6六节定积分的几何应用

1、第六节定积分的几何应用分布图示定积分的微元法例1面积表为定积分的步骤直角坐标情形例2 例3 例4参数方程情形极坐标情形例5圆柱圆锥圆柱旋转体的体积例11例12平行截面面积为已知的立体的体积例例6 例7 例8旋转体例9 例1014例13例15内容小结 课堂练习 习题5-6内容要点：一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量总量)表示为定积分的方法 一一微元法，这个方法的主要步骤如下：(1由分害V写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量，并确定它的变化区间，任取I-JI的一个区间微元 ，

2、求出相应于这个区间微元上部分量曰 的近似值，即求出所求总量的微元(2由微元写出积分 根据 1写出表示总量的定积分微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下 一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1所求总量 关于区间匕1应具有可加性，即如果把区间U 分成许多部分区间，则 叵 相应地分成许多部分量， 而 叵 等于所有部分量亠 之和.这一要求是由定积分概念本身所决定的。(2使用微元法的关键是正确给出部分量IrJ的近似表达式LzlJ，即使得在通常情况下，要检验L-是否为冋的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意 的合理

3、性.二、平面图形的面积1 ）直角坐标系下平面图形的面积 和 I所围成的图形的面积(2I所求面积：例5求椭圆丨x 1所围成的面积解椭圆面积：_Jl面积微元：【1HJ * I例6VE04)求双纽线 1 所围平面图形的面积解面积微元： 所求面积:例7VE05 ）求心形线 I所围平面图形的面积解面积微元:所求面积：例8求出 3 和 3 的图形的公共部分的面积 其中 g ）.解如图（见系统演示 ，由对称性可知，所求面积为阴影部分面积的8倍，且线段 厂在直线上.令代入方程得其极坐标方程为于是所求面积可表示为9VE06）连接坐标原点及点一I的直线、直线I凹 及轴围成一个直角三角形将它绕冃轴旋转构成一个底半径

4、为 解体积微元：高为的圆锥体，计算圆锥体的体积所求体积：例10VE07）计算由椭圆 围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积解如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆2 及;3轴所围成的图形绕 目轴旋转而成的立体取为自变量，其变化区间为rrii任取其上一区间微元相应于该区间微元的小薄片的体积，近似等于底半径为高为的扁圆柱体的体积，即体积微故所求旋转椭球体的体积为特别地，当时，可得半径为的球体的体积例ii求星行线解体积微元：绕轴旋构成旋转体的体积所求体积:例12计算由连续曲线I、直线I 1-1及 轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积解体积微元：所求体积:例13VE08）求由曲线一. 一

5、所围成的图形分别绕 x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积解画出草图，并由方程组3解得交点为 F及I I于是,所求绕轴旋转而成的旋转体的体积所求绕轴旋转而成的旋转体的体积例 14VE09) 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角可 图5-6-18)，计算这平面截圆柱体所得立体的体积解截面面积：体积微元:所求体积:例15求以半径为的圆为底、平行且等于的圆直径的线段为顶、高为的正劈锥体的体积解取底圆所在的平面为Ll平面，圆心 为原点，并使轴与正劈锥的顶平行.底圆的方程为过轴上的点 作垂直于轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形这截面的面积为0于是所求正劈锥体的体积为三三j 1 a即正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半课堂练