全国统考2022版高考数学大一轮备考复习第6章数列第4讲数列求和及数列的综合应用课件文

1、第四讲 数列求和及数列的综合应用,第六章数列,考法帮解题能力提升,考法1 数列求和 考法2 等差、等比数列的综合问题 考法3 数列与其他知识综合 考法4 数列的实际应用,高分帮 “双一流”名校冲刺,提素养 数学文化,数学文化 数列与数学文化,考情解读,考情解读,考法1 数列求和 考法2 等差、等比数列的综合问题 考法3 数列与其他知识综合 考法4 数列的实际应用,考法帮解题能力提升,考法1 等比数列求和,命题角度1用公式法和分组转化法求和 示例1 已知等差数列an的前n项和为Sn,且关于x的不等式a1x2-S2x+20的解集为(1,2). (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足bn

2、=a2n+ 2 -1,求数列bn的前n项和Tn. 思维导引 (1)先设等差数列an的公差为d,再根据题意求出a1与d,进而可求出数列an的通项公式;(2)先由(1)的结论及bn=a2n+ 2 -1求出bn,再利用等差数列与等比数列的求和公式,以及分组转化法,即可求出结果.,考法1 等比数列求和,解析(1)设等差数列an的公差为d, 因为关于x的不等式a1x2-S2x+20的解集为(1,2), 所以 2 1 =1+2=3,又S2=2a1+d,所以a1=d, (1,2为一元二次方程a1x2-S2x+2=0的两根) 易知 2 1 =2,所以a1=1,d=1. 所以数列an的通项公式为an=n.,考法

3、1 等比数列求和,(2)由(1)可得,a2n=2n, 2 =2n. (注意通项的下标) 因为bn=a2n+ 2 -1, 所以bn=2n-1+2n, 所以数列bn的前n项和Tn=(1+3+5+2n-1)+(2+22+23+2n) (分成两组求和) = (1+21) 2 + 2(1 2 ) 12 (用等差(比)数列的求和公式时注意项数) =n2+2n+1-2.,考法1 等比数列求和,方法技巧 1.利用公式法求和 直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和. (1)等差数列:Sn= ( 1 + ) 2 =na1+ (1) 2 . (2)等比数列:Sn= 1 ,=1, 1 (1 ) 1 = 1 1 ,1

4、.,考法1 等比数列求和,2.利用分组转化法求和 (1)利用分组转化法求和的常见类型 (2)数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,将其分解为一些等差数列或等比数列或可直接求和的数列,再分组求和.如:an=bn+cn+hn,则 =1 ak= k=1 n bk+ =1 ck+ =1 hk. 注意 在含有参数的数列中求和时要对参数进行讨论.,考法1 等比数列求和,命题角度2用错位相减法求和 示例2 2020全国卷,17,12分设an是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项. (1)求an的公比; (2)若a1=1,求数列nan的前n项和. 解析 (1)设an的公比

5、为q(q1),由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2. 所以q2+q-2=0,解得q=-2. 故an的公比为-2.,考法1 等比数列求和,(2)记Sn为nan的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1. 所以Sn=1+2(-2)+n(-2)n-1, -2Sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n. 可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n (错位相减时,注意最后一项的符号) = 1(2 ) 3 -n(-2)n.(用公式法求和时,注意项数) 所以Sn= 1 9 (3+1)(2 ) 9 .,考法1 等比数列求和,方法技巧 1

6、.用错位相减法求和的策略和技巧 (1)适用的数列类型:anbn,其中数列an是公差为d的等差数列,bn是公比为q(q1)的等比数列. (2)求解思路:设Sn=a1b1+a2b2+anbn, 则qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1, -得(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1, 进而可利用公式法求和.,考法1 等比数列求和,2.注意解题“3关键” (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式. (3)在应用错位相减法求和时,若

7、等比数列的公比为参数,应分公比q=1和q1两种情况求解. 3.谨防解题“2失误” (1)两式相减时最后一项忘记变号. (2)对相减后的和式的结构认识模糊,错把中间的(n-1)项和当作n项和.,考法1 等比数列求和,命题角度3用裂项相消法求和 示例3 已知数列an的前n项和Sn满足2Sn=n2+3n,nN*. (1)求an的通项公式; (2)求数列 1 21 2+1 的前n项和Tn. 思维导引 (1)利用an= 1 ,=1, 1 ,2 可求出an的通项公式;(2)利用(1)的结论,求出数列 1 21 2+1 的通项,再利用裂项相消法求出其前n项和Tn.,考法1 等比数列求和,解析 (1)当n2时

8、,2Sn-1=(n-1)2+3(n-1), 又2Sn=n2+3n,两式相减得2an=2n+2,所以an=n+1. 当n=1时,2S1=2a1=4,解得a1=2. 因为a1=2满足式子an=n+1,(验证首项不能漏) 故an的通项公式为an=n+1(nN*). (2)由(1)知 1 21 2+1 = 1 2(2+2) = 1 4 1 (+1) = 1 4 ( 1 1 +1 ), (裂项,注意系数 1 4 不要漏) 所以Tn= 1 4 ( 1 1 1 2 )+( 1 2 1 3 )+( 1 1 +1 ) = 1 4 (1- 1 +1 )= 4+4 .,考法1 等比数列求和,方法技巧 1.利用裂项相

9、消法求和的基本步骤 注意 利用裂项相消法求和时,既要注意检验裂项前后是否等价,又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项.,考法1 等比数列求和,2.常见数列的裂项方法,考法1 等比数列求和,考法1 等比数列求和,命题角度4用倒序相加法求和 示例4 已知函数f(x)= 4 4 +2 ,数列an的通项公式为an=f( 2 022 ),则数列an的前 2 021项和为. 解析 由题意可得f(x)+f(1-x)= 4 4 +2 + 4 1 4 1 +2 = 4 4 +2 + 1 1+2 4 1 = 4 4 +2 + 2 2+ 4 =1. 因为数列an的前2 021项

10、和 S2 021=f( 1 2 022 )+f( 2 2 022 )+f( 2 020 2 022 )+f( 2 021 2 022 ), (这个等式的右边是前2 021项的和),考法1 等比数列求和,所以S2 021=f( 2 021 2 022 )+f( 2 020 2 022 )+f( 2 2 022 )+f( 1 2 022 ),(倒过来写) +得,2S2 021=f( 1 2 022 )+f( 2 021 2 022 )+f( 2 2 022 )+f( 2 020 2 022 )+f( 2 021 2 022 )+f( 1 2 022 )= 2 0211=2 021, 所以S2 02

11、1= 2 021 2 , 所以数列an的前2 021项和为 2 021 2 .,考法1 等比数列求和,方法技巧 利用倒序相加法求和的解题技巧 已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和相等(或等于同一常数)”,可用倒序相加法求和.解题时先把数列的前n项和表示出来,再把数列求和的式子倒过来写,然后将两个式子相加,即可求出该数列的前n项和的2倍,最后求出该数列的前n项和.,考法1 等比数列求和,命题角度5用并项分组求和法求和 示例5 2016天津,18,13分文已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且 1 1 1 2 = 2 3 ,S6=63. (1)求an的通项公式; (2)若对任意的

12、nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)n 2 的前2n项和.,考法1 等比数列求和,思维导引 (1)根据已知等式及S6=63求得q,进而求得首项,即可得到an的通项公式;(2)先由(1)得bn的通项公式,再用并项求和法求数列(-1)n 2 的前2n项和. 解析 (1)设数列an的公比为q. 由已知,有 1 1 1 1 = 2 1 2 ,解得q=2或q=-1. 又由S6=a1 1 6 1 =63,知q-1,所以a1 1 2 6 12 =63,解得a1=1.所以an=2n-1.,考法1 等比数列求和,(2)由题意,得bn= 1 2 (log2an+log2an+1)

13、= 1 2 (log22n-1+log22n)=n- 1 2 , 即bn是首项为 1 2 ,公差为1的等差数列. 设数列(-1)n 2 的前n项和为Tn,则 T2n=(- 1 2 + 2 2 )+(- 3 2 + 4 2 )+(- 21 2 + 2 2 ) =b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n = 2( 1 + 2 ) 2 =2n2.,考法1 等比数列求和,方法技巧用并项求和法求数列的前n项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和.可用并项求和法的常见类型:一是数列的通项公式中含有绝对值符号;二是数列的通项公式中含有符号因子“(-1)n”,如Sn=1002-9

14、92+982-972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)= 5 050,可采用两项合并求解;三是数列an是周期数列.,考法2 等差、等比数列的综合问题,示例6 数列an的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n1). (1)求an的通项公式; (2)等差数列bn的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn. 思维导引 (1)根据已知的递推关系求an的通项公式;(2)根据等比关系列方程求公差,则前n项和Tn易求. .,考法2 等差、等比数列的综合问题,解析 (1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1

15、+1(n2), 两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an (n2). 因为a1=S1=1,a2=2S1+1=3,所以a2=3a1. 故an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1. (2)设等差数列bn的公差为d. 由T3=15,即b1+b2+b3=15,可得b2=5,故b1=5-d,b3=5+d. 又a1=1,a2=3,a3=9,且由a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列可得(1+5-d)(9+5+d)=(3+5)2, 解得d=2或d=-10.因为等差数列bn的各项为正,所以d0. 所以d=2,b1=3,所以Tn=3n+ (1) 2 2=n2+2n.,考法2 等差

16、、等比数列的综合问题,方法技巧等差、等比数列的综合问题的解题技巧 (1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系,利用方程思想、通项公式和前n项和公式求解.求解时,应“瞄准目标”,灵活应用数列的有关性质,简化运算过程.求解过程中注意合理选择有关公式,正确判断是否需要分类讨论. (2)一定条件下,等差数列与等比数列之间是可以相互转化的,即an为等差数列 (a0且a1)为等比数列;an为正项等比数列logaan(a0且a1)为等差数列.,考法3 数列与其他知识综合,命题角度1数列与函数综合 示例7 2020大庆二模设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x0,1)时,

17、f(x)=sin x.当x0,+)时,将函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1,a2,a3,an,并记相应的极大值为b1,b2,b3,bn,则数列an+bn的前9项和为. 思维导引 正确理解类周期函数所满足的关系式f(x+1)=2f(x)的意义,求出x1,2)时f(x)的解析式,从而推出xn-1,n)时f(x)的解析式,进而得解.,考法3 数列与其他知识综合,解析 当x0,1)时,f(x)=sin x,此时a1= 1 2 ,b1=1. 由于f(x+1)=2f(x),则f(x)=2f(x-1). 当x1,2)时,x-10,1),则f(x-1)=sin(x-1), 所以f(x)=2sin(x-

18、1),此时a2= 3 2 ,b2=2. 当xn-1,n)时,x-(n-1)0,1),所以f(x)=2n-1sinx-(n-1), (运用“区间转移法”探求函数f(x)在区间1,+)上的解析式),考法3 数列与其他知识综合,此时极大值点an= 21 2 ,bn=2n-1. 令cn=an+bn,则c1+c2+c3+c9=( 1 2 + 3 2 + 5 2 + 17 2 )+(1+2+22+28)= 81 2 +29-1= 1 103 2 . 点评 类周期函数是将函数与数列综合到一起的一个重要“桥梁”,其零点、极值点、极值、图象与水平线的交点等问题都可以转化为与等差数列、等比数列有关的问题来解决.,

19、考法3 数列与其他知识综合,方法技巧 数列与函数的综合问题的解题策略 (1)已知函数条件,解决数列问题,一般利用函数的性质、图象等进行研究. (2)已知数列条件,解决函数问题,一般要充分利用数列的有关公式对式子化简变形. (3)解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解. 注意 数列是自变量为正整数的特殊函数.,考法3 数列与其他知识综合,命题角度2数列与不等式综合 示例8 已知等差数列an的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9. (1)求数列an的通项公式及前n项和Sn. (2)求证: 1 1 + 1 2 + 1 2. 解析(1)设等差数列an的公差为d,由已知得

20、 5 + 13 =34, 3 2 =9, 即 1 +8=17, 1 +=3, 解得 1 =1, =2, 故an=2n-1,Sn=n2.,考法3 数列与其他知识综合,(2) 1 1 + 1 2 + 1 =1+ 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 1+ 1 12 + 1 23 + 1 (1) (注意放大技巧:把 1 2 放大为 1 (1) ) =1+(1- 1 2 )+( 1 2 1 3 )+( 1 1 1 )(裂项) =2- 1 (消项) 2.,考法3 数列与其他知识综合,方法技巧 1.数列与不等式的综合问题的解题策略 (1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性或者是借助数列对

21、应的函数的单调性求解. (2)对于与数列有关的不等式的证明问题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等,有时需构造函数,利用函数的单调性,最值来证明.,考法3 数列与其他知识综合,2.放缩技巧 数列型不等式问题的求解过程中常用到“放缩法”,一般有两种情况:一是先“放缩”再求和;二是先求和再“放缩”.常用的放缩技巧如下. (1)对 1 2 (nN*)的放缩,根据不同的要求,大致有三种情况: 1 2 1 2 = 1 1 1 (n2); 1 2 1 2 1 = 1 2 ( 1 1 1 +1 )(n2); 1 2 1 2 1 4 =2( 1 21 1 2+1 ).,考法3 数

22、列与其他知识综合,(2)对 1 2 (nN*)的放缩,根据不同的要求,大致有两种情况: 1 2 1 + +1 = +1 ; 1 2 1 + 1 = 1 .,考法4 数列的实际应用,示例9 实施“二孩”政策后,专家估计某地区人口总数将发生如下变化:从2021年开始到2030年,每年人口总数比上一年增加0.5万人,从2031年开始到2040年,每年人口总数为上一年的99%.已知该地区2020年人口总数为45万. (1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位:万人)的表达式(记2021年为第一年); (2)若“二孩”政策实施后,2021年到2040年人口平均值超过49万,则需调整政策,否则继

23、续实施,问到2040年结束后是否需要调整政策?(参考数据:0.99100.9),考法4 数列的实际应用,思维导引 (1)根据题意可知an是分段数列,其中第一段是等差数列,第二段是等比数列,根据等差、等比数列的通项公式即可得到an的表达式;(2)设数列an的前n项和为Sn,根据等差、等比数列的前n项和公式求出S20,并比较 20 20 与49的大小,即可得出结论.,考法4 数列的实际应用,解析 (1)由题意知,当1n10时,数列an是首项为45.5,公差为0.5的等差数列,可得an=45.5+0.5(n-1)=0.5n+45,则a10=50; 当11n20时,数列an是公比为0.99的等比数列,

24、则an=500.99n-10. 故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位:万人)的表达式为an= 0.5+45,110, 50 0.99 10 ,1120.,考法4 数列的实际应用,(2)设Sn为数列an的前n项和. 从2021年到2040年共20年,由等差数列及等比数列的求和公式得S20=S10+(a11+a12+a20)=477.5+4 950(1-0.9910)972.5. 所以“二孩”政策实施后,2021年到2040年人口平均值为 20 20 48.63,则 20 20 49, 故到2040年结束后不需要调整政策.,考法4 数列的实际应用,方法技巧 1.数列在实际应用中的常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定的数,则该模型是等差模型,这个固定的数就是公差. (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数,则该模型是等比模型,这个固定的数就