—粒子群优化算法的实证分析研究

1、粒子群优化算法的实证分析研究 摘要：这篇论文主要写的是我们实证分析研究粒子群优化算法的成就。具有非匀称的最初 范围的设置的函数是四种不同基准函数对所提算法被选作测试函数。这个实验的结果证实了 粒子群优化算法的利与弊。在所有的测试例子中，粒子群优化算法总是迅速地朝着最佳的方 向收敛，但是当它接近最小值时，它会减缓收敛速度。但是这个实验的结果表明粒子群优化 算法是一种有前景的优化方法，然而，这种新的方法预计将会提高粒子群群优化算法的效果 接近最优化，例如使用合适的惯性权重。 1引言 在种群中经过合作与竞争， 基于种群的的最佳方法常常能充分有效地找出很好的解决方 法。基于搜索的方法的大多数的种群很自

2、然地被进化所激发，遗传算法 【1】，进化规划【2】, 进化策略【3】以及遗传演变是四个有名的例子。在另一方面，粒子群优化算法受社会习惯 的模拟激发。但是它们都是用同一种方式运行，也就是依据在环境中获得的恰当信息，并通 过使用一些运算来更新个体的种群，以便种群中的个体能朝着更好的解决方案领域移动。 埃伯哈特和肯尼迪【5, 6，7 8】首次介绍了粒子群优化算法的演算法则，他们不是 使用进化的运算去操纵个体，然而在别的进化的估算法中，在粒子群优化算法中， 每个个体 保持一定的速度在探索空间中飞行，它们的速度是依据自身和伙伴的飞行经验而灵活变化 的。，每个个体在三维探索空间中被当做一个体积较小的粒子（

3、一个点） 二.n:- - v :代表第i粒子。第i粒子最初的位置（这个位置处于最佳 的值）被记录和代表为 :叩）符号g代表种群中所有粒子的最好的 _ 1.1- r * 代表粒子 i位置频率的变化（速度） 。这些粒子是根据 9 F列的公式来操作的。 F + C|* rand()*(pidxi4) + (ia) (ib) Cj* Rand( )* (p 朋-xy) Xid - Xid 十 Vid 当学习因子和：是非负数时,rand（）和rand（）是两个在范围0,1中随机函数。 粒子群优化算法不像在遗传算法，进化演变和进化策略中，选取操作不是由【9.10】执 行的。在粒子群优化算法所有的粒子在运行

4、过程中（这个运行作为居先于进化算法的各代的 种群）都作为种群的成员这就是该粒子的速度9，它的速度的更新是依据它自己和它同伴 最先前的位置。这些粒子以更新后的速度飞行。粒子群优化算法是唯一不完成密合度测试幸 存的进化算法9. 由于想到公式（1b）与遗传算法类似，很显然，粒子群优化算法也跟进化演变的算法相似。 在进化演变中，每个个体的都是通过增加随机函数（这种最普遍使用的随机函数要么是高斯 函数，要么就是柯西函数）突变的。文献【11，12】，但是在粒子群优化算法中，每个粒子 个体是根据自身的飞行经验和同伴的飞行经验而更新的。换句话说，在每个产生中，每个粒 子在粒子群优化算法中只能向有限的方向飞行，

5、并期待朝着更好领域的方向飞行。然而，在 进化编程，每个个体具有向任何方向飞行的可能性。也就是说，文献【13】粒子群优化算法 执行着一种具有“意识”的突变运算。按伦理上来讲，进化规划有更多机会飞入到全局最佳 的位置，而当“意识”能提供充分的信息的时候，粒子群优化算法能更迅速飞到更好的位置。 在进化规划中，全局与局部的搜索之间的平衡是通过适应高斯随机函数或步长的速度 (策略参数研究)来调整的，这些可以编码成染色体来进行自身进化。在粒子群优化算法中， 一个称惯性权重的参数研究被引进平衡的全局搜索和局部搜索时，公式就会变化为： Vy =+ C|* rand()事(p；d - x汩)+ ci* Rand

6、() * (pgd -)(2a) 石产 Xid+%d(2b) 在这里w指惯性权重【13, 14】。文献【9】这个惯性权重在模拟退火中具有暗示温度参 数研究的特征。大的惯性权重能促进全局搜索而小的惯性权重则促进局部搜索能力。经过粒 子群优化算法运行的路程，通过线性下降惯性权重从一个相对大的值到一个小的值，可以得 知，粒子群优化算法趋向于接近运行的开始时有更强的全局搜索能力，而越接近运行的末尾 时有更强的局部搜索能力。文献【13】中这个模拟的结果是：切夫F6函数的衡量基准问题说 明通过该运行路程，一个惯性权重从始于接近1到线性下降为0.4的值，比起所有的固定惯 性权重的设置，给了粒子群优化算法最好

7、的效果。 在文献【15】中，通过引导在进化优化文学中重点研究的四个非线性函数的实验，安热莉 娜把哲学和成果的不同之处在进化编程算法和粒子群优化算法中相比较。这个已经被运用的 进化编程算法是结合高斯和柯西函数的作为策略参数研究的更新函数的一种算法。这种算法 的版本在文献【12】中首次被公布，同时在文献【16】中表明它是优于其他更新函数的策略 参数研究。这个已经被运用的进化编程算法最初的一个被写为公式(1a)和(1b)。通过适应 策略参数研究来调整模拟的步长，理想被使用的进化编程算法已经具有向着最佳的搜索范围 调整的能力。由于只粒子群优化算法的原始的版本才涉及到她的比较范围内，在粒子群优化 算法中

8、，没有智能用来调整它自身的速度步长，因此，粒子群优化算法可能缺乏一些微调的 能力。在文献【15】中，这个实验报告表明，大体来讲，粒子群优化算法具有快速收敛的能 力却没有快速调整的能力，然而进化编程算法恰好相反。从这些结果，研究工作者期望有一 种具有能灵活调整速度的步长的方法，并期待粒子群优化算法的研究能提高到类似于进化编 程具有的更好的调整性能。 文献【13，14】通过引进线性下降的惯性权重到原版的粒子群优化算法，粒子群优化 算法的成果已经在切夫的F6函数的基准问题的实验研究中获得很大的提高。为了进一步阐 释线性下降的惯性权重的效应，四种非线性测试函数在在文献【15】中使用，这篇论文的的 实验

9、结果也有相应的报告和讨论。 2实验的设置 经过对比，在文献【15】使用的四种非线性函数在这里也运用了，第一个函数是由Sphere 函数，被列为等式(3)： ft 在这里 I - 1 是一个n-维的真值矢量，第二个函数是 Rosenbrock函数, 被列为等式（4）: /（X）严 （100（心讨一屛尸 +（科-1）2）（4） 心】 第三个函数被概述为是 Rastrigrin函数，被列为等式（5）: 人=工（时 - 10cos（2巧）+ 10）（5） i= 最后一个函数被概述为 Griewank函数，被列为等式（6）: 1ny M2硕爭;勺皿（才）+ 1（6） 接着在文献【11】的建议以及比较的目

10、的，在文献15使用的非匀称条件初始化方法在这里 为了种群的初始化被采纳了。表格1列出了四个函数的初始化范围。 由于在文献【15】中，对每个函数来讲，三个不同的维数被测试了，它们的维数是： 10，20和30。种群的数量被设置为 1000，1500和3000各自符合维数10，20，30。为了调 查粒子群优化算法是否缩放得好，不同的种群大小已经为每个具有不同维数的函数所使用。 它们的种群大小为20，40，80和160.一个线性下降的惯性权重被使用，从0.9开始到0.4 结束，、|一c和广亠和.1、是被设为相等的，每个函数的值被列在表 2每个实验 的设置，共引导了 50个运行。 表2： 每个函数中和丄

11、匸卫庄值 Function 100 n 100 10 fj 600 3实验结果和讨论 图表1和图表2展示了各自Sphere函数的四种不同种群大小的结果。表3列出了被发现在 在四种函数50种运行中最好的粒子最佳值。 很明显，我们可以得知，对于Sphere函数而言， 粒子群优化算法能快速地找到最优 ，此外，粒子群优化算法能缩放得很好。在表3,小数被 记录后，由于只四种数字，所以这里展示的值也是零，在图表可以看到。 图表5和图表8各自展示了 Rosenbrock函数的四种不同种群大小的结果。图表9到图表 10各自展示了概述为 Radtrigrin函数的四种不同种群大小的结果。 图表13到图表16展示

12、了 概述为Griewank函数的四种不同种群大小的结果。 表4和表6各自列出了建立于其他三种函数的50种运行中的最好的粒子的最佳值。 Table 3: The mean fitness values for the sphere function. Popn. Size Dimension Generation Mean Best Fitness 20 ! 10 1000 0.0000 1 20 1500 0.0000 30 2000 0.0000 40 ；10 looo n 0.0000 20 1500 0.0000 301 2000 r 0,0000 80 10 1000 0,0000 2

13、0 r 1500 0.0000 30 2000 0.0000 160 10 1000 0.0000 r 2o 1500 0.0000 卜30 2000 0 0000I Table 4; Mean fitness values for the Roscnbrock function. Popu+ Size Dimension Generation Mean Best Fitness 20 1 10 1000 96.1715| 20 1500 214.6764 30 2000 316.4468 40 10 1000 707139 20 1500 180.9671 301 2000 299.7061

14、 80 10 1000 36.2945 20 1500| i 87.2802 30j 2000 205,5596 160 10 1000 24.4477 20 1 15001 72.8190 30 2000 131.5866 Table 5: Mean fitness values the generalized Rastrigrin function. Popu. Size Dimension Generation Mean Best Fitness 20 10 1 1000 5.5572 20 1500 - 22.8892 30 2000 47.2941 40 P10 1000 35623

15、 20 1500 163504 30 2000 38.5250 80 io: f 1000 2.5379 20 1500 13.4263 i 30: 2000 293063 160 10 P1000 1.4943 20 r i5oo 103696 30 2000 24,0864 Table 5: Mean fitness values for the generalized Rastrigrin function. Popu. Size Dimension Generation Mean Best Fitness 20 10 1000 5,5572 20 1500 22,8892 30 200

16、0 47.2941 40 10 1000 35623 20 1 1500 163504 30 2000 38,5250 80 10 1000 2.5379 20 U500 13.4263 30 2000 I 29.3063 160 10 1000 I 4943 20 1500 10.3696 30 2000 24.0864 Iabk 6: Mean fitness values fbthe generalized Gricwank funclion, Popu. Size Dimension Generation Mean Best Fitness 20 10 1000 0.0919 20 1

17、500 0*0303 30 2000 0.0182 ;40 p ion 1000 0.0862 20 1500 0.0286 30 2000 0.0127 80 10 1000 0.0760 20 1500 0.0288 30 2000 i 0.0128 060 1000 0.0628 20 1500 0,0300 30 2000 0.0127 通过看所有图标中曲线的形状，我们可以明显地发现在所有的例子中粒子群优化算法 的收敛很迅速但是当它到达最佳时，它的收敛速度将会变慢， 这是可能由于线性下降的惯性 权重的使用。粒子群优化算法在运行结束时会缺乏全局搜索的能力，在某些例子中，当全局 搜索能力需

18、要跳出局部的最小值。不管怎样，这些展示出来的结果阐释了通过使用线性下降 的惯性权重，粒子群优化算法的成果能得到很大的提高，也比在文献【15】报告的粒子群优 化算法和进化编程有更好的效果。从那些图标，也清楚地表明粒子群优化算法的不同种群大 小有相似的效果。类似于观察Sphere函数，在四种函数中，粒子群优化算法缩放得很好 4结论 Academic Press. 6 Eberhart. R* and Kennedy, J. (1995). A ntw Optimizer using particle swarm theory- Proc. Sixth Intemational Symposium on Micro Machine and 研究的四种种非线性函数的实验研究已经深入地 这些实验的结果阐释了粒子群优化算 解大小并不敏感。 ，在运行吉束时可 在 调查了粒. 法 、 下