1.矩阵与行列式

1、第四章矩阵行列式线性方程组本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分 在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运 算，此外，还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线 性方程组部分，着重介绍含n个未知量的n个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构 最后对整系数线性方程组和线性不等式组也作了扼要说明 .勺矩阵与行列式、矩阵及其秩矩阵与方阵数域(第三章，1) F上的mx n个数aij (i=1,2,m;j=1,2,n)按确定的 位置排成的矩形阵列，称为 mx n矩阵.记作ai1ai2 -. ain IA= a2ia22 a2nam

2、1 am2 amn其中横的一排叫做行，竖的一排叫做列，aj称为矩阵的第i行第j列的元素，矩阵A简记为佝) 或(aij)m n.nxn矩阵也称为n阶方阵，aii，ai2，ann称为矩阵A的主对角线的元素. 行数m与列数n都是有限的矩阵，称为有限矩阵.否则称为无限矩阵.矢量的线性相关与线性无关对于n维空间的一组矢量Xi，X2，Xm，若数域F中有一 组不全为零的数ki (i=i，2，,m)，使kixi + k2X2+ + kmxm=0成立，则称这组矢量在F上线性相关，否则称这组矢量在 F上线性无关. 矢量组的线性相关性的讨论：Xi可用其他i 矢量组Xi，X2，Xm线性相关的充分必要条件是：其中至少有

3、一个矢量 矢量的线性组合来表示，即Xi =ajXji 如2包含零矢量的矢量组一定线性相关.3矢量组Xi，X2，Xm中，若有两个矢量相等：Xi=Xj(i工j),则该矢量组线性相关.4若矢量组Xi，X2,，Xr线性相关，则再添加若干个矢量后所组成的矢量组仍然线性 相关；若矢量组Xi，X2，Xm线性无关，则其中任一部分矢量组成的矢量组也线性无关.5若Xi,X2,，Xr线性无关，而Xi,X2,，Xr+i线性相关，则Xr+i可以表示为Xi, X2，, Xr的线性组合.行矢量与列矢量矩阵的秩由矩阵任一行的元素构成的n维矢量称为行矢量，记为a=(aii,ai2,.,ain)(i=i,2,.,m)由矩阵任一列

4、的元素构成的 m维矢量称为列矢量，记为ai ja2 jx-aj : - (ai j , a2 j , ,amj)(jh,2,.,n)式中 表示转置，即行(列)转换为列(行).若矩阵A的n个列矢量中有r个线性无关(r n),而所有个数大于r的列矢量组都线性 相关，则称数r为矩阵A的列秩.类似可定义矩阵A的行秩.矩阵A的列秩与行秩一定相等，它也称为矩阵的秩，记作rank A=r.矩阵的秩也等于该矩阵中不等于零的子式(见本节，二)的最大阶数 .二、行列式1.行列式及其拉普拉斯展开定理 n阶行列式设aiia21ai2a22alna2nan1an2a nn是由排成n阶方阵形式的n2个数aj(i,j=1,

5、2,.,n)确定的一个数，其值为n!项之和D = (-1) a1k1 a2k2 .-ankn式中k1 ,k2,.,kn是将序列1,2,.,n的兀素次序交换k次所得到的一个序列，工号表示对k1,k2,.,kn 取遍1,2,.,n的一切排列求和，那末数 D称为n阶方阵相应的行列式.例如，四阶行列式是4! 个形为1)ka!ka2a3a4的项的和，而其中a13a21a34a42相应于k=3,即该项前端的符号应为 (-1)3.若n阶方阵A= (aj),则A相应的行列式D记作D=|A|=detA=det (aij) 若矩阵A相应的行列式D=0,称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵.标号集序列1,2,.,n中

6、任取k个元素i1,i2,.,ik满足1 i1i2.vikW n(1)早,i1,i2,.,ik构成1,2,.,n的一个具有k个元素的子列，1,2,.,n的具有k个元素的满足(1)的子列 的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有C：个子列.因此C(n,k)是一个具有C：个元素的标号集(参 见第二 章，二)，C(n,k)的元素记作 c , t ,., C(n,k)表示(T =i1,i2,.,ik是1,2,.,n的满足(1)的一个子列若令 t =j1,j2,.jk C(n,k),则 c = t 表示 i1=j1,i2=j2,.,ik=jk.子式主子式余子式代数余子式从n阶行列式D中任取k行与k列(

7、K k n-1),由这k行与k列交点处的元素构成的 k阶行列式称为行列式D的k阶子式，记作M 二， c , t C(n,k)如果所选取的k行k列分别是第i1,i2,.,ik行与第i1,i2,.,ik列，贝U所得到的k阶子式称为主 子式.即当c =T C(n,k)时，M二是主子式.从行列式D中划去k行(c)与k列(t )后得到的n-k阶行列式称为子式M二的余子 式，记作M二.如果 c = i1,i2,.,ik， T = j1,j2,.jk，则称kkA；(-1)v - M二为子式M二的代数余子式.T =j,子式M二就是一个元素aij, aij的余子式记作M j，aj的特别，当k=1时，c =i，

8、代数余子式记作Aj,即且有Aj =(T)i jMjR(i=k).0(ik)Q（j = k）f（jk）拉普拉斯展开定理在n阶行列式D中任取k行（K k n-1），那末包含于所选定的这 些行中的所有k阶子式与它们各自的代数余子式的乘积之和等于行列式D，即对任意C(n,k), K kn),又设l=Cm,A的所有n阶子式为U1, U2, ., Ul, B的相应的n阶子式为V1,V2,.,Vl,则ldet(A B)= u kVkk(7)2.行列式的性质1A1A2 Am = Al IIA2II Am|Am|=|A m,I kA =kn Al式中Ai, A2,Am全为n阶方阵，k为任一复数.2行与列互换后，

9、行列式的值不变，即|AC|=|A|式中A 表示A的转置矩阵（见本章2）互换行列式的任意两行a12a11a1na11a12 .a1na22a21 .a 2na21a22 .a2nan2a n1.a nnan13n2 .ann，行列式变号例如（或列）用数a乘行列式的一行a .例如%11a12 .a1 na11a12 .a1 n%a22 .a 2n=aa21a22 .a2 n%an2.annan1an2.ann,等于将行列式乘以数（或列）元素乘以数a后加到另一行5式的值不变.例如将行列式的一行（或列）（或列）的相应元素上，行列aii+ aai2ai2.ainaiiai2.ai na2i+822a22

10、 .a2n=a2ia22.a2 nan i+ an2an2 .annanian2 .ann6若行列式中有一行（或列）全为零，则行列式等于零若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式 为零7若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个 同阶的行列式之和来表达例如aibiai2.aina2b2a22 .a 2nanbnan2.a nnaiai2.ai na2a22 .a 2n+anan2.annbiai2.ainb2a22 .a 2nbnan2.a nn3.几个特殊行列式对

11、角行列式三角形行列式did200n=n di = dddndnIllI 21I nil22I n20n二口 liiim1 nn二阶行列式aibi=ab2 a?bia2b2三阶行列式abiCib2C2biCibiCia?b?C2=aia2b3C3b3C3b2C2a3b3C3=ai b2 C3 + a?b3Ci + a3 b( c?ab3C2a?biC3a3b?Ci记忆方法行列式的值，等于各实线上元素乘积之和减去各虚线上元素乘积之和四阶行列式a1b1C1d1a2b2C2d2丄=da3b3C3d3a4b4C4d4b2C2d2bcd1b3C3d3_ a2b3C3d3b4C4d4b4C4d4b1c1d1b1+ a3b2C2d2-a4b2b4 c4d4b3Ci di c2 d2 C3 d3a1b1C3d3aCb3d3a1d1b3C3二I+a2 b2c4 d4a?C2b4 d4a2d2b4c4b1C1a3 d3b1d1a3C3C1d1a3 b3+*+b2C2a4d4b2 d2a 4C4C2d2a4 b4注意，四阶和四阶以上的