课时跟踪检测(四十九)圆锥曲线的综合问题(普通高中

1、第1页共9页课时跟踪检测（四十九）圆锥曲线的综合问题(一)普通高中适用作业A 级 基础小题练熟练快1过抛物线 y2 2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A， B 两点，它们的横坐标之和等于 2，则这样的直线 ()A有且只有一条B有且只有两条C有且只有三条D 有且只有四条解析： 选 B 设该抛物线焦点为F ，A(xA，yA ，B，yB，则Ap)B(x)|AB|AF |FB | x2xB p2 xA xB 1 32p 2.所以符合条件的直线有且只有两条x22相交于 A， B 两点，则 |AB|的最大值为 ()2斜率为1 的直线 l 与椭圆 y 1445A 2B.5410810C.5D.52解析： 选

2、 C设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 y x t，代入 x4 y2 1，消去 y，得 5x28tx 4t2 4 0，由题意得 (8t)2 20(4t2 4) 0，即 t2 5，因为 x1 x28t，x1 25x22224t 416t 165 t64t1045，所以弦长 |AB|1 12554255 ，当且仅当 t 0时取等号故 |AB|的最大值为4105 .x2y23(2018 泉州质检 )已知双曲线 C：a b 1(a 0，b 0)，F 是双曲线 C 的右焦点，过22F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l，若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于点D，

3、E ，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为 ()A (2， 3)B (2， )C (2， 2)D. 1，62aa4解析：选 B 法一：由题意知， 直线 l：yay b x c ，2(x c)，由得b 2bb2x2 a2y2 a2b2，b第2页共9 页42a4c22 22a4c2 a b2a c2 2 ，由1 2b0442222x2x2 a b4得 b a ，所以 b c a a ，bb0x xb2 a2b所以 e22，得 e 2.法二： 由题意，知直线 l 的斜率为 a，若 l 与双曲线左、右两支分别交于D ，E 两点，bab222 222则 b a，即 ab ，所以 a2，得 e2.y2

4、 x2 1，过点 P1， 1的直线与椭圆相交于A， B 两点，且弦 AB 被点 P4已知椭圆： 922平分，则直线AB 的方程为 ()A 9x y 4 0B 9x y 5 0C 2x y 2 0D x y 5 022y1 x12 1，解析：选 B设 A(x ，y，y，因为， 在椭圆 y x2 1 上，所以911)B(x22)A B9y2229 x2 1，12 y221 y21 y2y22yy (x1 x21 x2 ，又弦1， 1两式相减得被点9 x1 x2 0，即9)(xABP 22)0平分，所以 x1x2 1，y1 y2 1，将其代入上式得y1 y2y1 y29 x1 x2 0，即 9，即直

5、x1 x2线AB的斜率为，所以直线AB的方程为 19x1，即 0.9y229x y522xy5已知双曲线 a2 b2 1(a0， b 0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线 y ax2 上的两点 A(x1，y1)，B(x2， y2)关于直线 y x m 对称，且 x1x21，则 m2的值为 ()35A.2B.2C 2D 3解析：选A由双曲线的定义知2a4，得 a2，所以抛物线的方程为y 2x2.因为点 A(x1，y1)， B(x2， y2)在抛物线y 2x2 上，所以 y1 2x21， y2 2x22，第3页共9页两式相减得y1 y2 2(x1 x2)( x1 x2)，不妨设

6、 x1 x2，又 A， B 关于直线y x m 对称，y1 y2所以 1，x1 x21故 x1 x2 2，1而 x1x2 2，1解得 x1 1， x2 2，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)的中点为 M (x0， y0)，x1 x2则 x02 1，41 y22x122x22y0y 5，224因为中点 M 在直线 yx m 上，所以 5 1 m，解得 m 3442.226 (2018 长春调研 )在平面直角坐标系x y 1 的左、右顶点分别为A，xOy 中，椭圆 95B，右焦点为F ，设过点 T(9 ，m)的直线 TA， TB 与椭圆分别交于点 M (x1， y1)， N (x2， y

7、2)，其中 m 0， y1 0， y2 0，则直线 MN 与 x 轴的交点坐标为 ()A.1， 01， 03B. 2C (1,0)D (2,0)解析：选 Cy 0x 3y 0直线 TA 的方程为，即 y m，直线TB的方程为m0 9 312( x 3)m0x 3mx2y29 3 ， 即 y 6 (x 3) ， 将 TA ， TB的方程分别与椭圆951 联立，解得223 80 m，40m， N 3 m 20， 20m.当1 x2时，直线 MN的方程为M2222x80 m80 m20 m20 m第4页共9页20mx3 m2 20y20 m220 m2，令 y0，解得 x 1，此时直线 MN 必过点

8、 (1,0)；40m20m3 80m23 m2 2080 m220 m280m2 220 m当 x1 x2 时，得m2 40，直线MN的方程为x 1，与x 轴的交点为(1,0)所以直线MN与x 轴的交点是(1,0)227已知点 A 在椭圆 x y 1 上，点 P 满足R)( O 是坐标原点 )，AP ( 1) OA(259 _且 OA OP 72，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 解析： 因为 AP ( 1) OA，所以 OP OA，即 O，A，P 三点共线，因为 OA OP，所以 2 72，设 A(x， y)，OA与 x 轴正方向的夹角为，线段 OP 在 x72 |OAOA O

9、P|72|x|72|x|7272轴上的投影长度为 | OP 2 15，当且|cos| | |x|OA |x2 y216916 925|x| |x|225仅当 |x|15时取等号4答案： 158已知抛物线 C： y2 8x 与点 M ( 2,2)，过 C 的焦点且斜率为k 的直线与 C 交于 A， 0，则 k _.B 两点若 MA MB解析： 如图所示，设F 为焦点，易知 F (2， 0)，取 AB 的中点 P，过A，B 分别作准线的垂线， 垂足分别为 G，H ，连接 MF ，MP ，由 MA MB 0，知 MA MB ，则 |MP |111，所以2|AB|2(|AF |BF |)2(|AG|B

10、H |)MP 为直角梯形 BHGA 的中位线，所以MP AGBH ，由 |MP | |AP|，得GAM AMP MAP ，又 |AG|AF |， AM 为公共边，所以 AMG AMF ，所以AFM AGM ，则MF，所以k1 2.90ABkMF答案： 29设抛物线 C： y2 2px(p0)， A 为抛物线上一点 (A 不同于原点O)，过焦点 F 作直线平行于 OA，交抛物线于P， Q 两点若过焦点F 且垂直于 x 轴的直线交直线OA 于 B，则|FP | |FQ | |OA| |OB| _.第5页共9页解析： 设 OA 所在的直线的斜率为k，则由y kx，2p2ppkp2得到 A k2 ，

11、k，易知B2，2，y 2pxpkx ，的坐标由方程组y22，2，Q得到，消去 x，得 ky ykp 0，设 P( x1，y1)Q(xPy2 2px2p22 ，由根与系数的关系得，2|FQ |111 2 p，根据弦长公式， |FP|12 1122y )y yk|y |k |y |11 22p 22p 2p 2kp 2121 k2 |y1y2| 1 k2 p，而 |OA| |OB|k2 k22 1 k2p，所以|FP | |FQ | |OA| |OB| 0.答案： 010已知抛物线y2 4x 的焦点为 F ，过焦点的直线与抛物线交于A， B 两点，则当 |AF | 4|BF |取得最小值时，直线

12、AB 的倾斜角的正弦值为 _解析： 由题意知 F(1,0) ，当直线的斜率存在时，设直线方程为 y k(x 1)(k 0)，y k x 1 ，由22220.消去 y，得 k x (2k 4)x ky2 4x，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x10， x20 ，2k2 4则 x1 x22，kx1x2 1,11 1 1 x1 x2 2|AF |BF |x1 1x2 1x1x2 x1 x2 12k2 4 2k2 1.2k2 412 1k当直线的斜率不存在时，易知|AF | |BF | 2，1 1故 |AF | |BF | 1.1 1设 |AF | a， |BF | b，则 a b 1

13、，第6页共9页所以 |AF| 4|BF | a 4b114b) 4b a 9，当且仅当 a 2b 时取等号，ab (a5a b故 a 4b 的最小值为 9，此时直线的斜率存在，且x1 1 2(x2 1),1联立得，x1 2，x22， k 22，22故直线AB 的倾斜角的正弦值为3 .答案：2 23B 级 中档题目练通抓牢1已知椭圆x2y23，短轴端点到焦点的距离为2.22C： a b 1(a b0)的离心率为2(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设 A，B 为椭圆 C 上任意两点， O 为坐标原点，且 OA OB.求证：原点 O 到直线 AB的距离为定值，并求出该定值解： (1) 由题意知，

14、e c3，22 ，a2bc2又 a2 b2 c2，所以 a 2， c3， b 1，2所以椭圆C 的方程为 x4 y2 1.(2) 证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为25，此时，原点 O到x5直线 AB 的距离为 255.当直线 AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 y kx m， A(x1， y1)， B(x2， y2)x22由4 y 1，2 22得(1 4k )x 8kmx 4m40.y kx m则 (8km)2 4(1 4k2)(4m2 4) 16(1 4k2 m2) 0， x1 x2 8km， x1x2 1 4k24m2 41 4k2 ，第7页共9页m2 4k2则

15、y1y2 (kx1m)(kx2 m) 1 4k2 ，由 OAOB，得 k 1，即y1y2 1，OA kOBx1x2所以 x1 2 y1 25m24 4k22 0，xy1 4k即 m245(1 k2)，|m|25所以原点O 到直线 AB 的距离为25 .1 k综上，原点 O 到直线 AB 的距离为定值 255.x2y222 (2018 兰州诊断 )已知椭圆 C：a2 b2 1(ab0)经过点 (2， 1)，且离心率为2 .(1) 求椭圆 C 的方程；1(2) 设 M ， N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON (O 为坐标原点 )的斜率之积为 2.若动点 P，试探究是否存在两个定点F 1，F 2

16、，使得 |PF 1| |PF 2|为定值？若存在，满足 OP OM 2ON求 F 1， F 2 的坐标；若不存在，请说明理由2解： (1) eb1，2， 22a22 1又椭圆 C 经过点 ( 2， 1)，a2b21，解得 a2 4， b22，22椭圆 C 的方程为 x4 y2 1.(2) 设 P(x， y)， M (x1， y1)，N (x2， y2)，则由 OP OM 2 ON ，得 x x1 2x2， y y1 2y2 ，x2y2点M，N 在椭圆 421 上，2222x1 2y1 4， x2 2y24，故 x2 2y2 (x21 4x1 x2 4x22) 2(y21 4y1y24y22)

17、(x21 2y21) 4(x22 2y22 ) 4(x1x2 2y1 y2 ) 20 4(x1x2 2y1y2)第8页共9页由题意知， kOM kON y1y2 1，因此 x1x2 2y1y2 0，x1x22x2 2y2 20，x2y2故点 P 是椭圆 2010 1 上的点，由椭圆的定义知存在点F1 ，F 2，满足 |PF 1| |PF 2| 2 20 45，为定值，又 |F1 F2|2 20 10 2 10，F 1， F 2 的坐标分别为 (10， 0)， (10， 0)3(2018 贵阳检测 )已知椭圆 C1 的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点； 抛物线 C2 的焦点在y 轴上，顶点在坐标

18、原点在C1， C2 上各取两个点，将其坐标记录于表格中：x3 242y908222(1) 求 C1， C2 的标准方程；(2) 已知定点 C 0，1 ， P 为抛物线 C2 上一动点，过点P 作抛物线 C2 的切线交椭圆 C18于 A， B 两点，求 ABC 面积的最大值x2y2解： (1) 设 C1： 2 2 1(ab0)，ab由题意知，点( 2,0)一定在椭圆上，则点2 也在椭圆上，分别将其代入，2， 24a2 4，a2 1，得解得21b2 1，a2 2b2 1，x22C1 的标准方程为4 y 1.设 C2： x2 2py(p0)，依题意知，点 (4,8) 在抛物线上，代入抛物线C2 的方程，得p 1，C2 的标准方程为x2 2y.1 2(2) 设 A(x1， y1) ， B(x2， y2)， P t， 2t，第9页共9页由 y 12x2 知 y x，故直线 AB 的方程为 y12 t(x t)，2t1 2x22即 y tx2t，代入方程4 y 1，整理得 (1 4t2)x2 4t3x t4