小波分析在信号处理中的应用毕业设计

1、小波分析在信号处理中的应用小波分析在信号处理中的应用 摘摘 要要 小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。小波变换在于音频信号图像 信号的处理中具有重要的意义。 在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对 于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时 域信息可能对某些应用同样非常重要。 而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特 点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力。而在于信号之中图像是一种重要的信 息源，通过图像处理可以帮助人们了解信息的内涵。本文简述了小波包分析的原理，并 基于 mat

2、lab 实现了对二维图像信号进行消噪。对常用的几种阈值去噪方法进行了分析比 较和仿真实现。最后结合理论分析和实验结果，讨论了去噪过程中影响去噪性能的各种 因素。为在实际的图像处理中，小波包阈值去噪法的选择和改进提供了数据参考和依据 关键词：信号；图像锐化；图像去噪；小波分析关键词：信号；图像锐化；图像去噪；小波分析 cc 版权所有仅供参考！版权所有仅供参考！ the application of wavelet analysis in signal processing abstract wavelet analysis is pure mathematics, applied mathema

3、tics and engineering the perfect combination. wavelet transform is the audio signal processing of the image signal has an important significance. in conventional fourier analysis, the signal is completely expanded in the frequency domain, the frequency does not contain any information, which for som

4、e applications is very appropriate because of its frequency of the signal information is very important. but its time-domain information may be discarded for certain applications is also very important. the wavelet analysis is to overcome the short-time fourier transform in a single resolution of de

5、fects, with the multi-resolution analysis of the characteristics of the time domain and frequency domain signals are characterized by the ability of local information. but rather among the image signal is an important source of information, through image processing can help people understand the inf

6、ormation content. this paper describes the principle of wavelet packet analysis, and based on matlab realization of two-dimensional image signal de-noising. several commonly used thresholding methods were analyzed and compared and simulation. finally, theoretical analysis and experimental results ar

7、e discussed denoising process a variety of factors affect the performance of de-noising. as in the actual image processing, wavelet packet thresholding method selection and improvement of a data reference and basis. keywords: signal;image sharpening; image denoising; wavelet analysis 目录 第一章第一章 概述概述.

8、1 1.1 小波分析的发展与应用.1 1.2 本文主要意义内容.2 第二章第二章 相关技术原理相关技术原理.3 2.1 小波分析的基本原理.3 2.2 几种常用小波.4 2.3 傅立叶变换与小波变换.6 2.3.1 傅立叶变换与小波变换历史.6 2.3.2 傅里叶变换.7 2.3.3 小波变换.8 2.4 小波包定义性质.11 2.4.1 小波包定义.12 2.4.2 小波包的性质.13 2.4.3 小波包算法.13 第三章第三章 小波变换在信小波变换在信号号处理中的应用处理中的应用.14 3.1 调试环境-matlab 开发平台.14 3.2 小波分析用于图像压缩.14 3.3 小波包变换的

9、图像压缩.16 3.4 小波分析用于图像去噪.17 3.4.1 图像噪声分类.18 3.4.2 图像噪声处理.19 3.5 小波分析用于图像增强.21 3.6 图像锐化.21 第四章第四章 图片降噪中主要应用的函数阈值选取图片降噪中主要应用的函数阈值选取.22 4.1 二维小波包分解函数.23 4.2 图像的小波包重构函数.23 4.3 阈值选取.24 4.4 小波基对系统的影响分析.24 第五章第五章 结论结论.25 5.1 总结.25 参考文献参考文献.26 致致 谢谢.27 附录附录 图像压缩去噪图像压缩去噪增增强锐化原程序强锐化原程序.28 第一章第一章 概述概述 1.11.1 小波分

10、析的发展与应用小波分析的发展与应用 众所周知，由于图像在采集、数字化和传输过程中常受到各种噪声的干扰，从而使 数字图像中包含了大量的噪声。能否从受扰信号中获得去噪的信息，不仅与干扰的性质 和信号形式有关，也与信号的处理方式有关。在实际应用中，针对不同性质的信号和干 扰，寻找最佳的处理方法降低噪声，一直是信号处理领域广泛讨论的重要问题。目前有 很多方法可用于信号降噪，如中值滤波，低通滤波，傅立叶变换等，但它们都滤掉了信 号细节中的有用部分。 传统的信号去噪方法以信号的平稳性为前提，仅从时域或频域分别给出统计平均结 果。根据有效信号的时域或频域特性去除噪声，而不能同时兼顾信号在时域和频域的局 部和

11、全貌。更多的实践证明，经典的方法基于傅里叶变换的滤波，并不能对非平稳信号 进行有效的分析和处理，去噪效果已不能很好地满足工程应用发展的要求。近几年来， 许多文献介绍了非平稳信号去噪的小波阈值方法。donoho 和 johnstone 提出了通过阈值化 小波系数对染有高斯噪声的信号进行去噪的方法。 常用的硬阈值法则和软阈值法则采用设置高频小波系数为零的方法从信号中滤除噪 声。实践证明，这些小波阈值去噪方法具有近似优化特性，在非平稳信号领域中具有良 好表现。阈值法则主要依赖于参数的选择。例如,硬阈值和软阈值依赖于单个参数的选择 全局阈值 ，然而由于小波变换的非线性， 的调整显得至关重要。阈值太小或

12、太大， 都会直接关系到信号去噪效果的优劣。当阈值依赖于多个参数时，问题将会变得更加复 杂。实际上，比较有效的阈值去噪方法往往根据小波分解的不同层次确定不同的阈值参 数，进而确定相应的阈值法则。与一般的小波分析相对比，小波包分析（wavelet packet analysis）能够为信号提供一种更加精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分 辨分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择 相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率。 小波包变换是小波变换的推广，它在表示信号时具有比小波变换更强的灵活性。利 用小波包变换给信号作分解时，低频部分和高频部

13、分都被进一步分解。因此小波包与信 号去噪的阈值方法相结合具有更加良好的应用价值。 1.21.2 本文主要意义内容本文主要意义内容 在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对 于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时 域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多 能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，gabor 变换，时频分析，小 波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基 本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把

14、 信号展开到频域就可以获得局部的频域信息 ，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变 的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。换言之，短时傅立叶分析只能在一个分 辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。 而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点， 在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形 态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率， 而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取 精确的时间定位。因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示

15、其频率 成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。 本文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，它们的主要性质包 括紧支集长度、滤波器长度、对称性、消失矩等，都做了简要的说明。在不同的应用场 合，各个小波函数各有利弊。 小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像 分解，图像增强等。文中给出了详细的程序范例，用 matlab 实现了基于小波变换的图像 处理。由于文本性质决定故决定此次小波分析与信号处理将以图片分析与处理作为示例。 本论文主要重点在于图片的降噪处理。 第二章第二章 相关技术原理相关技术原理 2.12.1 小波分析的基本原理小

16、波分析的基本原理 小波是函数空间中满足下述条件的一个函数或者信号： 2( ) l r( )x （2.1.1） 2 ( ) . r cd 式中，表示非零实数全体，是的傅里叶变换，成为小 * 0rr ( ) ( )x( )x 波母函数。 对于实数对，参数为非零实数，函数 ( , )a b a （2.1.2） 1 ( , )( ) xb a b x a a 称为由小波母函数生成的依赖于参数对的连续小波函数，简称小波。其 ( )x( , )a b 中：称为伸缩因子；称为平移因子。 ab 对信号的连续小波变换则定义为 ( )f x （2.1.3） , 1 ( , )( )( ),( ) fa b r x

17、b wa bf xdxf xx a a 其逆变换（回复信号或重构信号）为 （2.1.4） * 1 ( )( , ) f r r xb f xwa bdadb ca 信号的离散小波变换定义为 ( )f x （2.1.5） 2 (2 ,2)2( ) (2) jjjj f wkf xxk dx 其逆变换（恢复信号或重构信号）为 （2.1.6） (2 ,2) ( )(2 ,2)( ) jj jj f k jk f tcwkx 其中，是一个与信号无关的常数。 c 显然小波函数具有多样性。在 matlab 小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括 harr 小波，daubecheies（dbn）小波系，sym

18、lets（symn）小波系，reversebior（rbio） 小波系，meyer（meyer）小波，dmeyer（dmey）小波，morlet(morl)小波，complex gaussian(cgau)小波系，complex morlet(cmor)小波系，lemarie（lem）小波系等。实际应 用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。 2.22.2 几种常用小波几种常用小波 （1）haar 小波 a.haar 于 1990 年提出一种正交函数系,定义如下： （2.2.1） 0 1 1 h 其它 12/1 2/10 x x 这是一种最简单的正交小波，即 0)()( d

19、xnxt, 2, 1n （2.2.2） （2）daubechies（dbn）小波系 该小波是 daubechies 从两尺度方程系数出发设计出来的离散正交小波。一般简 k h 写为 dbn，n 是小波的阶数。小波和尺度函数吁中的支撑区为 2n-1。的消失矩为 n。除 n1 外（haar 小波） ，dbn 不具对称性即非线性相位 ；dbn 没有显式表达式 （除 n1 外） 。但的传递函数的模的平方有显式表达式。假设， k h 1 0 1 )( n k kkn k ycyp 其中，为二项式的系数，则有 kn k c 1 ) 2 (sin) 2 (cos)( 22 2 0 pm n （2.2.3）

20、其中 12 0 0 2 1 )( n k ik ke hm （3）biorthogonal（biornr.nd）小波系 biorthogonal 函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的 重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。 biorthogonal 函数系通常表示为 biornr.nd 的形式： nr=1 nd=1，3，5 nr=2 nd=2，4，6，8 nr=3 nd=1，3，5，7，9 （2.2.4） nr=4 nd=4 nr=5 nd=5 nr=6 nd=8 其中，r 表示重构，d 表示分解。 （4）coiflet（coifn）小

21、波系 coiflet 函数也是由 daubechies 构造的一个小波函数，它具有 coifn（n=1，2，3，4，5 ）这一系列，coiflet 具有比 dbn 更好的对称性。从支撑长度的 角度看，coifn 具有和 db3n 及 sym3n 相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifn 具 有和 db2n 及 sym2n 相同的消失矩数目。 （5）symletsa（symn）小波系 symlets 函数系是由 daubechies 提出的近似对称的小波函数，它是对 db 函数的一种 改进。symlets 函数系通常表示为 symn（n=2，3，8）的形式。 （6）morlet（morl）

22、小波 morlet 函数定义为，它的尺度函数不存在，且不具有正交性。xcex x 5cos)( 2/ 2 （7）mexican hat（mexh）小波 mexican hat 函数为 （2.2.5） 2/24/1 2 )1 ( 3 2 )( x exx 它是 gauss 函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西 哥帽函数。墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足 0)( dxx 由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。 （8）meyer 函数 meyer 小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小 波。 （2.2.6） 0 )1 2

23、 3 ( 2 cos()2( )1 2 3 ( 2 sin()2( )( 2/2/1 2/2/1 j j e e 3 8 , 3 2 3 8 3 4 3 4 3 2 其中，为构造 meyer 小波的辅助函数，且有)(a （2.2.7）1 0 )1 2 3 ( 2 cos()2( )2( )( 2/1 2/1 3 4 3 4 3 2 3 2 2.32.3 傅立叶变换与小波变换傅立叶变换与小波变换 2.3.12.3.1 傅立叶变换与小波变换历史傅立叶变换与小波变换历史 小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。它自产生以来，就一直与傅立叶分 析密切相关。它的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依

24、赖于傅立叶分析，二者 是相辅相成的。两者相比较主要有以下不同： （1）傅立叶变换的实质是把能量有限信号 f（t）分解到以为正交基的空间上 tj e 去；小波变换的实质是把能量有限信号分解到（j=1，2，j）和所构成的 )(tf j w j v 空间上去。 （2）傅立叶变换用到基本函数只有，具有唯一性；小波分 )exp(),cos(),sin(titt 析用到的函数（即小波函数）则具有不唯一性，同一个工程问题用不同的小波函数进行 分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题（也 是小波分析研究的一个热点问题） ，目前往往是通过经验或不断的试验（对结果进行对照 分析）来

25、选择小波函数。 （3）在频域中，傅立叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较 简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式。例如， ，但在时域中，傅立叶变换没有局部化能力，即无法 )cos(23 . 4 )sin(345 . 0 )sin( 321 ttt 从信号的傅立叶变换中看出在任一时间点附近的性态。事实上， )(tf)( f)(tf 是关于频率为的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由的整体性态 df)( )(tf 所决定的。 （4）在小波分析中，尺度 a 的值越大相当于傅立叶变换中的值越小。 （5）在短时傅立叶变换中，变换系数主要依赖于信号在片

26、段中的 ),(s, 情况，时间宽度是（因为是由窗函数唯一确定，所以是一个定值） 。在小波 2 )(tg 2 变换中，变换系数主要依赖于信号在片段中的情况，时间宽度 ),(bawf ,abab 是，该时间宽度是随着尺度 a 变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。 a2 （6）若用信号通过滤波器来结实，小波变换与短时傅立叶变换不同之处在于：对短 时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽与中心频率无关；相反，小波变换带通滤波 ff 器的带宽则正比于中心频率，即 ff c 为常数 c f f q 亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等 q 结构（q 为滤波器的品质因数，且 有） 。 带宽 中心频

27、率 q 小波理论包括连续小波和二进小波变换，在映射到计算域的时候存在很多问题 ，因 为两者都存在信息冗余，在对信号采样以后，需要计算的信息量还是相当的大，尤其是 连续小波变换，因为要对精度内所有的尺度和位移都做计算，所以计算量相当的大。而 二进小波变换虽然在离散的尺度上进行伸缩和平移，但是小波之间没有正交性，各个分 量的信息搀杂在一起，为我们的分析带来了不便。 真正使小波在应用领域得到比较大发展的是 meyer 在 1986 年提出的一组小波，其二 进制伸缩和平移构成的标准化正交基。在此结果基础上，1988 年 s.mallat 在构造正 )( 2 rl 交小波时提出了多分辨分析的概念，从函数

28、分析的角度给出了正交小波的数学解释，在 空间的概念上形象的说明了小波的多分辨率特性，给出了通用的构造正交小波的方法， 并将之前所有的正交小波构造方法统一起来，并类似傅立叶分析中的快速傅立叶算法， 给出了小波变换的快速算法mallat 算法。这样，在计算上变得可行以后，小波变换在 各个领域才发挥它独特的优势，解决了各类问题，为人们提供了更多的关于时域分析的 信息。 形象一点说，多分辨分析就是要构造一组函数空间，每组空间的构成都有一个统一 的形式，而所有空间的闭包则逼近。在每个空间中，所有的函数都构成该空间的标 )( 2 rl 准化正交基，而所有函数空间的闭包中的函数则构成的标准化正交基，那么，如

29、果 )( 2 rl 对信号在这类空间上进行分解，就可以得到相互正交的时频特性。而且由于空间数目是 无限可数的，可以很方便地分析我们所关心的信号的某些特性2。 2.3.22.3.2 傅里叶变换傅里叶变换 在信号处理中重要方法之是傅立叶变换，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。 对很多信号来说，傅立叶分析非常有用。因为它能给出信号令包含的各种频率成分。 但是、傅立叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们 在某段时间里发生了什么变化。而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态（或者瞬变） 持性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的升始或结束。这些特性是信号的最重要部 分。因此傅里叶变

30、换不适于分析处理这类信号。 虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域 和频域观察，但却不能把二者有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何 频域信息。而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间 域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立 叶谱中的某一频率，不知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一 对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的 频域特征都很重要。如柴油机缸盖表面的震动信号就是由撞击或冲击产生的，是

31、一瞬变 信号，仅从时域或频域上来分析是不够的。这就促使去寻找一种新方法，能够将时域和 频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。这就是所谓的时频分 析法，也称为时频局部化方法。 由于标准傅立叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在这种能力， dennis gabor 于 1946 年引入了短时傅立叶变换。短时傅立叶变换的基本思想是：把信号 划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存 在的频率。其表达式为 （2.3.1）dtegtfs tj r )()(),( * 其中*表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数，f(t)是进入分析的信号。在

32、这个变换中， 起着频限的作用，g(t)起着时限的作用。随着时间的变化，g(t)所确定的“时间窗” tj e 在 t 轴上移动，是 f（t） “逐渐”进行分析。因此，g（t）往往被称之为窗口函数， 大致反映了 f（t）在时刻时、频率为的“信号成分”的相对含量。这样信号在),(s 窗函数上的展开就可以表示为在、这一区域内的状态，并把这一, 区域称为窗口，和分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越 小则分辨率就越高。很显然，希望和都非常小，以便有更好的时频分析效果，但还森 堡测不准原理指出和是互相制约的，两者不可能同时都任意小（事实上，且 2 1 仅当为高斯函数时，等号成立） 2

33、2 2 4/1 1 )( t etg 由此可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶不具有局部分析能 力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数 g(t)确定后，矩形窗口的形状 就确定了，只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说短时 傅立叶变换实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数 g(t)。因此，短时傅立叶变换用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化 剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率（即要小） ，而波形变化比较平缓 的时刻，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率（即要小） 。而短时傅立叶变换不能 兼顾两

34、者。 2.3.32.3.3 小波变换小波变换 连续小波变换 设，其傅里叶变换为，当满足允许条件（完全重构条件） 。 rlt 2 w w （2.3.2） r dw w w c 2 称为一个基本小波或母小波(mother wavelet)。它说明了基本小波在其频域内具 w 有较好的衰减性。其中，当时，有=0，即同时有。因 0w w 0 dtt 0 此，一个允许的基本小波的幅度频谱类似于带通滤波器的传递函数。事实上，任何均值 为零(即 )且在频率增加时以足够快的速度消减为零(空间局域化特征)的带 0 dtt 通滤波器的冲激响应(传递函数)，都可以作为一个基本小波。 将母函数经过伸缩和平移后得到： t

35、 （2.3.3） 0;, 1 , arba a bt a t ba 其中 称其为一个小波序列。其中 a 为伸缩因子，b 为平移因子。通常情况下，基本小波 以原点为中心，因此是基本小波以为中心进行伸缩得到。基本小波 t t ba, t bt 被伸缩为(时变宽，而时变窄)可构成一组基函数。在大尺度 a 上， tat 1a1a 膨胀的基函数搜索大的特征，而对于较小的 a 则搜索细节特征。 对于任意的函数的连续小波变换为： rltf 2 （2.3.4） dt a bt tfafbaw r baf 2 , , 当此小波为正交小波时，其重构公式为： （2.3.5） dadb a bt baw ac tf

36、f , 11 2 在小波变换过程中必须保持能量成比例，即： （2.3.6） dxxfcdbbaw a da rr f r 22 2 , 由于基小波生成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用， t t ba, 所以还应该满足一般函数的约束条件： t （2.3.7） dtt 故是一个连续函数，这意味着为了满足重构条件式(2.4)，在原点必须等于 w w 零，即： （2.3.8） 00 dtt 此即说明具有波动性。为了使信号重构的实现上是稳定的，除了满足重构条件外， t 还要求的傅立叶变换满足如下稳定性条件： t （2.3.9） bwa j 2 2 式中，。 ba0 连续小波变换具有以下重

37、要性质： （1）线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和 （2）平移不变性：若 f（t）的小波变换为，则的小波变换为),(bawf)(tf ),(bawf （3）伸缩共变性：若 f（t）的小波变换为，则 f（ct）的小波变换为),(bawf ，0),( 1 ccbcaw c f （4）自相似性：对应不同尺度参数 a 和不同平移参数 b 的连续小波变换之间是自相 似的。 （5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。 小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面： （1）由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号 f（t）的 小波

38、变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。 （2）小波变换的核函数即小波函数存在许多可能的选择（例如，它们可以是)( , t ba 非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的） 。 小波变换在不同的（a，b）之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因 此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中的主要问题之一。 离散小波变换 在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此有必要讨 论连续小波和连续小波变换的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都 t ba, bawf, 是针对连续的尺度参数和连续平移参数 b 的，而

39、不是针对时间 t 的。这一点与我们以前 的习惯不同。在公式(2.2)中，a ,b r；a0 是容许的。为方便起见，在离散化中，总 限制 a 只取正值。通常，把连续小波变换中尺度参数 a 和平移参数 b 的离散化公式分别 取作，这里，扩展步长是固定值，为方便起见，总是假定。 jj bbaa 00, zj1 0 a1 0 a 所以对应的离散小波函数即可写作： t kj, （2.3.10） 00 0 00 0 , 11 kbta a a bkat a t j j o j kj 而离散化小波变换系数则可表示为： （2.3.11） 0, ,. kjkjkj fdtttfc 其重构公式为： （2.3.12

40、） tcctf kjkj, c 是一个与信号无关的常数。如何选择和，才能保证重构信号的精度呢？显然， 0 a 0 b 网络点应尽可能密(即和尽可能的小)，因为如果网络点越稀疏，使用的小波函数 0 a 0 b 和离散小波系数就越少，信号重构的精确度也就会越低。由于图像是二维信号， t kj, kj c , 因此首先需要把小波变换由一维推广到二维。令表示一个二维信号，分别是 21,x xf 21,x x 其横坐标和纵坐标，表示二维的基本小波，对应的尺度函数为 。若尺度 21,x x 21,x x 函数可分离，即：。令是与对应的一维小波函数，则二 2121, xxxx 1 x 1 x 维小波可表示为

41、以下三个可分离的正交小波基函数： （2.3.13） 2121 1 ,xxxx （2.3.14） 2121 2 ,xxxx （2.3.15） 2121 3 ,xxxx 这说明在可分离的情况下，二维多分辨率可分两步进行。先沿方向分别用和 1 x 1 x 做分析，把分解成平滑和细节两部分，然后对这两部分再沿方向用 2 x 21,x xf 2 x 和做同样分析，所得到的四路输出中经，处理所得的一路是第一级 2 x 1 x 1 x 2 x 平滑逼近，其它三路输出，都是细节函数。 211 ,xxfa 21 1 1 ,xxfd 21 2 1 ,xxfd 21 3 1 ,xxfd 如果把和的对应频谱，设想成理

42、想的半带低通滤波器和高通滤波 1 x 1 x w w h 器，则反映的是 , 两个方向的低频分量， 反映的是水平方 g 211 ,xxfa 1 x 2 x 21 1 1 ,xxfd 向的低频分量和垂直方向的高频分量，反映的是水平方向的高频分量和垂直方 21 2 1 ,xxfd 向的低频分量，反映的是两个方向的高频分量。对图像进行小波变换就是用低 21 3 1 ,xxfd 通滤波器和高通滤波器对图像的行列进行滤波（卷积） ，然后进行二取一的下抽样。 h g 在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必 要讨论连续小波和连续小波变换的离散化。需要强调指出的是，这一离散

43、)( , t ba ),(bawf 化都是针对连续的尺度参数 a 和连续平移参数 b 的，而不是针对时间变量 t 的。这一点 与我们以前习惯的时间离散化不同。 实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值计算 cwta,b 值，加之实际的观测 信号都是离散的，所以信号处理中都是用离散小波变换(dwt)。大多数情况下是将尺度因 子和位移参数按 2 的幂次进行离散。最有效的计算方法是 smallat 于 1988 年发展的快 小波算法(又称塔式算法)。对任一信号，离散小波变换第一步运算是将信号分为低频部 分称为近似部分)和离散部分(称为细节部分)。近似部分代表了信号的主要特征。第二 步对低频部分再

44、进行相似运算。不过这时尺度因子已经改变。依次进行到所需要的尺度。 除了连续小波(cwt)、离散小波(dwt)，还有小波包（wavelet packet）和多维小波3。 2.42.4 小波包定义性质小波包定义性质 2.4.12.4.1 小波包定义小波包定义 短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。多分辨分析可以对信号进行有 效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差， 而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分（具有等 q 结构） 。 小波包分析能够为信号提供一种更精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分 辨率分析没有细分的高频部分

45、进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选 择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率，因此小波包具有更广泛 的应用价值。 小波包分析是从小波分析延伸出来的的一种对信号进行更加细致的分析与重构的方 法。小波包分析不但对低频部分进行分解，而且对高频部分作更加细致的刻画，对信号 的分析能力更强。 在多分辨分析中， ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子 j 把 j zj wrl )( 2 hilbert 空间分解为所有子空间的正交和的。其中， 为小波函数 )( 2 rl )(zjwj j w 的闭包（小波子空间） 。现在，我们希望几拟议部对小波子空间按照二进制分式 )(t j

46、w 进行频率的细分，以达到提高频率分辨率的目的。 一种自然的做法是将尺度空间和小波子空间用一个新的子空间统一起来表征， j v j w n j u 若令 j j jj wu vu 1 0 zj 则 hilbert 空间的正交分解即可用的分解统一为 jjj wvv 1 n j u （2.4.1） 100 1jjj uuu zj 定义子空间是函数是函数的闭包空间，而是函数的闭包空间， n j u)(tun)(tun)( 2 tu n 并令满足下面的双尺度方程： )(tun （2.4.2） zk nn zk nn ktukgtu ktukhtu )2()(2)( )2()(2)( 12 2 式中，即

47、两系数也具有正交关系。当 n=0 时，以上两式直接给 )1 () 1()(khkg k 出 （2.4.3） zk k zk k ktugtu ktuhtu )2()( )2()( 01 00 与在多分辨分析中，满足双尺度方程： )()(tt和 （2.4.4） zk k zk k ktgt ktht )2()( )2()( 2 2 lg lh zkk zkk 相比较，和分别退化为尺度函数和小波基函数。把这种等价表示 )( 0 tu)( 1 tu)(t)(t 推广到（非负整数）的情况，即得到的等价表示为 zn ； （2.4.5） 12 1 n j n j n j uuu zj zn 定义（小波包）

48、 由式（2.23）构造的序列（其中）称为由基函数 )(tun zn =确定的正交小波包。当 n=0 时，即为（2.24）式的情况。 )( 0 tu)(t 由于由唯一确定，所以又称为关于序列的正交小波包4。 )(t k h znn tu )( k h 2.4.22.4.2 小波包的性质小波包的性质 定理 1 设非负整数 n 的二进制表示为 =0 或 1 1 1 2 i i i n i 则小波包的傅立叶变换由下式给出：)(wun （2.4.6） 1 )2/()( i j n wmwu i 式中 （2.4.7） k jkw ekhwhwm)( 2 1 )()( 0 （2.4.8） k jkw ekg

49、wgwm)( 2 1 )()( 1 定理 2 设是正交尺度函数的正交小波包，则， znn tu )()(t klnn ltuktu)(),( 即构成的规范正交基。 znn tu )()( 2 rl 2.4.32.4.3 小波包算法小波包算法 下面给出小波包的分解算法和重构算法。设，则可表示为 n j n j utg)( n j g （2.4.9） l j n nj l n j ltudtg)2()( , 小波包分解算法：由求与 nj l d , 1 nj l d 2, 12,nj l d k k lk l k k lk nj l njnj nj dbd dad , 112, , 1 2 2 2

50、, （2.4.10） 小波包重构算法：由与求 nj l d 2, 12,nj l d nj l d , 1 error!error! nono bookmarkbookmark namename given.given. 第三章第三章小波变换在信号处理中的应用小波变换在信号处理中的应用 3.13.1 调试环境调试环境-matlab-matlab 开发平台开发平台 matlab 是 math works 公司开发的一种跨平台的，用于矩阵数值计算的简单 高效的数学语言，与其它计算机高级语言如 c, c+, fortran, basic, pascal 等相比， matlab 语言编程要简洁得多，编

51、程语句更加接近数学描述，可读性好，其强大 的圆形功能和可视化数据处理能力也是其他高级语言望尘莫及的。对于具有任何一 门高级语言基础的读者来说，学习 matlab 十分容易。但是，要用好 matlab 却不是在短时间就可以达到的。这并不是因为 matlab 语言复杂难懂，而是实际问 题的求解往往更多的是需要使用者具备数学知识和专业知识。matlab 使得人们 摆脱了常规计算机编程的繁琐，让人们能够将大部分精力投入到研究问题的数学建 模上。可以说，应用 matlab 这个数学计算和系统方针的强大工具，可以使科学 研究的效率得以成百倍的提高。 目前，matlab 已经广泛用于理工科大学从高等数学到几乎各门专业课程之 中，成为这些课程进行