方程类型5递推公式为an =pan卅+qan (其中

10、p，q均为常数) 解(特征根法)：对于由递推公式an ,2 pan 1 qan ， x2-px-q=0，叫做数列a 的特征方程。若X1,X2是特征方程的两个根，当x1 = x2时，数列a f的通项为an二Ax；-BxJ，其中A, B由a1 = ： ,a2二匕决定(即把a1,a2, x1,x2 和n =1,2，代入an Ax： Bx；，得到关于A、B的方程组)；当X1 =X2时，数列a匚的通项为a(A Bn)x1nJ，其中A，B由a - ,a -决定(即把印82,为公2 和n =1,2，代入an (A - Bn)x：，得到关于A、B的方程组)。例 6:数列？an：3an 2 -5an 彳 2an

11、 =0(n _ 0, n N)， aa,ab,求 an解(特征根法)：的特征方程是：3x2 -5x 2=0。 捲=1,x2,3.an 二 Ax：Bx； * = A - B (-)n 4。又由 a = a, a2 = b，于是3A=3b2a 故 a. =3b-2a 3(a-b)(2)nB=3(a-b)3a = A B2 =b 二 A BI3练习：已知数列an 冲,a1 =1, a2 = 2 ,an 2 =2an计an，求an。3 3.73/ 1严key: an(-匚)。4 43变式:(2006,福建，文,22)已知数列Sn 满足a1 =1,a2 =3,an 2 =3an 1 -2an(n，N*)

12、.求数列的通项公式;(I)解:an =n-an J (寺4-an J 2-q) d-2n4 -2n . 2 1n*=2 -1(n N ).类型6递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn = f (an)s (n = 1)解法：利用an、 与an =Sn- Sn4= f3n)- f 9n斗)消去Sn(n 2)或与S Sn4 (n2)精心整理学习必备名师推荐1n 七( 1求an1与an的关系；(2)求通项公式a2 -Sn = f (Sn - Sn)(n _ 2)消去an进行求解。1 解：(1)由 Sn =4 一务得：2 -1于是 Sn 1 Sn = (an an 1) ( _2 _ 所以 a n 1

13、 an _ a n 1 ? nan 1 = an，nan 1n 1aan 1例7:数列a /前n项和Sn =4-a丄)1an2 2(2)应用类型4 ( an斗二pan+qn (其中P, q均为常数，(pq(p-1)(q-1)式0)的方法，上式两边 同乘以2n1得：2n1ani =2弍，2由印=3 =41 -占=a1 / .于是数列2冷是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2nan =2 2(n-1) =2a.=夬数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓 通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法： 一、直接(或转化)由等差、

14、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 1、等差数列求和公式：222(q=1)2、等比数列求和公式：Sn =*6(1 -qn)/严Z)l q1-q3、n 1Sn =Z k = n(n +1)4n 21、Sn= k2 = n(n + 1)(2n + 1)k=12k#65、n 1Sn =迟 k3 =n(n+1)2k仝2例1(07高考山东文18)设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知 W， 且a 3,3a2，a3 4构成等差数列.(1) 求数列an的等差数列.(2) 令 bn =1 gn1, n =1,2,川，求数列bn的前 n项和T .&+

15、a? +a3 =7,解: (1)由已知得:(a1 3) (a3 4)解得 a2 .i2七2.2设数列an的公比为q ,由a2 = 2，可得a1 = , a3 = 2q .q2 2又 S3 =7，可知 2 27，即卩 2q2 -5q 2=0 ,q1解得q =2, q2.由题意得q 1, q=2 .2-a1 =1 .故数列an的通项为an =2心.(2)由于 0 =1 na3n 1, n =1,2,川,由(1) 得 a?.厂23bn = In 23n = 3n In 2 ,又 bn i - bn 二 3ln 2nbn是等差数列.名师推荐精心整理学习必备n(dbn)_2n(3ln 2 3ln 2)故

16、 Tn(n %2 .22= 3ln2.2练习：设 S= 1+2+3+n, n N；求 f (n)= (n +32)盼鱼 的最大值.二、错位相减法设数列a 1的等比数列，数列?是等差数列，则数列3nbJ的前n项和Sn求解，均可用错位相 减法。例2 (07高考天津)在数列 n /中，印=2, an 1仝.ann1 (2 -，)2n( nN )，其中0 .(I)求数列fan?的通项公式；(U)求数列:an /的前n项和Sn ；(I)解：由 an+=han+切十+(2-扎)2n( n Nj，扎 0 ,a 乃曽可得竺壬2匕丿-2 为等差数列，其公差为1,首项为0,故也- ？1 n .an 1nanann

17、所以a式为 an =(n -1) n 2n .(n)解：设 Tn - 2 2 3 3 4 11(n - 2) n J (n -1)，n , XTn =九3 +2k4 +3k5 + 川+ (n-2)Xn +(n _1)九n_H 当，=1时，式减去式，2得(1)Tn =，2 人3 川n - (n -1) n 1 ：n -1-(n -1)，,n= n-1，所以数列 订鳥的通项公1 -人2n1n1n2n12(n -1)人 (n -1)n?、Tn(1-)21 -(1 J2.n 2n! 1这时数列的前n项和Sn二(-)再2n 1 - 2 .(1-心.这时数列號的前n项和Sn = n(n2_1) 2n2 .

18、当一1 时，Tn MJ1)例3 (07高考全国U文21)设an是等差数列，0是各项都为正数的等比数列，且 a = d = 1 , a3 b5 - 21 ,匕3 = 13(I)求an , bn的通项公式；I 1(U)求数列亚的前n项和Sn .ai解：(I)设的公差为d ,的公比为q,贝U依题意有q 0且1 2d q/21,l+4d +q =13,解得 d =2 , q =2 .所以 an =1(n -1)d =2n-1 ,n 4 n 4bn =q =2(H)%1 .bn2心352 n32n1Sn =1 2n-2m，2 2 2 - 2 -2Sn=2 3 I |(笋骑，222 2n _1得 Sn =

19、2 2 2 2 JH 2 尹，(1 1 1=2 21 3尹川尹1-丄 -習=22 肝 2J22n-1 2n 3_ 2；j = 6 _ 2“、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）2X例4设函数f （x） 1 2- 2的图象上有两点P1（X1, y1）、珂y2），若 O2（OP1 OP2），且点P的横坐标为1 .2（I ）求证：（II）若 SnP点的纵坐标为定值，并求出这个定值;123n二 f（） f（） f （巴厂f（），nn, n N*,求Sn；n一 1 一 1(I )v OP=(OR OP2),且点P的横坐标为一2 2二P是P1P2的中点，且X1 X12

20、X1 2X22X2 2X1 、2XiX2% y2 二24、,2X22X2.2X1 2X2 八yp由（i）知，又se 1Xif X2 =1,且f 1 = 2 _、2_ in 1f卫1n ，（ 1）+（2）得: d 2nnS-f；X1 X2 可 f f 2川f nf 川 f 二 I n丿i2S f 1 f i1 ff i 2 i f ij| f in f i1Sn_ n . n 一 .n. n 川一 ,n.n=2f 111 TH 1 二 n 3-2、.2亠 n +3-22Sn2四、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解, 然后重新组合，使之能

21、消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）女口：（1）1 1 1（1） ann（n 十 1） n n 十1名师推荐精心整理学习必备(2) a(3) a(2n)21 z 1 1 1 ( ) (2n 一 1)(2n 1)2 2n 一1 2n 11 1 r 1 1T - :；n等。n(n -1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)1 1例5求数列 ,解：设an1 2 .、2 s I n r n 的前 n 项和.=.n 1 _ i n（裂项）.n i. n 11 1贝U Sn =+ +n 1.2、2 R.n、.n 1=(.一2 - .1) (,.3 - .2)(. n 1 - n).

22、n 1-1已知二次函数y = f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)=6x-2，数列an（裂项求和）例6（ 06高考湖北）的前n项和为Sn，点（n,&）（n N ”）均在函数y = f （x）的图像上。（I）求数列a.的通项公式;（U）设 bn anan 1，是数列bn的前n项和，求使得Tn ：琉对所有n N ”都成立的最小正整数 m解：(I)设这二次函数 f(x) = ax +bx (a 丰 0),贝U f (x)=2ax+b,由于 f (x)=6x 2,得a=3 , b= 2,所以 f(x) = 3x 2x.又因为点(n ,Sn)( n N )均在函数y=f(x)的图像上，所以Sn

23、 = 3n2 2n.当 n2 时，an= Sn S1=( 3n 2n)n -1)2 -2(n -1)丄 6n 5.当 n = 1 时，a1 = S = 3x1 2 = 6X 1 5，所以，an = 6n 5 ( n - N )33111(U)由(I)得知 0 =一=-(-)，(6n-5) 6 (n-1)-52 6n-5 6n+11 11-)=-(1).6n 121m,必须且仅须满足-2an an 117n1 _ 1故 Tn=二：bi =（1 - ）（y271 1 因此，要使丄（1）26n +1要求的最小正整数m为10.评析：一般地，若数列an匚为等差数列，且公差不为0,首项也不为0,1 1J.(6 n-5m20（N ”）成立的6n 120，即诈10,所以满足则求和:虑 1丄（丄）则 U、iaiai + i 1 d ai ai +ia